11.25 แฟร์มาต์

ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat)

ค.ศ. 1601- ค.ศ.1665

แฟร์มาต์เป็นชาวฝรั่งเศส เป็นนักคณิตศาสตร์ในยุคของการพัฒนาศิลปวิทยา เขาเกิดในวันที่ 17 เดือนสิงหาคม ค.ศ.1601แฟร์มาต์เป็นบุตรชายพ่อค้า ขายเครื่องหนังผู้มั่งคั่งคนหนึ่งของฝรั่งเศส แฟร์มาต์มีผลงานที่สำคัญในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็น ผลงานคิดค้นทางคณิตศาสตร์ของแฟร์มาต์ที่น่าสนใจและ เป็นรากฐานในวิชาแคลคูลัสต่อมา คือ Method for determining Maxima and Minima and Tangents of Curved Lines ผลงานคิดค้นส่วนนี้ ทำให้สามารถคำนวณหาจุดสูงสุดต่ำสุด และเส้นสัมผัสของรูปกราฟ ความสัมพันธ์แบบต่าง ๆ และเข้าไปสู่เรื่องเรขาคณิตแบบใหม่

แฟร์มาต์ยังคงเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบใหม่นี้ โดยเน้นการวิเคราะห์พื้นผิว และรูปทรงต่าง ๆ โดยให้ชื่อหนังสือว่า Introduction to Plane and Solid Loci งานที่มีชื่อเสียงและเป็นที่กล่าวถึงของนักคณิตศาสตร์และชนรุ่นหลังอย่างมาก คือ แฟร์มาต์ได้เสนอทฤษฎีที่เรียกว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของ แฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (Fermat's last theorem) เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งกล่าวว่า:

" ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, และ z ที่ทำให้ Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 "

แฟร์มาต์ยังได้ทำการศึกษาและให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเลขจำนวนเฉพาะ และต่อมาได้เรียกกันว่า ตัวเลขของแฟร์มาต์ (Fermat Number)

สรุปผลงาน

1. ริเริ่มพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ ในระยะเวลาใกล้กันกับเดส์การ์ตส์

2. ริเริ่มวิธีหาเส้นสัมผัสเส้นโค้ง หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

3. ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับปาสกาล

4. พัฒนาทฤษฎีบทต่าง ในทฤษฎีจำนวน เช่น Fermat’s two square theorem :ทุกจำนวนเฉพาะในรูป 4n + 1 สามารถเขียน ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้คู่หนึ่งและคู่เดียวเท่านั้น

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

ทฤษฎีบทสุดท้ายเป็นข้อคิดของแฟร์มาต์ ที่นำเสนอว่า จากสมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ ไม่มีทางเป็นไปได้ เมื่อ n มีค่ามากกว่า 2 และ n, x, y, z เป็นเลขจำนวนเต็ม หรือกล่าวได้ว่า ถ้าให้ x, y, z เป็นเลขจำนวนเต็มใด ๆ และ n เป็นเลขจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 แล้ว xⁿ + yⁿ จะต้องไม่เท่ากับ zⁿ

จากทฤษฎีนี้ทำให้มีการตื่นตัวหาวิธีการพิสูจน์ จนเวลาหลายร้อยปี ผู้คนยังพยายามหาทางพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายนี้ ทำให้มีความตื่นตัวในการศึกษาคณิตศาสตร์กันอย่างกว้างขวาง

ตัวเลขของแฟร์มาต์ (Fermat Number)

ความคิดในเรื่องเลขจำนวนเฉพาะได้มีการศึกษากันมาตั้งแต่สมัยยูคลิด ยูคลิดได้กล่าวว่าตัวเลขใด ๆ สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือกล่าวได้ว่าตัวเลขใด ๆ จะต้องมีตัวประกอบเป็นเลขจำนวนเฉพาะได้เสมอ

N = p¹p²p³...pⁿ

เมื่อ p หมายถีงตัวเลขจำนวนเฉพาะ หรือ 1

ยูคลิดยังได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ในระบบเลขจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนตัวเลขจำนวนเฉพาะได้อนันต์

แฟร์มาต์ได้ทำการศึกษาเลขจำนวนเฉพาะ และได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ตัวเลขจำนวนเฉพาะใด ๆ ที่มีรูปแบบเป็น

4n + 1 ตัวเลขจำนวนเฉพาะนี้จะเขียนให้อยู่ในรูปแบบของตัวเลขยกกำลังสองของตัวเลขสองตัวรวมกัน เช่น

5 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ

5 = 4n + 1 = 4 x 1 + 1 (n = 1)

ซึ่งเขียนได้ เป็น

5 = 2² + 1²

หรือตัวอย่าง

13 = 4 x 3 + 1

เขียน

13 = 3² + 2²

แฟร์มาต์ยังพิสูจน์ให้เห็นว่า 2ⁿ + 1 เป็นเลขจำนวนเฉพาะ ถ้าหาว่า n มีค่าเป็นตัวเลขของสองยกกำลัง เช่น

21 + 1 = 3

22 + 1 = 5

24 + 1 = 17

28 + 1 = 257

.

.

.

n = 1, 2, 4, 8, 16,....

ตัวเลขจำนวนเฉพาะในกรณีนี้เรียกว่า ตัวเลขแฟร์มาต์ หลังจากนั้นต่อมาอีกประมาณ 100 ปี ออยเลอร์ (Euler) ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าที่แฟร์มาต์ กล่าวมานี้ไม่เป็นจริงเพราะ 2³² + 1 เท่ากับ 4,294,967,297 เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่เลขจำนวนเฉพาะ เพราะหารด้วย 641 ได้ลงตัว

Marin Mersenne ได้ทำการศึกษาเลขจำนวนเฉพาะในรูปแบบ 2ⁿ - 1 ซึ่งพบว่า 2ⁿ - 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะทุกตัว ตัวเลขจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป 2ⁿ - 1 เรียกว่า Mersenne number จนถึงปัจจุบันนี้มีผู้พบตัวเลข Merssenne 37 ตัว ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด คือ 2^3,021,337 - 1 เป็นเลขจำนวนเฉพาะที่มีขนาด 909526 ตัวเลข

จากการศึกษาเลขจำนวนเฉพาะมาตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน ยังมีคำถามที่ยังหาคำตอบไม่ได้เกี่ยวกับเลขจำนวนเฉพาะอยู่มากมาย เช่น

- มีเลขจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูปแบบ n² + 1 อยู่อนันต์ตัว

- ระหว่างตัวเลข n² และ (n + 1)² อย่างต้องมีเลขจำนวนเฉพาะอยู่ด้วย

- ตัวเลขแฟร์มาต์ที่เป็นเลขจำนวนเฉพาะมีได้อนันต์ตัว

ความคิดเกี่ยวกับเรื่องเลขจำนวนเฉพาะ จึงเป็นโจทย์ที่ยังต้องการหาผู้คิดค้นได้อีก