Laurea in Matematica, II anno, II semestre, canale I-Z, 9 CFU (72 ore di lezione)
Sillabo del corso
- Equilibri e stabilita' per equazioni differenziali ordinarie.
- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali.
- Equazioni cardinali, leggi di conservazione.
- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali.
- Moti centrali e problema di Keplero.
- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.
- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati.
- Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi.
- Equilibri, condizione di stabilita' e instabilita', piccole oscillazioni.
- Simmetrie e teorema di Noether.
- Introduzione alla dinamica del corpo rigido.
Bibliografia
[BN] P. Butta' - P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, ed. Nuova Cultura
[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, ed. Aracne
[T] A. Teta, Appunti sui sistemi unidimensionali, disponibili alla pagina appunti ed esercizi
[C] A. Celletti, Esercizi e complementi di meccanica razionale, ed. Aracne
Diario delle lezioni
Marzo
2
Introduzione, richiami di algebra, spazio affine euclideo, riferimento. Nozione di spazio, tempo, punto materiale. Def. di moto, traiettoria, velocita' e accelerazione di un punto materiale.
4
Riferimenti in moto traslatorio uniforme. Principi della dinamica per sistemi di punti materiali. Def. operativa di massa inerziale. Forze dipendenti dal tempo. Problema di Cauchy per eq. diff. ordinarie, riduzione a sistemi del I ordine.
6
Richiami sul teorema di esistenza e unicita', caso autonomo. Esempi di eq. del I ordine in dim. uno. Lemma di Gronwall e continuita' dai dati.
9
Definizione di integrale primo, conservazione dell'energia per sistemi meccanici. Introduzione all'analisi qualitativa dei sistemi meccanici unidimensionali, riduzione alle quadrature mediante l'integrale primo dell'energia.
11
Moti periodici, esempi: V=1/2 k x^2, V= 1/4 x^4. Moti asintotici, esempi: pendolo semplice, V=x^3.
13
Def. di equilibrio, equilibrio stabile, equilibrio asintoticamente stabile. Caso dei sistemi meccanici unidimensionali conservativi: non esistenza di eq. asintoticamente stabili, condizione sufficiente per la stabilita' (S.D.) e per l'instabilità.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi, esempi: oscillatore armonico, doppia buca.
16
Esercizi: analisi qualitativa per il repulsore lineare e per il pendolo; limite E \rightarrow 0 e \infty del periodo T(E) per V=x^4; calcolo del moto asintotico quando E=0 per V=x^3.
Stime di periodo, teorema delle piccole oscillazioni di Galileo.
18
Esercizi: stima del periodo per V=x^4; potenziale singolare V=k / x^2.
Potenziale armonico come unico potenziale in cui il periodo non dipende dall'energia (facoltativo).
20
Esercizio: V = x^2 / (1 + x^4) (n. 1.6 degli esercizi proposti).
Andamento asintotico per t \rightarrow \infty di moti non limitati.
Esercizio proposto:
calcolare l'andamento asintotico dei moti non limitati per V = a/x^2 - b/x, con a,b>0.
23
Moto di un punto soggetto a una forza centrale, eq. del moto, integrali primi. Caso di momento angolare nullo. Caso di momento angolare diverso da zero: moto piano, coordinate polari, riduzione alle quadrature, moti circolari uniformi.
25
Condizioni per la caduta nel centro e per orbite non limitate. Eq. differenziale per l'orbita. Velocita' areolare. Angolo di precessione e condizione di esistenza di moti periodici. Caso del potenziale newtoniano: analisi qualitativa.
27
Caso del potenziale newtoniano: calcolo esplicito dell'orbita, leggi di Keplero, cenno alla regolarizzazione delle orbite di collisione.
Esercizi proposti:
1) calcolare l'angolo di precessione e l'orbita per U = 1/2 k r^2, k>0;
2) calcolare l'orbita per U = k/r, k>0;
3) verificare che il vettore di Runge-Lenz e' costante del moto nel caso newtoniano e usarlo per ricavare l'orbita;
4) calcolare il tempo di caduta nel centro t_c nel caso newtoniano per L=0 e determinare l'andamento asintotico di r(t) e di \dot{r}(t) per t \rightarrow t_c.
30
Problema inverso di Newton (facoltativo).
Esercizio: - k/r + a/r^2, con k,a>0.
Sistemi di N punti materiali, eq. cardinali, baricentro, teorema delle forze vive, conservazione dell'energia.
