Laurea in Matematica, III anno, II semestre, II canale, 9 CFU (84 ore di lezione)
AVVISI
- MODULO PER ATTIVITA' IN PRESENZA (vedi file pdf in fondo alla pagina)
- Appunti ed Esercizi di Fisica Matematica, aggiornato al 9 gennaio 2020 (vedi file pdf in fondo alla pagina)
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APPELLI D'ESAME
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SILLABO DEL CORSO
Cenni alle distribuzioni, delta di Dirac
Introduzione alla trasformata di Fourier
Equazione di Laplace e di Poisson, funzione di Green, identità' di Green, funzioni armoniche e loro proprieta'
Formulazione dei problemi al contorno e teoremi di unicita'
Soluzione di problemi al contorno per separazione di variabili e con il metodo della carica immagine
Equazione della corda vibrante, soluzione di D'Alembert
Equazione della corda vibrante sul segmento, soluzione per serie di Fourier
Equazione delle onde in due e tre dimensioni, soluzione del problema di Cauchy
Soluzione delle Equazioni di Maxwell nel vuoto
Equazione del calore, teoremi di unicità', soluzione in tutto lo spazio
Soluzione del problema di Cauchy e al contorno sul segmento per separazione di variabili
BIBLIOGRAFIA
[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica, http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010
[TS] A.N. Tichonov, A.A. Samarkij, Equazioni della fisica matematica, Mir, 1981
[E] L.C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., 2004
[KF] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir, 1981
[Sm] V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore II, Ed. Riuniti, 1977
[T] A. Teta, Appunti ed esercizi di Fisica Matematica, file pdf in fondo alla pagina
Altri esercizi
- pagina personale prof. G. Basile, https://www.mat.uniroma1.it/didattica/corsi-di-laurea/insegnamenti/scheda-insegnamento2358
PER GLI ASPETTI STORICI
[Be] E. Bellone, Caos e armonia, Utet 2004
[Bo] U. Bottazzini, Il flauto di Hilbert, Utet 2017
PROGRAMMA COMPLETO
- Introduzione
Equazioni alle derivate parziali, classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine
[B] cap. 1.
Richiami su integrazione per parti in dim. due e tre, teorema della divergenza, prima e seconda formula di Green
[Sm] par. 66 e 203 oppure [T] par. 2.1.
- Introduzione alle distribuzioni
Funzioni test, definizione di distribuzione, delta di Dirac, derivata di una distribuzione, moltiplicazione di una distribuzione per una funzione infinitamente differenziabile
[S] cap. 7 oppure [KF] cap. IV, sez. 4.
- Introduzione alla trasformata di Fourier
Definizione, formula di inversione, esempi di calcolo di trasformate, proprieta' fondamentali della trasformata di Fourier, trasformata di Fourier in S, trasformata di Fourier in Lˆ2 e teorema di Plancherel (senza dimostrazione), cenni alla trasformata di una distribuzione
[KF] cap. VIII, sez. 3, 4, 5, 8.
- Equazioni di Laplace e Poisson
Introduzione
[B] par. 6.1.
Definizione e proprieta' della funzione di Green (o soluzione fondamentale) per l'operatore di Laplace in d=3, 2.
[T] par. 5.2.
Costruzione della funzione di Green in d=3, 2 mediante trasformata di Fourier.
[T] par. 5.3.
Soluzione dell'equazione di Poisson in casi semplici: potenziale prodotto da una sfera omogenea in R^3 e da un disco omogeneo in R^2.
[T] par. 5.5, esercizi 1 e 3 del par. 5.4.1.
Soluzione dell'equazione di Poisson in R^3, andamento del potenziale per |x| che tende all'infinito
[B] par. 6.8.
Terza formula di Green
[B] par. 6.5.
Funzioni armoniche: primo e secondo teorema della media, principio del massimo
[B] par. 6.6: proposizioni 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9, 6.10.
