Péndulo simple

El péndulo simple es un sistema dinámico que está formado por una partícula de masa puntual M suspendida de un punto O por una cuerda inextensible de longitud L de masa despreciable contenida en un plano (en este caso es el plano XYcomo veremos mas adelante). El péndulo bajo la restricción de la cuerda y la acción de la gravedad describe una trayectoria S sobre un arco de una circunferencia de radio L (longitud de la cuerda) de tal manera que si la partícula se lleva a la posición A de modo que la cuerda haga un ángulo 𝜽0 con la vertical, y luego se suelta, el péndulo oscila entre A y la posición simétrica B en forma indefinida siempre y cuando se  considere que no hay fricción del aire ni rozamiento en el punto de suspensión O.

Desde el punto de vista de la mecánica newtoniana entran en juego la fuerza de la gravedad Mg y la tensión de la cuerda  T. 

A continuación debemos encontrar una ecuación que nos dé la posición del péndulo en función del tiempo, pero primero debemos decidir qué sistema de coordenadas podemos usar. Puede parecer que el sistema cartesiano xy  habitual puede ser útil aquí, pero debemos tener algo de cuidado. Nuestra tarea es encontrar la posición en función del tiempo. Si la posición en sí está dada por dos coordenadas, x e y, entonces terminaremos con un problema que involucra tres variables: x, y para la posición y t para el tiempo. Si podemos evitar esto, estaríamos mejor. Después de todo, problemas con tres variables pueden ser mas complicados.

Entonces, ¿qué deberíamos usar para describir el movimiento del péndulo? El péndulo es un sistema que solo exhibe un grado de libertad. 

Lo que se quiere decir con esto es que debido a la característica del hilo que se comporta como una barra rígida, la masa del péndulo no puede estar en ningún otro lugar que no sea en el extremo de la barra. La barra actúa como un factor restrictivo para el péndulo, reduciendo su "libertad" para moverse por donde quiera. Una posición con un solo grado de libertad se puede expresar en términos de una sola variable. La posición del péndulo podría describirse en términos del ángulo en el que se desplaza desde algún ángulo de referencia. Usaremos la posición de reposo del péndulo, como nuestro ángulo de referencia, un ángulo de cero radianes. Las posiciones en sentido antihorario desde aquí se considerarán ángulos positivos, y las posiciones en el sentido de las agujas del reloj recibirán ángulos negativos.

Entonces, las dos variables que usaremos en este problema serán el tiempo, denotado por t, y medido en segundos, y el ángulo que forma el péndulo con la posición de reposo hacia abajo, denotado por θ, medido en radianes. En este punto también introduciremos un par de constantes: tomaremos la longitud del péndulo en L centímetros y su masa en M gramos.

Para estudiar las ecuaciones de movimiento del sistema haremos uso de la mecánica Newtoniana. 

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso Mg y la tensión T a lo largo de la cuerda, siempre y cuando se considere que no hay fricción del aire ni rozamiento en el punto de suspensión O. 

La masa pendular, debido a la gravedad, ejerce una fuerza hacia abajo que es la que, junto con la tensión de la cuerda, hace que el péndulo oscile. La masa del péndulo es un factor importante para determinar su período de oscilación.  

Para describir el movimiento del péndulo aún nos queda determinar las fuerzas que actúan sobre el extremo de masa m. En primer lugar, sobre la masa m actúa la fuerza constante de su peso en sentido vertical hacia abajo y la tension de la cuerda.

Las unicas fuerzas que intervienen sino hay fricción son el peso y la tensión de la cuerda

Como se puede ver la tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ.

Por tanto la ecuación diferencial que determina el movimiento de este sistema es: 

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no lineal, de segundo orden. Ésta ecuación diferencial la hemos deducir  aplicando la mecánica newtoniana, pero tambien se puede  a partir del Momento angular o simplemente aplicando la mecánica Lagrangiana.