Meccanica Razionale per matematici 2015/16
Laurea in Matematica, II anno, II semestre, canale I-Z, 9 CFU (72 ore di lezione)
AVVISI
L'appello di gennaio 2017 e' spostato al 24 gennaio 2017.
Lo scritto si svolgerà il 24 gennaio 2017 alle ore 9.00 in aula IV.
Sillabo del corso
- Equilibri e stabilita' per equazioni differenziali ordinarie.
- Formulazione assiomatica della meccanica newtoniana per sistemi di punti materiali.
- Equazioni cardinali, leggi di conservazione.
- Analisi qualitativa dei moti unidimensionali.
- Moti centrali e problema di Keplero.
- Principi variazionali ed equazioni di Eulero-Lagrange.
- Dinamica dei sistemi di punti materiali vincolati.
- Sistemi lagrangiani, riduzione a forma normale, integrali primi.
- Equilibri, condizione di stabilita' e instabilita', piccole oscillazioni.
- Simmetrie e teorema di Noether.
- Introduzione alla dinamica del corpo rigido.
Bibliografia
[BN] P. Butta' - P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, ed. Nuova Cultura
[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, ed. Aracne
[T] A. Teta, Appunti sui sistemi unidimensionali, disponibili alla pagina appunti ed esercizi
[C] A. Celletti, Esercizi e complementi di meccanica razionale, ed. Aracne
Programma dettagliato
- Equazioni differenziali ordinarie
Richiami sul teorema di esistenza e unicità', lemma di Gronwall e continuità' dai dati.
Separazione delle variabili per equazioni del primo ordine in dimensione uno.
Nozione di integrale primo.
Definizione di posizione di equilibrio, equilibrio stabile e equilibrio asintoticamente stabile.
Metodo diretto di Lyapunov.
Linearizzazione nell'intorno di una posizione di equilibrio, stabilita' asintotica e instabilità riconosciuta dal linearizzato (S.D.).
[BN] capitolo 2 e paragrafi 8.1, 8.2
- Formulazione delle leggi della meccanica per sistemi di punti materiali
Spazio affine euclideo, riferimento, nozione di tempo assoluto, nozione di punto materiale. Definizione di moto, orbita o traiettoria, velocità' e accelerazione di punti materiali.
Riferimenti in moto traslatorio uniforme.
Principi della dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.
Riduzione dell'equazione di Newton ad un sistema del primo ordine, forze di natura potenziale.
[BN] capitolo 1, oppure [E] paragrafi 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 (S.D.),1.5, 1.6, 8.1, 8.2
- Moti unidimensionali
Definizione, conservazione dell'energia nel caso di forze posizionali, riduzione del moto alle quadrature.
Posizioni di equilibrio, condizioni sufficienti per la stabilita' e l'instabilità, assenza di equilibri asintoticamente stabili.
Moti periodici, stime di periodi, periodo del moto nel limite delle piccole oscillazioni.
Moti asintotici.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi.
Potenziali singolari.
[T], oppure [BN] capitolo 3
- Moti centrali
Definizione, equazione del moto, conservazione di energia e momento angolare.
Caso di momento angolare nullo.
Caso di momento angolare diverso da zero: moto piano, coordinate polari, riduzione alle quadrature, moti circolari uniformi, caduta nel centro, orbite non limitate, equazione dell'orbita, velocità' areolare, angolo di precessione e condizione di esistenza di moti periodici.
Potenziale newtoniano: analisi qualitativa, calcolo dell'orbita, leggi di Keplero.
[BN] paragrafi 4.3, 4.4, 4.5
- Sistemi di N punti materiali
Equazioni cardinali, centro di massa.
Teorema delle forze vive, forze conservative e conservazione dell'energia.
Problema dei due corpi.
[BN] paragrafi 4.1, 4.2
- Equazioni di Lagrange e principi variazionali
Forma lagrangiana delle equazioni del moto, invarianza in forma delle equazioni di Lagrange.