Teorema di Liouville e teorema di unicità per l'equazione di Poisson
[T] par. 5.7
Teorema di unicità per il problema di Laplace/Dirichlet
[B] par. 6.6: proposizione 6.11.
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate cartesiane, problema di Dirichlet per il rettangolo.
[T] esercizi 2, 3, 4, 5 del par. 5.9.1.
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate polari, problema di Dirichlet per il disco,
formula di Poisson per il disco
[B] par. 6.7, [T] par. 5.10, 5.11, 5.13.
Definizione e proprietà fondamentali dei polinomi di Legendre (senza dimostrazioni).
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate sferiche con simmetria azimutale, problema di Dirichlet per la sfera (con simmetria azimutale)
[T] par. 2.4, 5.15, 5.16, 5.18.
Definizione di funzione di Green per un dominio \Omega con condizioni di Dirichlet, proprietà fondamentali della funzione di Green, impostazione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace e Poisson in un dominio \Omega mediante funzione di Green
[B] par. 6.9.
Metodo della carica immagine per il piano e la sfera, formula di Poisson per la sfera
[B] par. 6.9.
Esempi di problemi al contorno in elettrostatica
[T] par. 5.21.
- Equazione delle onde in dimensione uno
Derivazione dell'equazione della corda vibrante, corda vibrante come limite di oscillatori armonici, derivazione dell'equazione dal principio variazionale.
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Conservazione dell'energia e teorema di unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Soluzione di D'Alembert del problema di Cauchy globale, discussione della soluzione.
[B] cap 3, par. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.
Soluzione fondamentale, soluzione di D'Alembert calcolata mediante la soluzione fondamentale
[T] par. 6.4 oppure [B] par. 3.5.
Soluzione dell'equazione non omogenea
[T] par 6.5 oppure [B] par. 3.6.
Metodo di Fourier per la corda finita con condizioni al bordo: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo, problema di Cauchy-Neumann omogeneo, vibrazioni forzate, problema misto, condizioni al bordo non omogenee
[B] par. 4.2.2, 4.3.1, 4.3.3, 4.3.4.
- Equazione delle onde in dimensione tre e due
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, teoremi di unicita' con il metodo dell'energia
[B] par. 5.1.
Soluzione di Kirchhoff del problema di Cauchy globale in dimensione tre, discussione della soluzione, soluzione dell'equazione non omogenea
[T] par. 6.9, 6.10, 6.11 oppure [B] par. 5.3.
Soluzione di Poisson del problema di Cauchy globale in dimensione due
[B] par. 5.4.
- Equazioni di Maxwell
Soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto, conservazione dell'energia, cenni ai campi radiativi.
[T] cap. 7
- Equazione del calore
Introduzione, derivazione dell'equazione, problemi ai valori iniziali e al contorno.
Unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet e di Cauchy-Neumann con il metodo dell'energia.
Unicita' per il problema di Cauchy in R^d (senza dimostrazione).
Principio del massimo su un dominio limitato e in R^d (senza dimostrazione).
Soluzione del problema di Cauchy in R^d per l'equazione omogenea e non omogenea.
Metodo di separazione delle variabili, soluzione in dimensione uno con condizioni al bordo di Dirichlet e Neumann.
[T] par. 8.3, 8.4, 8.5 e [B] cap. 7
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PROGRAMMA RIDOTTO
- Introduzione
Equazioni alle derivate parziali, classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine
[B] cap. 1.
Richiami su integrazione per parti in dim. due e tre, teorema della divergenza, prima e seconda formula di Green
[Sm] par. 66 e 203 oppure [T] par. 2.1.
- Introduzione alle distribuzioni
Funzioni test, definizione di distribuzione, delta di Dirac, derivata di una distribuzione, moltiplicazione di una distribuzione per una funzione infinitamente differenziabile
[S] cap. 7 oppure [KF] cap. IV, sez. 4.
