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En esta sección se trata el movimiento de un objeto rígido que se mueve a lo largo de una superficie plana. En general, tal movimiento es complejo. Por ejemplo, suponga que un disco rigido sólido de masa m y de radio R se lanza sobre una trayectoria recta tal que el eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio a lo largo de una superficie horizontal perfectamente rigida.
Como podemos ver el movimiento de un disco sobre una superficie horizontal es una combinación de movimiento de traslación (velocidad lineal 𝑣0) del centro de masa y de rotación (velocidad angular ω0) alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, afectado por la fuerza de fricción que se presenta en el punto de contacto con la superfie horizontal. Dependiendo de las condiciones iniciales, el disco puede deslizar, rodar o una combinación de ambos.
Empecemos por identificar las fuerzas que intervienen en el movimiento del disco.
Sobre el disco actúan tres fuerzas
Su peso (w=mg), en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
La reacción normal del plano FN.
La fuerza de rozamiento dinámico Fr, proporcional a la fuerza normal.
Como el movimiento del centro de masa (cm) es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, quedando como única fuerza relevante la fuerza de rozamiento dinámico.
Esta fuerza de rozamiento causa dos efectos:
Cómo actúa en el sentido opuesto al movimiento acelera el centro de masa (cm) del disco hacia atrás, generando un movimiento de traslación del disco.
Su momento respecto al cm produce un par que hace girar el disco hacia adelante, acelerando al cm y generando un movimiento de rotación.
El movimiento del disco se describe como la transición de un estado de deslizamiento y giro a un estado de rodadura pura. Inicialmente, el disco desliza y gira, pero el deslizamiento disminuye gradualmente mientras la velocidad de giro aumenta hasta que el punto de contacto en el suelo deja de deslizarse (su velocidad instantánea es cero). En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámico, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura.
Movimiento de translación
Movimiento de translación
Para calcular la velocidad del centro de masa partimos de las ecuaciones de dinámica de Newton para obtiene la aceleración del disco.
Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico
Como se puede observar la aceleración es constante, lo que implica que la velocidad varía linealmente con el tiempo
El desplazamiento del centro de masa xcm a lo largo del eje horizontal esta dado por
Movimiento de rotación
Movimiento de rotación
La fuerza de friccion que actúa en el punto de contacto entre el disco y el plano oponiéndose al movimiento genera un torque que le induce una rotación, es decir el disco adquiere una aceleración angular. Vamos a considerar que la velocidad angular inicial es nula solo hay velocidad lineal.
La magnitud del torque se calcula siguiendo la regla de la mano derecha como el producto vectorial de la fuerza de fricción y el radio del disco.
Tomando el momento de inercia del disco tendremos la aceleración angular del sistema.
Momentos de inercia para ejes que pasan por el centro de masas
Anillo Esfera maciza Disco sólido Cilindro macizo Barra delgada
La integración de la aceleración angular nos da la velocidad angular.
Este resultado implica que aunque inicialmente el disco solo desliza inmediatamente comienza a rotar en sentido horario, como consecuencia del par ejercido por la fuerza de rozamiento.
Una vez que tenemos la velocidad de translacion y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro punto.
Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal
Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal
La velocidad del punto P en un instante cualquiera es
vP=vc-ω ·R
La dirección de la fuerza de rozamiento es opuesta a la dirección de la velocidad en P, vP.
Hay dos posibles casos:
v0>ω0·R, la fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda
v0<ω0·R, la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha.
Esta velocidad disminuye linealmente con el tiempo, pero de manera más rápida que la del centro del disco.
El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula.
En ese momento el disco ya no se desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámico, sino de rodadura (que es mucho menor o nula si las superficies de contacto son indeformables) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento.
Condición de rodar (sin deslizar)
Condición de rodar (sin deslizar)
Como podemos apreciar las velocidades finales en el momento en el que se alcanza el estado de movimiento de rodar (sin deslizar) son independientes del coeficiente μ de la fuerza de rozamiento.
En el momento en que t=tp se cumple la condición vcm=ω R, la fuerza de rozamiento es nula y el disco empieza a gira sin deslizar comenzando una segunda etapa en su movimiento, a partir de tP sigue un movimiento rectilíneo donde vcm ,ω son constantes.
Para que la esfera ruede sin deslizar, el desplazamiento del cm debe coincidir con el arco S correspondiente al ángulo girado, según se aprecia.
La velocidad con la que se traslada el cm será la derivada con respecto al tiempo de dicho desplazamiento:
Puesto que la variación del ángulo girado es la velocidad angular de rotación ω, se tiene finalmente que:
Esta expresión es la condición de rodadura y nos da la relación que debe haber entre la velocidad de traslación del cm y la velocidad angular de rotación para que el sólido ruede sin deslizar.
Si derivamos, se obtiene la relación entre las aceleraciones:
Fuerza de rozamiento en una rodadura
Fuerza de rozamiento en una rodadura
La fuerza de rozamiento puede ser la causante de que un objeto ruede, pero ¿por qué nos cuesta menos desplazar un objeto haciéndolo rodar que deslizarlo sobre el suelo? Veamos una explicación.
Por tanto la velocidad de una partícula del objeto rodante puede considerarse como el resultado de una traslación pura más una rotación pura del objeto.
En consecuencia la expresión de la energía cinética de un objeto rodante se puede expresar como la suma de dos términos, uno correspondiente a la rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masas y otro correspondiente a la traslación del centro de masas.
El movimiento de rodadura de un sólido rígido se puede descomponer en un movimiento de rotación con respecto a un eje que pase por el cm y un movimiento de traslación. En la rotación las partículas del borde describen un movimiento circular con una velocidad lineal v = Rω con respecto al cm; a su vez éste se traslada con una velocidad vcm = Rω con respecto al suelo (condición de rodadura). Luego la velocidad del punto de apoyo con repecto al suelo es nula, ya que se cancelan ambas, lo que confirma que no se produce deslizamiento.
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