Laurea magistrale in Fisica, I anno, II semestre, 6 CFU (48 ore di lezione)
AVVISI
Sillabo del corso
1. Equazioni differenziali ordinarie
Esistenza, unicita' e continuita' dai dati.
Metodo delle differenze finite.
Teorema del trasporto di Liouville.
Equilibrio e stabilita', teorema di Lyapunov.
Modello di Lotka-Volterra.
2. Sistemi hamiltoniani
Richiami.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Variabili azione-angolo.
Teoria perturbativa al I ordine.
Precessione del perielio di Mercurio.
3. Argomenti di meccanica quantistica
Richiami delle regole.
Progagatore libero.
Teoria della diffusione (scattering).
Programma dettagliato
1. Equazioni differenziali ordinarie
1.1
Richiami sul teorema di esistenza e unicità'. Lemma di Gronwall, Continuita' dai dati. Metodo delle differenze finite di Eulero. Integrali primi.
([E] 2.1, 2.2 (S.D.), 2.3, 2.4, 2.6, 3.1).
1.2
Evoluzione temporale e proprieta' di gruppo nel caso autonomo. Teorema del trasporto di Liouville. Stati e osservabili, equazione di Liouville.
([E] 12.5, 12.6).
1.3
Equilibrio e stabilita', teorema di Lyapunov, stabilita' asintotica e instabilità' riconosciuta dal linearizzato (S.D.).
([E] 10.5).
Modello di Lotka-Volterra (in Appunti ed esercizi).
2. Sistemi hamiltoniani
2.1
Derivazione delle equazioni di Hamilton, principio variazionale, integrali primi, parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche, criterio mediante le parentesi di Poisson, spazio delle fasi esteso, criterio sufficiente mediante la forma differenziale, funzioni generatrici.
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso dipendente e indipendente dal tempo, metodo di separazione delle variabili, variabili azione-angolo.
([T] cap. 1, paragrafi 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, oppure [E] cap. 12 e 13).
2.2
Cenni ai sistemi integrabili e ai teoremi di Liouville e di Arnold-Liouville (S.D.).
Perturbazione al I ordine di sistemi integrabili.
([E] paragrafi 14.1, 14.2).
2.3
Variabili azione-angolo per il problema di Keplero piano, problema dei tre corpi ristretto e piano, perturbazione al I ordine, precessione del perielio di Mercurio.
([Ce] capitolo 7, paragrafi MC 1,…, MC 5, vedi anche Precessione perielio Mercurio.pdf in Appunti ed esercizi).
3. Argomenti di meccanica quantistica
3.1
Def. di operatore limitato e non limitato, operatori Q, P (posizione e momento) come esempi di operatori non limitati.
Def. di operatore aggiunto, simmetrico e autoaggiunto, criterio di autoaggiuntezza, autoaggiuntezza di Q, P, perturbazione di un operatore autoaggiunto e teorema di Kato-Rellich (S.D.).
Def. di spettro, lo spettro di un operatore autoaggiunto e' reale (S.D.), spettro di Q, P.
Def. di operatore isometrico e unitario, esempi.
Enunciato del teorema spettrale e definizione di funzione di operatore, esempi.
Def. di gruppo unitario, corrispondenza biunivoca tra operatori autoaggiunti e gruppi unitari (S.D.), esempio di Q, P e dei corrispondenti gruppi unitari, soluzione dell'equazione di Schroedinger.
([T] cap. 4, paragrafi 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.8; per il teorema spettrale [T1] file Enunciato teorema spettrale.pdf in Appunti ed esercizi).
3.2
Richiami delle regole della meccanica quantistica
([T1] file REGOLE MQ.pdf in Appunti ed esercizi).
3.3
Particella libera: hamiltoniana, spettro, risolvente (S.D.), gruppo unitario, stima asintotica del gruppo unitario.
([T] cap. 6, paragrafi 6.1, 6.2).
3.4
Impostazione di un problema di diffusione (scattering), definizione e proprieta' degli operatori d'onda, definizione di completezza asintotica, definizione e proprieta' dell'operatore di scattering S, teorema della diffusione nei coni.
([T1] file Diffusione in Meccanica Quantistica.pdf in Appunti ed esercizi).
3.5
Esistenza degli operatori d'onda, esempio del potenziale separabile.
([T1] file Esistenza operatori donda.pdf in Appunti ed esercizi).
3.6
Definizione di autofunzioni generalizzate, teorema di esistenza (S.D.), teorema di espansione in autofunzioni generalizzate (S.D.).
Calcolo delle autofunzioni generalizzate nel caso del potenziale separabile.
([T1] file Autofunzioni generalizzate.pdf in Appunti ed esercizi).