- Introduzione alla trasformata di Fourier
Definizione, formula di inversione, esempi di calcolo di trasformate, proprieta' fondamentali della trasformata di Fourier, trasformata di Fourier in S, trasformata di Fourier in Lˆ2 e teorema di Plancherel (senza dimostrazione), cenni alla trasformata di una distribuzione
[KF] cap. VIII, sez. 3, 4, 5, 8.
- Equazioni di Laplace e Poisson
Introduzione
[B] par. 6.1.
Definizione e proprieta' della funzione di Green (o soluzione fondamentale) per l'operatore di Laplace in d=3, 2.
[T] par. 5.2.
Soluzione dell'equazione di Poisson in casi semplici: potenziale prodotto da una sfera omogenea in R^3 e da un disco omogeneo in R^2.
[T] par. 5.5, esercizi 1 e 3 del par. 5.4.1.
Soluzione dell'equazione di Poisson in R^3, andamento del potenziale per |x| che tende all'infinito
[B] par. 6.8 (senza dimostrazioni).
Terza formula di Green
[B] par. 6.5.
Funzioni armoniche: primo e secondo teorema della media, principio del massimo
[B] par. 6.6: proposizioni 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.9, 6.10.
Teorema di Liouville e teorema di unicità per l'equazione di Poisson
[T] par. 5.7
Teorema di unicità per il problema di Laplace/Dirichlet
[B] par. 6.6: proposizione 6.11.
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate cartesiane, problema di Dirichlet per il rettangolo.
[T] esercizi 2, 3, 4, 5 del par. 5.9.1.
Soluzione dell'equazione di Laplace per separazione di variabili in coordinate polari, problema di Dirichlet per il disco
[B] par. 6.7, [T] par. 5.10, 5.11, 5.13.
Definizione di funzione di Green per un dominio \Omega con condizioni di Dirichlet, proprietà fondamentali della funzione di Green, impostazione del problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace e Poisson in un dominio \Omega mediante funzione di Green
[B] par. 6.9.
- Equazione delle onde in dimensione uno
Derivazione dell'equazione della corda vibrante, corda vibrante come limite di oscillatori armonici, derivazione dell'equazione dal principio variazionale.
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Conservazione dell'energia e teorema di unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy con condizioni periodiche.
Soluzione di D'Alembert del problema di Cauchy globale, discussione della soluzione.
[B] cap 3, par. 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.
Soluzione dell'equazione non omogenea
[T] par 6.5 oppure [B] par. 3.6.
Metodo di Fourier per la corda finita con condizioni al bordo: problema di Cauchy-Dirichlet omogeneo, problema di Cauchy-Neumann omogeneo, vibrazioni forzate, problema misto, condizioni al bordo non omogenee
[B] par. 4.2.2, 4.3.1, 4.3.3, 4.3.4.
- Equazione delle onde in dimensione tre
Problemi di Cauchy globale, Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, teoremi di unicita' con il metodo dell'energia
[B] par. 5.1.
Soluzione di Kirchhoff del problema di Cauchy globale in dimensione tre (senza dimostrazione), discussione della soluzione, soluzione dell'equazione non omogenea
[T] par. 6.9, 6.10, 6.11 oppure [B] par. 5.3.
- Equazione del calore
Introduzione, derivazione dell'equazione, problemi ai valori iniziali e al contorno.
Unicita' per i problemi di Cauchy-Dirichlet e di Cauchy-Neumann con il metodo dell'energia.
Unicita' per il problema di Cauchy in R^d (senza dimostrazione).
Principio del massimo su un dominio limitato e in R^d (senza dimostrazione).
Soluzione del problema di Cauchy in R^d per l'equazione omogenea e non omogenea.
Metodo di separazione delle variabili, soluzione in dimensione uno con condizioni al bordo di Dirichlet e Neumann.
[T] par. 8.3, 8.4, 8.5 e [B] cap. 7