Aprile
1
Problema dei due corpi.
Funzione di Lyapunov, teorema di Lyapunov, applicazione al caso di un sistema meccanico unidimensionale.
Esercizi proposti su stabilita' degli equilibri.
8
Stabilita' asintotica e instabilita' riconosciuta dal linearizzato (S.D.), applicazione al caso meccanico con attrito. Instabilita' riconosciuta dal linearizzato nel caso particolare meccanico.
10
Formulazione lagrangiana delle equazioni del moto, invarianza in forma delle equazioni di Lagrange, momento cinetico, variabili cicliche e quantità' conservate, lagrangiana di un punto materiale in coordinate polari, cilindriche, sferiche.
13
Lagrangiana per un punto materiale carico in un campo elettromagnetico (facoltativo), soluzione delle equazioni del moto nel caso di campo magnetico uniforme e costante (facoltativo).
Definizione di Funzionale, esempi, funzionale d'azione, variazione di una curva.
15
Funzionale derivabile, curva stazionaria o critica, derivata del funzionale d'azione.
Esercizio: V(r) = (k/2) r^2 - a/r^2 , k,a >0.
17
Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, equazioni di Eulero-Lagrange, differenza tra problema ai limiti e problema di Cauchy, esempi.
Riduzione a forma normale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
Principio di Hamilton per N punti materiali, forma generale della lagrangiana in coordinate generalizzate.
27
Soluzione del I esonero.
Problema della brachistocrona.
29
Definizione di sistema vincolato.
Richiami su: teorema della funzione implicita, superfici immerse in R^n, spazio tangente, spazio ortogonale.
Maggio
4
Definizione di vincolo ideale, equazioni di Newoton-D'Alembert.
Caso di un punto materiale vincolato ad una curva: proiezione dell'equazione del moto lungo i versori del triedro di Frenet.
Esercizi: pendolo semplice, pendolo cicloidale.
6
Moto e velocita' possibile, velocità' virtuale, esempio.
Principio di D'Alembert per N punti materiali soggetti a vincoli olonomi, bilateri, dipendenti dal tempo e ideali.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e conservativo.
8
Principio variazionale per sistemi vincolati, vincoli anolonomi integrabili.
Proprieta' dei sistemi lagrangiani: arbitrarieta' della lagrangiana, integrali primi, energia generalizzata.
Esempio di vincolo dipendente da t con lagrangiana indipendente da t.
11
Gruppi a un parametro di trasformazioni, simmetrie, teorema di Noether, esempi.
Esercizi.
13
Posizioni di equilibrio, teorema di Lagrange-Dirichlet sulla stabilita' degli equilibri, linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell'intorno di un equilibrio e corrispondente lagrangiana quadratica, soluzione delle equazioni linearizzate (1).
15
Soluzione delle equazioni linearizzate (2).
Condizione per l'instabilita' di un equilibrio.
Pendolo sferico (1).
18
Ottica geometrica: richiami storici, formulazione del principio di Fermat, analogia con la meccanica.
Pendolo sferico (2).
Esercizi.
20
Spiegazione del miraggio, formulazione del principio di Maupertius in meccanica, punti stazionari, nuova forma dell'analogia tra ottica e meccanica.
22
Pendoli accoppiati,battimenti.
Corpo rigido piano: gradi di liberta', coordinate lagrangiane, velocita' angolare, atto di moto rigido, energia cinetica.
25
Momento di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, esempi. Vincolo di puro rotolamento di un disco.
Esercizi.
27
Esercizi.
29
Cinematica del corpo rigido: gradi di liberta' e spazio delle configurazioni, velocita' angolare, atto di moto rigido.
Esercizi.
Giugno
1
II esonero
3
Velocita' angolare, proiezione sul sistema fisso e sul sistema solidale, energia cinetica.
Tensore di inerzia, base principale di inerzia, significato degli autovalori A, B, C, assi principali di inerzia in presenza di simmetrie della distribuzione di massa: invarianza per riflessione rispetto ad un piano, invarianza per rotazione intorno ad un asse, corpo piano, disco.
Dinamica di un corpo rigido libero lanciato, disaccoppiamento tra il moto del centro di massa e il moto di rotazione.
5
Conservazione del momento angolare.
Angoli di Eulero, scrittura della velocita' angolare e dell'energia cinetica in funzione degli angoli di Eulero.
Analisi del moto di rotazione per il corpo rigido libero lanciato.