3.7
Rappresentazione degli operatori d'onda, completezza asintotica, calcolo dell'operatore di scattering S, approssimazione di Born.
([T1] file Completezza asintotica e matrice S.pdf in Appunti ed esercizi).
Legenda: S.D. = senza dimostrazione
Bibliografia
[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, ed. Aracne
[T] A. Teta, Appunti di meccanica quantistica, disponibili in Appunti ed esercizi
[T1] A. Teta, Altri appunti di meccanica quantistica, disponibili in Appunti ed esercizi
[Ce] A. Celletti, Esercizi e complementi di meccanica razionale, ed. Aracne
[D] Dell'Antonio Elementi di meccanica, ed. Liguori
[Ca] Caglioti, Appunti di meccanica razionale I, disponibili qui https://sites.google.com/site/ecaglioti/didattica/MR
Diario delle lezioni
Marzo
1
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie, problema di Cauchy, richiami sui teoremi di esistenza e unicità', esempi, lemma di Gronwall, continuità rispetto ai dati.
[E] 2.1, 2.2 (S.D.), 2.3, 2.4
3
Metodo delle differenze finite. Definizione di integrale primo. Evoluzione temporale e proprieta' di gruppo nel caso autonomo. Teorema del trasporto di Liouville.
[E] 2.6, 3.1, 12.5
7
Fine teorema di Liouville. Stati e osservabili, equazione di Liouville. Equilibri e stabilita'. Teorema di Lyapunov.
10
Teorema di stabilita' dal linearizzato (S.D.), esempi ed esercizi.
15
Modello di Lotka-Volterra, esercizi proposti
17
Insieme \omega-limite, insieme positivamente invariante, teorema di Poincare'-Bendixon (S.D.), modello semplificato di oscillatore di van der Pol (cenni). Esercizi.
22
Derivazione delle equazioni di Hamilton, principio variazionale. Costanti del moto, parentesi di Poisson e loro proprietà' fondamentali. Definizione di trasformazione canonica, esercizi proposti.
31
Digressione sulle parentesi di Poisson (facoltativo): strutture di Poisson su un'algebra, parentesi di Poisson come unica realizzazione di una struttura di Poisson su un'algebra commutativa, commutatore come unica realizzazione di una struttura di Poisson su un'algebra non commutativa. Cenni storici alla formulazione della meccanica delle matrici.
Aprile
5
Esempi di trasformazioni canoniche, criterio mediante parentesi di Poisson, esempio, spazio delle fasi esteso, criterio mediante la forma differenziale, esempio, funzione generatrice.
7
Esempi di funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi, esempio, caso indipendente dal tempo, esempio, metodo di separazione delle variabili, esempio del problema di Keplero.
12
Variabili azione-angolo, esempio dell'oscillatore armonico.
14
Richiami sul problema di Keplero, separazione delle variabili, variabili d'azione. Cenno alla quantizzazione di Bohr-Sommerfeld.
19
Variabili angolo per il problema di Keplero. Sistemi integrabili (S.D.), teoria delle perturbazioni al I ordine.
26
Perturbazione di un oscillatore armonico. Problema dei tre corpi ristretto e piano, perturbazione al I ordine, precessione del perielio di Mercurio.
28
Operatori limitati e no, esempi, operatore aggiunto, simmetrico e autoaggiunto, criterio di autoaggiuntezza, esempi Q,P, teorema di Kato-Rellich (S.D.).
Maggio
3
Spettro, esempi Q,P, operatore isometrico e unitario, esempi, teorema spettrale e funzione di operatore (S.D.), gruppi unitari.
5
Regole della MQ, commenti.
10
Richiami sulla particella libera: hamiltoniana, spettro, risolvente (S.D.), gruppo unitario, stima asintotica del gruppo unitario.
12
Richiami su misura spettrale, spettro puntuale, continuo, assolutamente continuo. Stati di diffusione.
17
Introduzione allo scattering, cenni al caso classico.
Operatori d'onda, nozione di completezza asintotica, operatore di scattering S, proprieta' fondamentali.
19
Teorema della diffusione nei coni.
Lemma tecnico 1: derivata di e^{itH} e^{-itH_0}. Esistenza degli operatori d'onda.
24
Definizione di autofunzioni generalizzate, esistenza (S.D.), teorema di espansione in autofunzioni generalizzate (S.D.), esempio del potenziale separabile.
Lemmi tecnici 2 e 3: delta-approssimante, limite abeliano.
26
Lemma tecnico 4: integrale rispetto a t del gruppo unitario.
Rappresentazione degli operatori d'onda e completezza asintotica. Esempio del potenziale separabile.
31
Calcolo dell'operatore di diffusione S, approssimazione di Born.