La cicloide
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La curva cicloide ha sido considerada durante mucho tiempo una curva muy especial, tanto por sus fascinantes propiedades como por las disputas científicas que promovió principalmente a lo largo del siglo XVII, pocas curvas en la historia han jugado un papel tan decisivo en el asentamiento de las bases de una rama de las matemáticas como en el caso de la curva cicloide y el origen y evolución del cálculo infinitesimal.
La cicloide, estudiada por Galileo pero investigada formalmente a partir de 1637, es una curva que fue objeto de estudio de importantes matemáticos del siglo XVII. Marín Mersenne publicó el trabajo de Gilles P. Roberval en 1637, calculando el área bajo el arco de la cicloide, mientras que René Descartes encontró la forma de trazar la recta tangente.
En 1658, Blaise Pascal propuso un desafío para determinar la longitud del arco, su centro de gravedad y el volumen de su revolución, sentando las bases para el desarrollo de la geometría diferencial y el cálculo infinitesimal.
La curva cicloide se encuentra al estudiar varios fenómenos físicos:
Forma que adopta un tobogán para que una partícula que desliza sin rozamiento emplee un tiempo mínimo en recorrerlo
Forma que debe adoptar un camino para que un cuerpo que rueda sin deslizar describa un MAS.
Finalmente, encontraremos la cicloide en el movimiento de una partícula en una región donde existe un campo eléctrico y un campo magnético cruzados.
Definición
Definición
La Cicloide puede ser definida como la curva plana que es descrita físicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal.
Es inmediato que si pensamos en el punto de contacto P de la circunferencia con la recta en el instante inicial del comienzo del rodamiento, este punto describe un arco que "encierra" un área sobre la recta. El intervalo de rodamiento que describe la primera forma de la cicloide es hasta que el punto vuelve a tocar la recta, lo que ocurre tras recorrer una distancia de una circunferencia completa, es decir, 2πR.
Para que la esfera ruede sin deslizar, el desplazamiento del cm debe coincidir con el arco S correspondiente al ángulo girado, según se aprecia.
La velocidad con la que se traslada el cm será la derivada con respecto al tiempo de dicho desplazamiento:
Puesto que la variación del ángulo girado es la velocidad angular de rotación ω, se tiene finalmente que:
Esta expresión es la condición de rodadura y nos da la relación que debe haber entre la velocidad de traslación del cm y la velocidad angular de rotación para que el sólido ruede sin deslizar.
Si derivamos, se obtiene la relación entre las aceleraciones:
Por tanto la velocidad de una partícula del objeto rodante puede considerarse como el resultado de una traslación pura más una rotación pura del objeto.
En consecuencia la expresión de la energía cinética de un objeto rodante se puede expresar como la suma de dos términos, uno correspondiente a la rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masas y otro correspondiente a la traslación del centro de masas.
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
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