Laurea Magistrale in Matematica, secondo semestre, 6 CFU (48 ore di lezione)

AVVISI

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Programma del corso

- Elementi di teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert


Richiami su operatori limitati e non limitati, operatore aggiunto, simmetrico, autoaggiunto, unitario.
 Criterio di autoaggiuntezza, teorema di Kato-Rellich.
Risolvente e spettro, spettro reale di un operatore autoaggiunto.
 Misura di Stieltjes, proiettori ortogonali, famiglia spettrale e misura spettrale, teorema spettrale (s.d.), funzione di operatore, gruppi unitari. 
Definizione di spettro puntuale, continuo, assolutamente continuo e singolare continuo e dei corrispondenti sottospazi.
Definizione di spettro discreto ed essenziale,  teorema di Weyl sulla stabilita` dello spettro essenziale (s.d.).
 Caratterizzazione variazionale dell’estremo inferiore dello spettro di un operatore autoaggiunto (s.d.).

- Formulazione della meccanica quantistica per una particella


Enunciazione delle regole e commenti. 
 Osservabili compatibili e non compatibili, principio di indeterminazione. Costanti del moto. 
 Aspetti generali della dinamica, definizione di stati legati e stati di diffusione.

- Particella libera


Hamiltoniana, risolvente e spettro.
 Gruppo unitario, stima asintotica per tempi grandi, verifica che ogni stato e' di diffusione, evoluzione di un pacchetto d’onda, interferenza di due pacchetti d'onda.

- Interazione puntuale


Costruzione della hamiltoniana autoaggiunta, risolvente e spettro.
 Espansione in autofunzioni generalizzate (s.d.), stima asintotica per tempi grandi, stati di diffusione e stati legati. 
Diffusione di un pacchetto gaussiano, probabilita' di riflessione e trasmissione. 

- Atomo di idrogeno


Autoaggiuntezza e limitatezza dal basso dell’hamiltoniana.
 Caratterizzazione dello spettro essenziale. 
Teorema del viriale e assenza di autovalori positivi.
 Disuguaglianza di Hardy, stima dal basso e dall’alto dell’autovalore minimo.
 Cenni al calcolo di autovalori e autovettori dell’hamiltoniana (s.d.).

- Introduzione al problema della diffusione

Stati asintoticamente liberi, operatori d’onda e loro proprieta` fondamentali. Definizione di completezza asintotica, operatore di diffusione e sue proprieta` fondamentali.  Teorema della diffusione nei coni. Esistenza degli operatori d'onda. Teorema di espansione in autofunzioni (s.d.). Dimostrazione della completezza asintotica. Calcolo della matrice S.

- PARTE SVOLTA DAL PROF. D. MONACO

Moto classico e quantistico della particella carica in campo elettromagnetico esterno.

Formulazione lagrangiana delle equazioni di Maxwell e moto classico di una particella carica in campo magnetico costante:

A. Fasano, S. Marmi. Analytical Mechanics - An Introduction. Oxford University Press, 2006. [Sez. 4.7 e 4.8]

Autoaggiunzione dell'Hamiltoniana quantistica per una particella in campo elettromagnetico esterno:

M. Reed, B. Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 2. Academic Press, 1975. [Sez. X.2 e X.4]

Hamiltoniana di Landau (campo magnetico costante e uniforme):

A. Teta. A Mathematical Primer on Quantum Mechanics. Springer, 2018. [Cap. 7]

B. Thaller. Visual Quantum Mechanics. Springer, 2000. [Sez. da 8.3 a 8.6]

E' parte integrante del programma lo svolgimento scritto di 5 esercizi scelti nella lista di esercizi proposti

Lista di esercizi proposti

Bibliografia

[T1] A. Teta, A Mathematical Primer on Quantum Mechanics, Springer 2018

[T2] A. Teta, Notes on Scattering Theory

G. Teschl, Mathematical Method in Quantum Mechanics, American Mathematical Society;

S.J. Gustafson, I.M. Sigal, Mathematical concepts of Quantum Mechanics, Springer

Altri testi di riferimento per consultazione

M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I, II, III, IV, Academic Press 1972

W. Thirring, Quantum Mathematical Physics, Springer

B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer

B. Thaller, Advanced Visual Quantum Mechanics, Springer

G. Dell’Antonio, Aspetti matematici della meccanica quantistica, vol. I e II, Bibliopolis

W.O Amrein, Hilbert space methods in Quantum Mechanics, EPEL Press

Letture suggerite

T. Kuhn, La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Einaudi

D. Albert, Meccanica quantistica e senso comune, Adelphi

G. Ghirardi, I fondamenti concettuali della meccanica quantistica, in G. Boniolo, Filosofia della fisica, Bruno Mondadori.