Momenti cinetici, variabili cicliche e quantità' conservate, lagrangiana di un punto materiale in coordinate polari, cilindriche, sferiche.
Definizione di funzionale, esempi, funzionale d'azione, variazione di una curva, derivata di un funzionale, curva stazionaria o critica, derivata del funzionale d'azione, lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, equazioni di Eulero-Lagrange, differenza tra problema ai limiti e problema di Cauchy, esempi.
Il problema della brachistocrona.
Riduzione a forma normale delle equazioni di Eulero-Lagrange.
Principio di Hamilton per N punti materiali, forma generale della lagrangiana in coordinate generalizzate.
Principio variazionale di Fermat in ottica geometrica, analogia tra ottica e meccanica.
[BN] capitolo 5, (per Fermat vedi Appunti di meccanica quantistica, cap. 1: richiami di meccanica ed elettromagnetismo in Appunti ed esercizi)
- Sistemi di N punti materiali vincolati
Definizione di vincolo, vincolo ideale, equazioni di Newton-D'Alembert.
Caso di un punto materiale vincolato ad una curva.
Definizioni di moto possibile, velocità' possibile, velocità virtuale.
Principio di D'Alembert per un sistema di N punti materiali soggetti a vincoli olonomi, bilateri, dipendenti dal tempo e ideali.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e nel caso conservativo.
Principio variazionale per sistemi vincolati.
[E] capitolo 9
- Proprieta' dei sistemi lagrangiani
Integrali primi, energia generalizzata.
Simmetria per una lagrangiana, teorema di Noether, esempi.
Equilibri per un sistema lagrangiano, teorema di Lagrange-Dirichlet.
Linearizzazione nell'intorno di un equilibrio, piccole oscillazioni, frequenze caratteristiche e modi normali.
Condizione per l'instabilita' di un equilibrio.
[BN] capitoli 7, 8
- Introduzione alla dinamica di un corpo rigido
Gradi di liberta', spazio delle configurazioni.
Caso particolare del corpo rigido piano: coordinate lagrangiane, velocita' angolare, atto di moto rigido, energia cinetica, momento di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, vincolo di puro rotolamento per un disco.
Caso generale: velocita' angolare, atto di moto rigido, proiezioni sul sistema fisso e sul sistema solidale, energia cinetica.
Tensore di inerzia, base principale di inerzia, significato degli autovalori.
Momento angolare.
Corpo rigido libero lanciato, impostazione della dinamica mediante le equazioni cardinali.
[BN] capitolo 9
Diario delle lezioni
Marzo
1
Introduzione, richiami di algebra, spazio affine euclideo, riferimento. Nozione di spazio, tempo, punto materiale. Def. di moto, traiettoria, velocita' e accelerazione di un punto materiale.
4
Riferimenti in moto traslatorio uniforme. Principi della dinamica per sistemi di punti materiali. Definizione operativa di massa. Sistemi non isolati e forze dipendenti dal tempo.
Riduzione di sistemi di equazioni differenziali del secondo ordine a sistemi del primo ordine.
7 (3 ore)
Richiami sul teorema di esistenza e unicità'. Soluzione stazionaria e posizioni di equilibrio. Soluzione per separazione di variabili di equazioni del primo ordine in dimensione uno. Lemma di Gronwall e continuità' rispetto ai dati. Integrali primi.
Esercizio: moto di un punto vincolato ad una parabola che ruota intorno al proprio asse con velocità' angolare costante.
11 (3 ore)
Definizione di equilibrio, equilibrio stabile e equilibrio asintoticamente stabile. Teorema di Lyapunov. Sistema linearizzato intorno a un equilibrio. Stabilita' asintotica e instabilità riconosciuta dal linearizzato (S.D.). Esempi, esercizi proposti.
Sistemi meccanici unidimensionali, conservazione dell'energia. Condizione sufficiente per la stabilita di un equilibrio (Lagrange-Dirichlet nel caso unidimensionale).
