Introducción a la variable compleja visual 

La variable Compleja es un mundo fascinante, la presentación de sus funciones no solo es ciencia sino que es arte. Al estudiar las funciones de variable compleja, descubrimos una serie de fenómenos únicos, muy diferentes de lo que encontramos en cálculo real. 

El sistema implementado en este curso es de utilidad para visualizar muchos de los conceptos formales relativos a las funciones de variable compleja, como polos y ceros, multiplicidad, etc. Además, la herramienta permite, por su interactividad y versatilidad, comprender visualmente la topología de los puntos fijos en la iteración de mapas complejos. Esto es así porque su interfaz gráfica permite realizar fácilmente iteraciones de las transformaciones complejas, recreando por  ejemplo los conjuntos de Julia y Mandelbrot y diferentes aspectos de la teoría del caos son  presentados visualmente de forma clara y precisa. Al mismo tiempo, la aplicación como herramienta para el procesamiento de imágenes es interesante de explorar.

Las representaciones gráficas de funciones pertenecen a las herramientas más útiles en matemáticas y sus aplicaciones. Si bien los gráficos de funciones (escalares) de valores reales se pueden representar fácilmente en un plano, el gráfico de una función compleja en una variable es una superficie en un espacio de cuatro dimensiones. Dado que nuestra imaginación está entrenada en tres dimensiones, la mayoría de nosotros tenemos dificultades para "ver" un objeto así.

Sabemos que un número complejo C es aquel que se puede escribir de la forma    

 z = x + iy

donde x y y son números reales R  e i es la llamada unidad imaginaria cuya existencia se postula tal que 

Cuando el dominio de una función f es un conjunto de números complejos y cuando los valores que proporciona la función son también números complejos, tenemos una función de variable compleja f(z). Definida como:

w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)  

Conocida como la representación rectangular de la función compleja f(z) que es equivalente a un par de funciones reales u(x,y) y vx,y. 

Representación gráfica

De todas maneras existen diversas alternativas para representar gráficamente una función compleja.

• Coloreado de dominio

• Gráficas de la parte real e imaginaria, módulo y argumento

• Gráficas de transformación 

En esta clase voy a desarrollar el método más común es dibujar dos copias del plano complejo, una para z y otra para w , y luego en el plano w dibuje las imágenes bajo f de varias curvas y regiones en el plano z . Esta técnica simple es conocida como coloración de dominio (un término acuñado por el profesor Frank Farris).  

Este método es obviamente muy adecuado para gráficos por computador.

Aunque la coloración de dominio se puede utilizar para dibujar imágenes de funciones arbitrarias  f : C → C (o R 2 → R 2 ), aquí sólo he considerado las funciones analíticas, ya que tienen algunas propiedades muy interesantes que son claramente visibles en las imágenes. Estas son algunas de las cosas que se ilustran:

• Comportamiento cerca de ceros, postes, cortes de ramas y singularidades esenciales.

• Conformidad (preservación de ángulos).

• El teorema de Lucas sobre los puntos críticos de un polinomio.

• Transformaciones de Möbius.

• Algunas funciones elementales comunes.

• El principio del argumento.

• El principio máximo.

A continuación mostraremos cómo se puede implementar de manera sencilla el método estándar de dominio coloreado con GeoGebra. Para facilitar la implementación, comenzaremos coloreando un solo punto de la siguiente manera:

Abra GeoGebra:

• haga clic en la ventana gráfica 1,

• seleccione la opción punto en el menú principal, 

• Haga clic sobre el punto, cuando se abre la ventana emergente escoja la opción propiedades y seleccione “álgebra” y cambie las coordenadas a número complejo, escoja ahora la opción “Básico” y cambie  su nombre a Z.

Coloque en la ventana gráfica, 2. Un deslizador, una casilla de control.