11.13 ฟิโบนักชี

เลโอนาร์โด ปิซิซาโน ฟิโบนักชี (Leonardo Pisano Fibonacci)

ค.ศ. 1170 – ค.ศ. 1250

เลโอนาร์โดแห่งปีซามีชื่ออื่น ๆ เช่น เลโอนาร์โด ปีซาโน (Leonardo Pisano) เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (Leonardo Fibonacci) หรือรู้กันในชื่อสั้น ๆ ว่า ฟีโบนัชชี (Fibonacci) (มักจะสะกดผิดว่า ฟีโบนักชี หรือ ฟิโบนักชี) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี มีชื่อเสียงโด่งดังที่สุดจากการค้นพบจำนวนฟีโบนัชชี และบทบาทในการเผยแพร่การเขียนและวิธีการคำนวณระบบจำนวนฐานสิบที่ให้ค่าตามหลักแบบอาราบิก (Arabic positional decimal system) ที่ใช้กันในปัจจุบัน หลายคนยกย่องว่าเขาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดในยุคกลาง

ประวัติ

กูกลีเอลโม วิลเลียม (Guglielmo William) บิดาของฟีโบนัชชีมีฉายาว่า โบนัชโช (Bonaccio แปลว่า 'อารมณ์ดี' หรือ 'ง่าย ๆ') เลโอนาร์โดได้รับชื่อเล่นหลังจากเสียชีวิตแล้วว่า ฟีโบนัชชี (Fibonacci หรือ บุตรชายของโบนัชโช) วิลเลียมทำหน้าที่กำกับการค้าที่เมืองบูเกีย (Bugia) ซึ่งเป็นเมืองท่าอยู่บริเวณแอฟริกาเหนือ (บางแหล่งว่า เขาเป็นกงสุลจากเมืองปีซา) เลโอนาร์โดเดินทางมาช่วยงานบิดาของเขาตั้งแต่ยังเด็ก และที่นี่เองที่เขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับระบบเลขอาราบิก

หลังจากที่ฟีโบนัชชีได้เห็นว่าการคำนวณด้วยตัวเลขอารบิกนั้นง่ายและมีประสิทธิภาพกว่าตัวเลขโรมัน เขาได้เดินทางท่องไปในย่านคาบสมุทรเมดิเตอร์เรเนียนเพื่อทำการศึกษากับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำชาวอาหรับในยุคนั้น และได้เดินทางกลับมาเมื่อประมาณปี ค.ศ. 1200 และ ปี ค.ศ. 1202 เมื่อเขาอายุได้ 32 ปี เขาได้เผยแพร่สิ่งที่เขาศึกษามาในหนังสือ ลิเบอร์ อะบาชี (Liber Abaci) หรือ คัมภีร์แห่งการคำนวณ

เลโอนาร์โดได้รับเกียรติให้เป็นพระราชอาคันตุกะของจักรพรรดิเฟรดริกที่ 2 (Emperor Frederick II) ผู้ทรงโปรดปรานคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1240 สาธารณรัฐปีซาได้ให้เกียรติกับเลโอนาร์โด ภายใต้ชื่ออีกชื่อหนึ่งคือ เลโอนาร์โด บีกอลโล (Bigollo มีความหมายว่า 'ไม่มีประโยชน์' หรือ 'นักพเนจร') โดยให้เงินเดือนแก่เขานับจากนั้น

ลิเบอร์ อาบาชี

ผลงานสำคัญ

• ลำดับฟิโบนักชี (Fibonacci sequence) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…)

• Liber abaci เป็นตำราเกี่ยวกับเลขคณิตและพีชคณิต แนะนำระบบเลขฐานสิบที่มีค่าประจำหลัก และการใช้ตัวเลขฮินดูอารบิก

• Practica geometriae รวบรวมปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิต

• Liber quadratorum เป็นตำราทฤษฎีจำนวน

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ...

โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

Fn = F_n-1 + F_n-2} โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ F₀ = 0 และ F₁ = 1

ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี

ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชาติ

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

การนำไปใช้

จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ที่จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

สี่เหลี่ยมผื้นผ้าทองคำ (Golden Rectangle)

ถ้าทำการวาดรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1 รูปในอัตราสัดส่วนทองคำคือ 1 : 1.6 จากนั้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้าเป็น 2 รูปโดยรูปที่ 1 เป็นรูปสี่เหลื่ยมจัตตุรัส อีกรูปจะได้รูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1 รูป และให้ทำการแบ่งในรูปสี่เหลี่ยมพื้นผ้ารูปที่ 2 ในลักษณะเหมือนขั้นตอนที่ผ่านมาจะพบว่าจะสามารถแบ่งพื้่นที่สี่เหลี่ยมพื้นผ้า 1:1.6 นี้ได้จนไม่มีจุดสิ้นสุด ดังรูป

เกลียวก้นหอยฟิโบนัชชี (Fibonacci Spiral)

อัตราส่วนทองคำ Phi(ฟี) 1.6 อัตราส่วนทองคำ

ตัวเลข “ฟีโบนันชี”มีความเชื่อมโยงกับอัตราส่วนทองคำ ถ้าเราจำนวนตัวเลขอนุกรมฟีโบนันชี่นับตั้งแต่ลำดับที่ 6 คือลำดับต่ำแหน่งตั้งแต่หมายเลข 5 จากนั้นนำมาหารกันถัดมาด้านหน้าหนึ่งตำแหน่ง จะพบได้ว่าการหารจะได้ค่าตัวเลขหลังจากตัดตัวเลขทศนิยมเหลือหนึ่งต่ำแหน่งจะได้ค่าตัวเลข 1.6 เช่น [13/8] =1.625 หรือ [89/55]=1.6182 ซึ่งตัวเลขค่าที่แท้จริงของ Phi (ฟี) เท่ากับ (1+5)/2) จะได้ค่าตัวเลข 1.61803398874989……

Phi (ฟี) อัตราส่วนทองคำนั้นเป็นรากฐานสิ่งกำเนิดสรรพสิ่งในจักรวาลที่นำมาเชื่อมโยงกับ มนุษย์ สัตว์ พืช โครงสร้างระดับอะตอม งานปฏิมากรรมสำคัญของโลก และยังเกี่ยวข้องกับความงดงามและสุนทรียศาสตร์ “พีทาโกรัส” นักปราชญ์ยุคกรีกได้สันนิษฐานถึงความถึงความสัมพันธุ์ระหว่างคณิตศาสตร์และความสวยงาม พีทาโกรัสสังเกตว่าสิ่งต่างๆ ที่มีสัดส่วนตามสัดส่วนทองคำ มักจะถูกมองว่ามีความสวยงามไม่ว่าจะเป็นมนุษย์ที่มีหน้าตาร่างกาย แม้แต่ภาพวาด “โมนาลิซ่า” ภาพวาดของ ลีโอนาโด ดาวินชี ภาพก็ถูกวาดได้ตามอัตราส่วนทองคำ และถูกยกย่องให้เป็นภาพวาดผู้หญิงที่สวยที่สุดในโลก