Programma di Fisica Matematica Superiore a.a. 2014/15
Laurea Magistrale in Matematica, 6 CFU (48 ore di lezione) Docente A. Teta
Programma
1. Elementi di teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert
Richiami su operatori limitati e non limitati, operatore aggiunto, simmetrico, autoaggiunto, unitario.
Criterio di autoaggiuntezza, teorema di Kato-Rellich.
Risolvente e spettro, successioni di Weyl, spettro reale di un operatore autoaggiunto.
Misura di Stieltjes, proiettori ortogonali, famiglia spettrale e misura spettrale, teorema spettrale (s.d.), funzione di operatore, gruppi unitari, soluzione dell’equazione di Schroedinger.
Spettro puntuale, continuo, assolutamente continuo e singolare continuo, caratterizzazione dello spettro in termini della famiglia spettrale.
Spettro discreto ed essenziale, caratterizzazione dello spettro essenziale mediante successioni di Weyl singolari, teorema di Weyl sulla stabilita` dello spettro essenziale.
Caratterizzazione variazionale dell’estremo inferiore dello spettro di un operatore autoaggiunto.
2. Formulazione della meccanica quantistica per una particella
Enunciazione delle regole e commenti.
Osservabili compatibili e non compatibili, principio di indeterminazione. Costanti del moto.
Aspetti generali della dinamica, stati legati e stati di diffusione.
3. Particella libera
Hamiltoniana, risolvente e spettro.
Gruppo unitario, stima asintotica per tempi grandi, verifica che ogni stato `e di diffusione, evoluzione di un pacchetto d’onda.
4. Oscillatore armonico
Operatori di creazione e distruzione, costruzione della hamiltoniana autoaggiunta, spettro e autofunzioni.
Gruppo unitario, verifica che ogni stato `e legato, evoluzione di un dato gaussiano.
Particella in campo magnetico uniforme (cenni).
5. Introduzione al problema del limite classico
Dipendenza dal dato iniziale, stati coerenti.
Formula di Duhamel. Limite classico con il metodo degli stati coerenti.
6. Interazione puntuale
Costruzione della hamiltoniana autoaggiunta, risolvente e spettro.
Espansione in autofunzioni generalizzate (s.d.), stima asintotica per tempi grandi, stati di diffusione e stati legati.
7. Introduzione al problema della diffusione
Stati asintoticamente liberi, operatori d’onda e loro proprieta` fondamentali.
Completezza asintotica, operatore di diffusione e sue proprieta` fondamentali.
Teorema della diffusione nei coni.
Diffusione nel caso di interazione puntuale in dimensione uno: operatori d’onda e completezza asintotica, operatore di diffusione, probabilita` di riflessione e trasmissione.
8. Atomo di idrogeno
Autoaggiuntezza e limitatezza dal basso dell’hamiltoniana.
Caratterizzazione dello spettro essenziale.
Teorema del viriale e assenza di autovalori positivi.
Esistenza di infiniti autovalori negativi.
Disuguaglianza di Hardy, stima dal basso e dall’alto dell’autovalore minimo.
Calcolo di autovalori e autovettori del momento angolare, calcolo di autovalori e autovettori dell’hamiltoniana.
Parte integrante del programma e' lo svolgimento degli esercizi proposti (vedi pagina appunti ed esercizi).
Bibliografia
Appunti redatti dal docente, disponibili alla pagina appunti ed esercizi
G. Teschl, Mathematical Method in Quantum Mechanics, American Mathematical Society S.J. Gustafson, I.M. Sigal, Mathematical concepts of Quantum Mechanics, Springer
Altri testi di riferimento per consultazione
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I, II, III, IV, Academic Press 1972 W. Thirring, Quantum Mathematical Physics, Springer B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer G. Dell’Antonio, Aspetti matematici della meccanica quantistica, vol. I e II, Bibliopolis W.O Amrein, Hilbert space methods in Quantum Mechanics, EPEL Press
Letture suggerite
T. Kuhn, La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Einaudi
D. Albert, Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi
G. Ghirardi, I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, in G. Boniolo, Filosofia della fisica, Bruno Mondadori.