Laurea in Matematica, III anno, II semestre, II canale, 9 CFU (84 ore di lezione)
AVVISO
APPELLO DEL 27 giugno 2019:
Gli studenti che devono sostenere la prova orale sono convocati
giovedi 27 giugno alle 11.15 nel mio studio
per fissare il calendario
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APPELLI D'ESAME
Lunedi 4 febbraio 2019, ore 9.00
Martedi 19 febbraio 2019, ore 9.00, aula 1
Giovedi 27 giugno 2019, ore 9.00, aula 1
Martedi 23 luglio 2019, ore 14.00, aula 3
Giovedi 12 settembre 2019, ore 9.00
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Sillabo del corso
Equazione del trasporto e di Liouville
Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac, introduzione alla trasformata di Fourier
Equazione del calore, teoremi di unicita', soluzione in tutto lo spazio
Soluzione di problemi di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili
Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, funzioni armoniche e loro proprieta'
Problemi al contorno e teoremi di unicita'
Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine
Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert
Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier
Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy
Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto
Bibiografia
[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica, http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010
[TS] A.N. Tichonov, A.A. Samarkij, Equazioni della fisica matematica, Mir, 1981
[E] L.C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., 2004
[KF] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir, 1981
[Sm] V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore II, Ed. Riuniti, 1977
ESERCIZI
- pagina personale prof. G. Basile, https://www.mat.uniroma1.it/didattica/corsi-di-laurea/insegnamenti/scheda-insegnamento2358
- Esercizi proposti di Fisica Matematica, in Appunti ed esercizi
PER GLI ASPETTI STORICI
E. Bellone, Caos e armonia, Utet 2004
U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert, Utet 2017
PROGRAMMA DETTAGLIATO
AVVERTENZA
Nel programma che segue alcuni argomenti sono contrassegnati con *.
Per la preparazione dell'esame si suggerisce di studiare prima bene gli argomenti NON contrassegnati con * e solo dopo affrontare lo studio di quelli contrassegnati con *
- Introduzione
Equazioni alle derivate parziali, classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine.
Richiami su integrazione per parti in dim. due e tre, teorema della divergenza, I e II formula di Green
[B] cap. 1, [Sm] par. 66 e 203.
- Equazione differenziali ordinarie, equazione di Liouville e del trasporto lineare
Richiami su equazioni differenziali ordinarie, flusso di fase, caso autonomo e non autonomo.
* Evoluzione della matrice jacobiana del flusso, evoluzione del determinante della matrice jacobiana del flusso, evoluzione del volume nello spazio delle fasi.
Evoluzione di una densita' di probabilita', equazione di Liouville, soluzione dell'equazione di Liouville, equazione di Liouville come legge di conservazione.
Equazione del trasporto lineare, soluzione nel caso omogeneo e nel caso non omogeneo.
[B] cap. 2
- Cenni alle distribuzioni
Funzioni test, definizione di distribuzione, delta di Dirac e sue approssimanti, derivata di una distribuzione, esempi
[S] cap. 7 oppure [KF] cap. IV, sez. 4.
- Introduzione alla trasformata di Fourier
Definizione, formula di inversione, esempi di calcolo di trasformate, proprieta' fondamentali della trasformata di Fourier, trasformata di Fourier in S, trasformata di Fourier in Lˆ2 e teorema di Plancherel, cenni alla trasformata di una distribuzione
[KF] cap. VIII, sez. 3, 4, 5, 8.
- Richiami su sviluppi in serie di funzioni
Basi ortonormali in spazi di Hilbert. Sistema trigonometrico.
* Teorema di Weierstrass sull'approssimazione di funzioni continue mediante polinomi.
* Definizione dei polinomi di Legendre, ortogonalità', completezza, proprietà' fondamentali.
Appunti distribuiti a lezione
- Equazione del calore
Introduzione, derivazione dell'equazione, problemi ai valori iniziali e al contorno.
