II parte: introduzione alla meccanica quantistica
Diario lezioni
Maggio
5 Lu
Derivazione delle equazioni di Hamilton, Hamiltoniana come energia del sistema, Hamiltoniana per un punto materiale in coordinate cartesiane e sferiche, definizione di integrale primo nei sistemi hamiltoniani ([A] par. 1.1).
Equazione di Hamilton-Jacobi (o iconale) per un punto materiale, definizione di integrale completo, definizione di superfici di fase costante o fronti d'onda, moto del punto materiale come traiettoria ortogonale alla famiglia di superfici di fase costante, definizione di velocità di fase ([A] par. 1.4).
7 Me
Introduzione all'ottica geometrica, principio di Fermat, equazione per la traiettoria dei raggi. Formulazione hamiltoniana, equazione iconale, traiettoria dei raggi come traiettoria ortogonale alla famiglia di superfici di fase costante, definizione di velocità di fase. Analogia tra meccanica classica e ottica geometrica ([A] par. 1.7).
Equazioni di Maxwell nel vuoto, formulazione del problema di Cauchy.
9 Ve
Cenni alla conservazione dell'energia del campo elettromagnetico, cenni al campo generato da una carica in moto ([A] par. 1.8).
Equazioni di Maxwell nei mezzi materiali, approssimazione dell'ottica scalare. Cenni alla soluzione approssimata nel limite di piccola lunghezza d'onda e derivazione dell'ottica geometrica ([A] par. 1.9).
12 Lu
Cenni al problema del corpo nero ([A] par. 2.1).
Cenni al problema dell'effetto fotoelettrico ([A] par. 2.2).
Costituzione atomica della materia, ipotesi planetaria di Rutherford ([A] par. 2.3).
Ipotesi e conseguenze del modello di atomo di idrogeno di Bohr ([A] par. 2.4).
14 Me
Cenni alla meccanica delle matrici, ipotesi ondulatoria di De Broglie ([A] par. 3.1).
Derivazione dell'equazione di Schroedinger sulla base dell'analogia con l'ottica, conservazione della norma L^2 della soluzione dell'equazione di Schroedinger ([A] par. 3.2).
Interpretazione statistica di Born ([A] par. 3.3).
19 Lu
Osservabili di posizione e quantità di moto come operatori simmetrici in L^2. Distribuzione di probabilità per la quantità di moto. Operatore hamiltoniano come osservabile di energia. Regola di commutazione di Heisenberg per posizione e quantità di moto, principio di indeterminazione di Heisenberg ([A] par. 3.4).
Teorema di Ehrenfest e problema del limite classico ([A] par. 3.5).
21 Me
Richiami sugli operatori limitati su spazi di Hilbert, non limitatezza degli operatori di posizione e momento ([A] par. 4.1).
Definizione di aggiunto di un operatore non limitato ([A] par. 4.2).
Definizione di operatore simmetrico e di operatore autoaggiunto, esempi di operatori simmetrici ma non autoaggiunti, aggiunto di un operatore simmetrico ([A] par. 4.3).
Criterio di autoaggiuntezza di un operatore simmetrico, applicazione agli operatori di posizione e momento ([A] par. 4.4).
23 Ve
Definizione di insieme risolvente e di spettro, spettro degli operatori posizione e momento ([A] par. 4.5).
Definizione di operatore unitario, esempi ([A] par. 4.6).
Definizione di gruppo a un parametro di operatori unitari fortemente continuo, esempi ([A] par. 4.8).
26 Lu
Formulazione delle regole della meccanica quantistica per una particella.
Particella libera: costruzione della hamiltoniana autoaggiunta e analisi dello spettro ([A] par. 5.1).
Costruzione del gruppo unitario ([A] par. 5.2).
28 Me
Forma esplicita del gruppo unitario come operatore integrale nello spazio delle x ([A] par 5.2).
Evoluzione libera di un pacchetto d'onda ([A] par. 5.3).
30 Ve
Evoluzione libera di un pacchetto d'onda gaussiano ([A] par. 5.3).
Esperimento delle due fenditure ([F] par. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5).
Inteferenza di due pacchetti d'onda gaussiani ([A] par. 5.4).
Esercizi discussi durante le ore di esercitazione
Esercizio 1: trovare il moto di un punto materiale soggetto ad una forza costante con il metodo dei fronti d'onda.
Esercizio 2: derivare, a partire dalle ipotesi del modello di Bohr, i livelli energetici, il raggio dell'atomo e le frequenze di radiazione emesse.
Esercizio 3: verificare che le frequenze di radiazione emesse si riducono a quelle previste dalla teoria classica nel limite di grandi numeri quantici.
Esercizio 4: determinare gli stati di incertezza minima per le relazioni di indeterminazione di posizione e momento.
Esercizio 5: verificare l'autoaggiuntezza per l'operatore di Laplace su un intervallo limitato con condizioni al bordo di Dirichlet agli estremi.
Esercizio 6: costruire una successione di Weyl associata alla hamiltoniana libera in dimensione uno.
Programma d'esame
Introduzione alle equazioni di Hamilton.
Equazione di Hamilton-Jacobi (o iconale) per un punto materiale, definizione di integrale completo, moto del punto materiale come traiettoria ortogonale alla famiglia di superfici di fase costante, definizione di velocità di fase.
Principio di Fermat per l'ottica geometrica, equazione per la traiettoria dei raggi. Equazione iconale, traiettoria dei raggi come traiettoria ortogonale alla famiglia di superfici di fase costante, definizione di velocità di fase. Analogia tra meccanica classica e ottica geometrica.
([A] par. 1.1, 1.4, 1.7).
Ipotesi e conseguenze del modello di atomo di idrogeno di Bohr.
([A] par. 2.4).
Ipotesi ondulatoria di De Broglie, equazione di Schroedinger. Conservazione della norma L^2.
Interpretazione statistica di Born.
Osservabili come operatori. Distribuzione di probabilità per la quantità di moto. Regola di commutazione di Heisenberg, principio di indeterminazione.
Teorema di Ehrenfest e problema del limite classico.
([A] par. 3.2, 3.3, 3.4, 3.5).
Operatori non limitati su spazi di Hilbert, definizione di operatore aggiunto, simmetrico, autoaggiunto, criterio di autoaggiuntezza.
Definizione di insieme risolvente e di spettro, definizione di gruppo a un parametro di operatori unitari fortemente continuo.
([A] par. 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.8).
Particella libera: hamiltoniana autoaggiunta, analisi dello spettro, costruzione del gruppo unitario, evoluzione libera di un pacchetto d'onda, caso gaussiano.
([A] par. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4).
Sono parte integrante del programma gli esercizi discussi durante le ore di esercitazione
Bibliografia
- [A] Appunti di meccanica quantistica, disponibili sul sito:
https://sites.google.com/site/sandroprova/didattica-1/appunti-ed-esercizi
- B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer
- [F] La Fisica di Feynman, vol. III