14
Riduzione alle quadrature. Esercizi su equilibri e stabilita', moto in riferimento rotante.
15
Moti periodici, esempi ed esercizi.
Moti asintotici, pendolo semplice.
18
Stime di periodo, teorema delle piccole oscillazioni di Galileo. Analisi delle orbite nel piano delle fasi, esempio.
21
Esercizi: limite E \rightarrow 0 e \infty del periodo T(E) per V=x^4; stima del periodo per V=x^4; calcolo del moto asintotico quando E=0 per V=x^3; caduta di un grave in un riferimento rotante.
22
Esercizi: potenziale singolare V=k / x^2.
Potenziale armonico come unico potenziale in cui il periodo non dipende dall'energia (facoltativo).
Aprile
1
Moto di un punto soggetto a una forza centrale, eq. del moto, integrali primi. Caso di momento angolare nullo. Caso di momento angolare diverso da zero: moto piano, coordinate polari, riduzione alle quadrature, moti circolari uniformi. Condizioni per la caduta nel centro e per orbite non limitate. Eq. differenziale per l'orbita (inizio).
4
Esercizi: V= -k/x^2, V= -x^3 + x^2, moti non limitati, V= e^{- \lambda x} / (1 + x^2) (prima parte)
5
Equazione differenziale per l'orbita (fine), velocita' areolare, moti periodici. Caso del potenziale newtoniano: analisi qualitativa, calcolo dell'orbita.
8
Leggi di Keplero, problema inverso di Newton (facoltativo), conservazione del vettore di Runge-Lenz (facoltativo), precessione del perielio di Mercurio, problema dei due corpi.
11
Esercizi: V= e^{- \lambda x} / (1 + x^2) (seconda parte), V= r^2/2 - r^6/6
12
Sistemi di punti materiali, equazioni cardinali, centro di massa, teorema delle forze vive, forze conservative e conservazione dell'energia. Equazioni del moto in forma lagrangiana (prima parte).
15
Equazioni del moto in forma lagrangiana (seconda parte), esempi, lagrangiana elettromagnetica, caso di campo magnetico costante.
26
Calcolo delle variazioni, funzionale d'azione, derivata.
29
Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, equazioni di Eulero-Lagrange, principio di Hamilton.
Maggio
2
Brachistocrona, esempi di Hilbert e Weierstrass.
3
Cenni storici di ottica geometrica, principio di Fermat, analogia con la meccanica.
Generalita' sui vincoli.
6
Equazioni di Newton-D'Alembert. Richiami su superfici immerse, vettori tangenti, spazio ortogonale, esempio della superficie sferica.
9
Soluzione delle equazioni di Newton-D'Alembert. Punto vincolato ad una curva, pendolo semplice, pendolo cicloidale.
10
Velocita' e potenza virtuale, principio di D'Alembert, derivazione delle equazioni di Lagrange. Principio variazione per un sistema vincolato.
13
Scrittura esplicita delle equazioni di Lagrange, matrice dell'energia cinetica. Posizioni di equilibrio, teorema di Lagrange-Dirichlet. Linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell'intorno di una posizione di equilibrio.
16
Pendolo sferico, altri esempi di punti vincolati a superfici.
17
Piccole oscillazioni. Condizione di instabilità' di un equilibrio.
20
Pendoli accoppiati. Esercizio con biforcazione.
23
Moto piano di un corpo rigido piano, energia cinetica, momento di inerzia, teorema di Huygens-Steirner.
24 (3 ore)
Vincolo di puro rotolamento. Esercizio.
Simmetrie e costanti del moto, teorema di Noether, esempi.
27
Corpo rigido: gradi di liberta', spazio delle configurazioni, velocità' angolare, atto di moto rigido.
Esercizi.
30
Vincolo di rigidita` perfetto, energia cinetica.
Esercizi.
31 (3 ore)
Tensore di inerzia, proprieta` fondamentali, momento angolare, impostazione della dinamica mediante le equazioni cardinali.
Esercizi.