Principio del massimo per il problema di Cauchy-Dirichlet, unicita' e continuita' dai dati per il problema di Cauchy-Dirichlet.
Unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet e di Cauchy-Neumann con il metodo dell'energia.
Principio del massimo e teorema di unicita' per il problema di Cauchy in R^d.
Soluzione del problema di Cauchy in R^d per l'equazione omogenea e non omogenea.
Metodo di separazione delle variabili, soluzione in dimensione uno con condizioni al bordo di Dirichlet e Neumann.
Esempi ed esercizi.
* Passeggiata aleatoria ed equazione del calore.
[B] cap. 7
- Equazioni di Laplace e Poisson
Introduzione, soluzione fondamentale in d=1 ([B] par. 6.1, 6.2).
Soluzione fondamentale in d=3 calcolata mediante trasformata di Fourier, soluzione fondamentale in d=2 (solo verifica a posteriori) (appunti distribuiti a lezione).
Terza formula di Green ([B] par. 6.5).
Funzioni armoniche: primo e secondo teorema della media, principio del massimo ([B] par. 6.6: proposizioni 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.9, 6.10).
Teorema di unicità per il problema di Laplace/Dirichlet ([B] par. 6.6: proposizione 6.11).
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate cartesiane, problema di Dirichlet per il rettangolo.
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate polari, problema di Dirichlet per il disco, formula di Poisson per il disco ([B] par. 6.7 e/o appunti distribuiti a lezione).
* Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate sferiche (con simmetria azimutale), problema di Dirichlet per la sfera (con simmetria azimutale) (appunti distribuiti a lezione).
Definizione di funzione di Green per un dominio \Omega con condizioni di Dirichlet, proprietà fondamentali della funzione di Green, impostazione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace e Poisson in un dominio \Omega mediante funzione di Green ([B] par. 6.9).
* Metodo della carica immagine per il piano e la sfera, formula di Poisson per la sfera ([B] par. 6.9).
* Teoremi di Harnack e Liouville ([B] par. 6.7: proposizioni 6.14, 6.15).
* Soluzione dell'equazione di Poisson in R^3, andamento del potenziale per |x| che tende all'infinito ([B] par. 6.8).
Esempi ed esercizi.
* Esempi di problemi al contorno in elettrostatica.
- Equazione delle onde in dimensione uno
Derivazione dell'equazione della corda vibrante, corda vibrante come limite di oscillatori armonici, derivazione dell'equazione dal principio variazionale.
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Conservazione dell'energia e teorema di unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Soluzione di D'Alembert del problema di Cauchy globale, discussione della soluzione.
([B] cap 3, par. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4).
* Soluzione fondamentale, soluzione di D'Alembert calcolata mediante la soluzione fondamentale (appunti distribuiti a lezione oppure [B] par. 3.5).
Soluzione dell'equazione non omogenea ([B] par. 3.6 oppure appunti distribuiti a lezione).
Metodo di Fourier per la corda finita con condizioni al bordo: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo, problema di Cauchy-Neumann omogeneo, vibrazioni forzate, problema misto, condizioni al bordo non omogenee, esempi ed esercizi ([B] par. 4.2.2, 4.3.1, 4.3.3, 4.3.4).
- Equazione delle onde in dimensione tre e due
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, teoremi di unicita' con il metodo dell'energia ([B] par. 5.1).
Soluzione di Kirchhoff del problema di Cauchy globale in dimensione tre, discussione della soluzione, soluzione dell'equazione non omogenea (appunti distribuiti a lezione oppure [B] par. 5.3).
* Soluzione di Poisson del problema di Cauchy globale in dimensione due ([B] par. 5.4).
* Problema di Cauchy in domini limitati con condizioni al bordo di Dirichlet o Neumann, caso della membrana rettangolare ([B] par. 5.2).
- Equazioni di Maxwell
* Soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto, conservazione dell'energia, cenni ai campi radiativi.
(par. 1.10 di Cap. 1: A Brief Review on Hamiltonian Mechanics and Electromagnetism in Appunti ed esercizi).