Laurea Magistrale in Matematica, secondo semestre, 6 CFU (48 ore di lezione)
Martedi 9.00 - 11.00 e Giovedi 16.00 - 18.00 in aula C
Docente A. Teta
Programma del corso
Il programma del corso consiste in:
- parte obbligatoria,
- almeno uno degli argomenti facoltativi,
- svolgimento degli esercizi proposti.
- Parte obbligatoria
1. Elementi di teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert
Richiami su operatori limitati e non limitati, operatore aggiunto, simmetrico, autoaggiunto, unitario.
Criterio di autoaggiuntezza, teorema di Kato-Rellich.
Risolvente e spettro, spettro reale di un operatore autoaggiunto.
Misura di Stieltjes, proiettori ortogonali, famiglia spettrale e misura spettrale, teorema spettrale (s.d.), funzione di operatore, gruppi unitari, soluzione dell’equazione di Schroedinger.
Definizione di spettro puntuale, continuo, assolutamente continuo e singolare continuo e dei corrispondenti sottospazi.
Definizione di spettro discreto ed essenziale, teorema di Weyl sulla stabilita` dello spettro essenziale (s.d.).
Caratterizzazione variazionale dell’estremo inferiore dello spettro di un operatore autoaggiunto (s.d.).
2. Formulazione della meccanica quantistica per una particella
Enunciazione delle regole e commenti.
Osservabili compatibili e non compatibili, principio di indeterminazione. Costanti del moto.
Aspetti generali della dinamica, definizione di stati legati e stati di diffusione.
3. Particella libera
Hamiltoniana, risolvente e spettro.
Gruppo unitario, stima asintotica per tempi grandi, verifica che ogni stato e' di diffusione, evoluzione di un pacchetto d’onda, interferenza di due pacchetti d'onda.
4. Oscillatore armonico
Costruzione della hamiltoniana autoaggiunta, spettro e autofunzioni.
Gruppo unitario, verifica che ogni stato e' legato, evoluzione di un dato gaussiano.
5. Interazione puntuale
Costruzione della hamiltoniana autoaggiunta, risolvente e spettro.
Espansione in autofunzioni generalizzate (s.d.), stima asintotica per tempi grandi, stati di diffusione e stati legati.
Diffusione di un pacchetto gaussiano, probabilita' di riflessione e trasmissione.
6. Atomo di idrogeno
Autoaggiuntezza e limitatezza dal basso dell’hamiltoniana.
Caratterizzazione dello spettro essenziale.
Teorema del viriale e assenza di autovalori positivi.
Esistenza di infiniti autovalori negativi.
Disuguaglianza di Hardy, stima dal basso e dall’alto dell’autovalore minimo.
Calcolo di autovalori e autovettori del momento angolare, calcolo di autovalori e autovettori dell’hamiltoniana.
- Argomenti facoltativi
a) Prop. 4.26, 4.27 (caratterizzazione dello spettro in termini della famiglia spettrale), definizione 4.16 (successione di Weyl), prop. 4.13, prop. 4.29, prop. 4.30 (teorema di Weyl), prop. 4.22.
b) Particella in campo di forza costante (par. 6.5).
c) Particella in campo magnetico costante (par. 7.4).
d) Due interazioni puntuali (par. 8.5).
e) Dimostrazione teorema di espansione in autofunzioni (par. 8.6).
f) Introduzione al problema della diffusione: Stati asintoticamente liberi, operatori d’onda e loro proprieta` fondamentali. Definizione di completezza asintotica, operatore di diffusione e sue proprieta` fondamentali. Teorema della diffusione nei coni. (Diffusione in Meccanica Quantistica.pdf in Appunti ed esercizi).
g) Esistenza degli operatori d'onda. Teorema di espansione in autofunzioni (s.d.). Dimostrazione della completezza asintotica. Calcolo della matrice S. (Esistenza operatori donda.pdf, Autofunzioni generalizzate.pdf, Completezza asintotica e matrice S.pdf in Appunti ed esercizi).
h) Spin (B. Thaller, Advanced Visual Quantum Mechanics, par. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5).
i) Introduzione al problema del limite classico: Dipendenza dal dato iniziale, stati coerenti. Formula di Duhamel. Limite classico con il metodo degli stati coerenti. (par. 7.4 di Cap 7 oscillatore.pdf in Appunti ed esercizi).
- Esercizi proposti
4.1, 4.5 (operatore di Volterra)
6.3, 6.4 (risolvente libero)
7.2 (regione classicamente proibita)
8.5 (autovalori buca potenziale), 8.9 (probabilita' di ionizzazione)
9.8.2 (buca di potenziale sferica), 9.9.9 (atomo di idrogeno in un campo magnetico uniforme)
Bibliografia
Appunti redatti dal docente e distribuiti agli studenti A. Teta - Note di MQ.pdf (versione precedente in italiano disponibile alla pagina appunti ed esercizi)
G. Teschl, Mathematical Method in Quantum Mechanics, American Mathematical Society;
S.J. Gustafson, I.M. Sigal, Mathematical concepts of Quantum Mechanics, Springer
Altri testi di riferimento per consultazione
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I, II, III, IV, Academic Press 1972
W. Thirring, Quantum Mathematical Physics, Springer
B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer
B. Thaller, Advanced Visual Quantum Mechanics, Springer
G. Dell’Antonio, Aspetti matematici della meccanica quantistica, vol. I e II, Bibliopolis
W.O Amrein, Hilbert space methods in Quantum Mechanics, EPEL Press
Letture suggerite
T. Kuhn, La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Einaudi
D. Albert, Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi
G. Ghirardi, I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, in G. Boniolo, Filosofia della fisica, Bruno Mondadori.