Programma dettagliato

Riferimenti bibliografici

[BN] P. Butta' - P. Negrini, Note del corso di meccanica razionale, ed. Nuova Cultura

[E] R. Esposito, Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, ed. Aracne

[T] A. Teta, Appunti sui sistemi unidimensionali, disponibili alla pagina appunti ed esercizi

[C] A. Celletti, Esercizi e complementi di meccanica razionale, ed. Aracne

- Equazioni differenziali ordinarie

Richiami sul teorema di esistenza e unicità', lemma di Gronwall e continuità' dai dati.

Separazione delle variabili per equazioni del primo ordine in dimensione uno.

Nozione di integrale primo.

Definizione di posizione di equilibrio, equilibrio stabile e equilibrio asintoticamente stabile.

Metodo diretto di Lyapunov.

Linearizzazione nell'intorno di una posizione di equilibrio, stabilita' asintotica e instabilità riconosciuta dal linearizzato (S.D.).

Instabilita' riconosciuta dal linearizzato nel caso meccanico.

[BN] capitolo 2 e paragrafi 8.1, 8.2, 8.6

- Formulazione delle leggi della meccanica per sistemi di punti materiali

Spazio affine euclideo, riferimento, nozione di tempo assoluto, nozione di punto materiale. Definizione di moto, orbita o traiettoria, velocità' e accelerazione di punti materiali.

Riferimenti in moto traslatorio uniforme.

Principi della dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.

Riduzione dell'equazione di Newton ad un sistema del primo ordine, forze di natura potenziale.

[BN] capitolo 1, oppure [E] paragrafi 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 (S.D.),1.5, 1.6, 8.1, 8.2

- Moto unidimensionale

Definizione, conservazione dell'energia nel caso di forze posizionali, riduzione del moto alle quadrature.

Posizioni di equilibrio, condizioni sufficienti per la stabilita' e l'instabilità , assenza di equilibri asintoticamente stabili.

Moti periodici, stime di periodi, periodo del moto nel limite delle piccole oscillazioni.

Moti asintotici.

Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi.

Potenziali singolari.

[T], oppure [BN] capitolo 3

- Moto in un campo centrale

Definizione, equazione del moto, conservazione di energia e momento angolare.

Caso di momento angolare nullo.

Caso di momento angolare diverso da zero: moto piano, coordinate polari, riduzione alle quadrature, moti circolari uniformi, caduta nel centro, orbite non limitate.

Equazione dell'orbita, velocità' areolare.

Angolo di precessione e condizione di esistenza di moti periodici.

Potenziale newtoniano: analisi qualitativa, calcolo dell'orbita, leggi di Keplero.

[BN] paragrafi 4.3, 4.4, 4.5

- Sistemi di N punti materiali

Equazioni cardinali, centro di massa.

Teorema delle forze vive, forze conservative e conservazione dell'energia.

Problema dei due corpi.

[BN] paragrafi 4.1, 4.2

- Equazioni di Lagrange e principi variazionali

Forma lagrangiana delle equazioni del moto, invarianza in forma delle equazioni di Lagrange.

Momenti cinetici, variabili cicliche e quantità' conservate, lagrangiana di un punto materiale in coordinate polari, cilindriche, sferiche.

Definizione di funzionale, esempi, funzionale d'azione, variazione di una curva, derivata di un funzionale, curva stazionaria o critica, derivata del funzionale d'azione, lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, equazioni di Eulero-Lagrange, differenza tra problema ai limiti e problema di Cauchy, esempi.

Il problema della brachistocrona.

Riduzione a forma normale delle equazioni di Eulero-Lagrange.

Principio di Hamilton per N punti materiali, forma generale della lagrangiana in coordinate generalizzate.

Principio variazionale di Fermat in ottica geometrica, principio variazionale di Maupertius in meccanica, analogia tra ottica e meccanica.

[BN] capitolo 5, (per Fermat vedi Appunti di meccanica quantistica, cap. 1: richiami di meccanica ed elettromagnetismo in Appunti ed esercizi, per Maupertius vedi [E] capitolo 10)

- Sistemi di N punti materiali vincolati

Definizione di vincolo, vincolo ideale, equazioni di Newton-D'Alembert.

Caso di un punto materiale vincolato ad una curva.

Definizioni di moto possibile, velocità' possibile, velocità virtuale.

Principio di D'Alembert per un sistema di N punti materiali soggetti a vincoli olonomi, bilateri, dipendenti dal tempo e ideali.

Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e nel caso conservativo.

Principio variazionale per sistemi vincolati.

Vincolo anolonomo integrabile.

[E] capitolo 9

- Proprieta' dei sistemi lagrangiani

Arbitrarieta' della lagrangiana, integrali primi, energia generalizzata.

Simmetria per una lagrangiana, teorema di Noether, esempi.

Equilibri per un sistema lagrangiano, teorema di Lagrange-Dirichlet.

Linearizzazione nell'intorno di un equilibrio, piccole oscillazioni, frequenze caratteristiche e modi normali.

Condizione per l'instabilita' di un equilibrio.

[BN] capitoli 7, 8

- Introduzione alla dinamica di un corpo rigido

Gradi di liberta', spazio delle configurazioni.

Caso particolare del corpo rigido piano: coordinate lagrangiane, velocita' angolare, atto di moto rigido, energia cinetica, momento di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, vincolo di puro rotolamento per un disco.

Caso generale: velocita' angolare, atto di moto rigido, proiezioni sul sistema fisso e sul sistema solidale, energia cinetica.

Tensore di inerzia, base principale di inerzia, significato degli autovalori, assi principali di inerzia in presenza di simmetrie

della distribuzione di massa.

Corpo rigido libero lanciato, moto del centro di massa e moto di rotazione.

Conservazione del momento angolare.

Angoli di Eulero, velocita' angolare e energia cinetica in funzione degli angoli di Eulero.

Analisi del moto di rotazione del corpo rigido libero lanciato.

[BN] capitolo 9