Laurea in Matematica, II anno, II semestre, canale M-Z, 9 CFU (72 ore di lezione)
AVVISO
APPELLI D'ESAME
4 luglio 2017, ore 9.00, aula I
21 luglio 2017, ore 9.00, aula I
8 settembre 2017, ore 15.00, aula IV
22 settembre 2017, ore 15.00, aula IV
29 gennaio 2018, ore 9.00, aula IV
Sillabo del corso
- Equilibri e stabilita' per equazioni differenziali ordinarie.
- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali.
- Equazioni cardinali, leggi di conservazione.
- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali.
- Moti centrali e problema di Keplero.
- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.
- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati.
- Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi.
- Equilibri, condizione di stabilita' e instabilita', piccole oscillazioni.
- Simmetrie e teorema di Noether.
- Introduzione alla dinamica del corpo rigido.
Bibliografia
[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, ed. Aracne
[BN] P. Butta' - P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, ed. Nuova Cultura
[T] A. Teta, Appunti sui sistemi unidimensionali, disponibili alla pagina appunti ed esercizi
[C] A. Celletti, Esercizi e complementi di meccanica razionale, ed. Aracne
Programma dettagliato
- Equazioni differenziali ordinarie
Richiami sul teorema di esistenza e unicità', lemma di Gronwall e continuità' dai dati.
Separazione delle variabili per equazioni del primo ordine in dimensione uno.
Nozione di integrale primo.
Definizione di posizione di equilibrio, equilibrio stabile e equilibrio asintoticamente stabile.
Metodo diretto di Lyapunov.
Linearizzazione nell'intorno di una posizione di equilibrio, stabilita' asintotica e instabilità riconosciuta dal linearizzato (S.D.).
[E] paragrafi 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, capitolo 3, paragrafo 10.5 (oppure [BN] capitolo 2 e paragrafi 8.1, 8.2)
- Formulazione delle leggi della meccanica per sistemi di punti materiali
Spazio affine euclideo, riferimento, nozione di tempo assoluto, nozione di punto materiale. Definizione di moto, orbita o traiettoria, velocità' e accelerazione di punti materiali.
Riferimenti in moto traslatorio uniforme.
Principi della dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.
Riduzione dell'equazione di Newton ad un sistema del primo ordine, forze di natura potenziale.
[E] paragrafi 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 (S.D.),1.5, 1.6, 8.1, 8.2
- Moti unidimensionali
Definizione, conservazione dell'energia nel caso di forze posizionali, riduzione del moto alle quadrature.
Posizioni di equilibrio, condizioni sufficienti per la stabilita' e l'instabilità, assenza di equilibri asintoticamente stabili.
Moti periodici, stime di periodi, periodo del moto nel limite delle piccole oscillazioni.
Moti asintotici.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi.
Potenziali singolari.
[T] (oppure [E] capitolo 4)
- Moti centrali
Definizione, equazione del moto, conservazione di energia e momento angolare.
Caso di momento angolare nullo.
Caso di momento angolare diverso da zero: moto piano, coordinate polari, riduzione alle quadrature, moti circolari uniformi, caduta nel centro, orbite non limitate, equazione dell'orbita, velocità' areolare, angolo di precessione e condizione di esistenza di moti periodici.
Potenziale newtoniano: analisi qualitativa, calcolo dell'orbita, leggi di Keplero.
[E] capitolo 6
- Sistemi di N punti materiali
Equazioni cardinali, centro di massa.
Teorema delle forze vive, forze conservative e conservazione dell'energia.
Problema dei due corpi.
[E] paragrafi 8.3, 8.4
- Equazioni di Lagrange e principi variazionali
Forma lagrangiana delle equazioni del moto, invarianza in forma delle equazioni di Lagrange.
Momenti cinetici, variabili cicliche e quantità' conservate, lagrangiana di un punto materiale in coordinate polari, cilindriche, sferiche.
Definizione di funzionale, esempi, funzionale d'azione, variazione di una curva, derivata di un funzionale, curva stazionaria o critica, derivata del funzionale d'azione, lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, equazioni di Eulero-Lagrange, differenza tra problema ai limiti e problema di Cauchy, esempi.
Il problema della brachistocrona.
Riduzione a forma normale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
Principio di Hamilton per N punti materiali, forma generale della lagrangiana in coordinate generalizzate.
[E] capitolo 7 (oppure [BN] capitolo 5)
- Sistemi di N punti materiali vincolati
Definizione di vincolo, vincolo ideale, equazioni di Newton-D'Alembert.
Caso di un punto materiale vincolato ad una curva.
Definizioni di moto possibile, velocità' possibile, velocità virtuale.
Principio di D'Alembert per un sistema di N punti materiali soggetti a vincoli olonomi, bilateri, dipendenti dal tempo e ideali.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e nel caso conservativo.
[E] paragrafi 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9
- Proprieta' dei sistemi lagrangiani
Integrali primi, energia generalizzata.
Simmetria per una lagrangiana, teorema di Noether, esempi.
Equilibri per un sistema lagrangiano, teorema di Lagrange-Dirichlet.
Linearizzazione nell'intorno di un equilibrio, piccole oscillazioni, frequenze caratteristiche e modi normali.
Condizione per l'instabilita' di un equilibrio.
[E] paragrafi 10.1, 10.2, 10.3, 10.6
- Introduzione alla dinamica di un corpo rigido
Gradi di liberta', spazio delle configurazioni.
Caso particolare del corpo rigido piano: coordinate lagrangiane, velocita' angolare, atto di moto rigido, energia cinetica, momento di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, vincolo di puro rotolamento per un disco.
Caso generale: velocita' angolare, atto di moto rigido, proiezioni sul sistema fisso e sul sistema solidale, energia cinetica.
Tensore di inerzia, base principale di inerzia, significato degli autovalori.
Momento angolare.
Corpo rigido libero lanciato, impostazione della dinamica mediante le equazioni cardinali.
[BN] capitolo 9