Math Models Bio
http://www.dmb.biophys.msu.ru/models
Каталог динамических моделей в биологии на сайте Биофизики МГУ
http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/
Г.Ю. Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть I.
http://www.biophys.msu.ru/general_courses/mmb/
Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова.
Биологический факультет. Кафедра биофизики
119991, Москва, ГСП-2, Ленинские горы. Телефон (495) 939-1116, факс 939-1115.
для студентов Биологического факультета МГУ
ЛЕКЦИИ
Профессор кафедры биофизики Галина Юрьевна Ризниченко.
Каф. биофизики, комната119; тел 9390289; riznich@biophys.msu.ru
Лекция 1. Введение. Классификация моделей. Основные понятия. Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния и его устойчивости
- Учебник: Введение
- Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
- Презентация: Введение в математическую биологию (9 МБайт)
- Презентация: Исследование одного уравнения (0.3 МБайт)
Лекция 2. Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модели с наименьшей критической численностью. Дискретные модели: устойчивый рост, циклы, динамический хаос. Модели с запаздыванием. Вероятностные модели.
- Учебник: Модели роста популяций
- Презентация: Модели популяционной динамики (0.9 МБайт)
Лекция 3. Матричные модели популяций. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек: узел, фокус, седло, центр. Параметрический портрет системы для типов устойчивости системы двух уравнений.
Лекция 4. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Пример: система линейных уравнений для химических реакций. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.
Лекция 5. Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Мультистационарные системы. Фазовый портрет триггерной системы. Типы переключения триггера. Отбор одного из равноправных видов при наличии неограниченных и ограниченных ресурсов. Триггер Жакоба и Моно.
- Учебник: Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
- Учебник: Мультистационарные системы
- Презентация: Иерархия времен в биологических системах (0.4 МБайт)
- Презентация: Биологические триггеры. Мультистационарные системы (0.3 МБайт)
Лекция 6. Колебания в биологических системах. Понятие автоколебаний и предельного цикла. Бифуркация Хопфа рождения предельного цикла. Модель брюсселятор. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Колебания кальция.
- Учебник: Колебания в биологических системах
- Презентация: Колебательные процессы в биологии (0.6 МБайт)
Лекция 7. Модели в микробиологии. Проточный культиватор. Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.
- Учебник: Модели взаимодействия двух видов
- Учебник: Моделирование микробных популяций
- Презентация: Модели взаимодействия двух видов (0.5 МБайт)
Лекция 8. Квазистохастическое поведение динамических систем. Динамический хаос. Пространственно-динамический хаос в моделях кардиологии. Сердечные аритмии. Модель нелинейной системы трансмембранного переноса ионов. Типы поведения системы: затухающие колебания, триггер, автоколебания. Поведение системы в присутствии переменного электрического поля. Резонансные свойства.
- Учебник: Динамический хаос. Модели биологических сообществ
- Учебник: Модель воздействия слабого электрического поля на нелинейную систему трансмембранного переноса ионов
- Презентация: Динамический хаос (1 МБайт)
- Презентация: Распространение фронтов, импульсов и волн. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии (4 МБайт)
Лекция 9. Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.
- Учебник: Колебания в биологических системах
- Презентация: Распределенные системы (4 МБайт)
Лекция 10. Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды. Реакция Белоусова-Жаботинского. Модели окраски шкур животных.
- Учебник: Колебания в биологических системах
Лекция 11. Модели молекулярной динамики. Принципы построения и примеры. Модели броуновской динамики. Модели переноса электрона в комплексах молекул-переносчиков. Кинетические и прямые многочастичные модели процессов в фотосинтетической мембране.
- Учебник: Колебания в биологических системах
- Презентация: Процессы в фотосинтетической мембране. Знания и модели (5 МБайт)
СЕМИНАРЫ
Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.
Семинар 9. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора.
ТЕМЫ К ЭКЗАМЕНУ
- Введение. Классификация моделей.
- Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния. Устойчивость.
- Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модель с наименьшей критической численностью. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями (дискретная логистическая модель). Возрастная матрица Лесли.
- Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма. Пример: система линейных уравнений для химических реакций.
- Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Линеаризация в окрестности стационарного состояния. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.
- Мультистационарные системы. Переключение триггера. Отбор одного из равноправных видов. Триггер Жакоба и Моно. Триггерные системы в ферментативном катализе. Иерархия времен. Принцип «узкого места»
- Колебания в биологических системах. Понятие предельного цикла. Модельные системы мягкого и жесткого рождения предельного цикла. Примеры. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Динамический хаос.
- Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели: модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.
- Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.
- Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды.
МОДЕЛИ
- Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности)
- Логистический рост (решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
- Модель популяции с наименьшей критической численностью (график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
- Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия)
- Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
- Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
- Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
Курс "Математическое моделирование в биологии"
!
Внимание! На сайте приведена приблизительная программа курса. Используйте этот материал при подготовке к экзаменам только по согласованию с преподавателем!