11.10 เกออร์ก์ก คันทอร์

เกออร์ก์ก คันทอร์ (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor)

ค.ศ. 1845 – ค.ศ. 1918

วงการคณิตศาสตร์เมื่อ 150 ปีก่อน มีอัจฉริยะที่เด่นสุดยอดท่านหนึ่ง ชื่อ George คันทอร์ผู้ให้กำเนิดทฤษฎีเซ็ตที่มีอิทธิพลต่อคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 มาก ผลงานนี้ทำให้ David Hilbert กล่าวสรรเสริญ คันทอร์ ว่า เขาคือผู้สร้างสวนสวรรค์ Eden ให้นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังได้อยู่ทำงานในสวนอย่างมีความสุข จนแม้แต่พระเจ้าก็ไม่ทรงสามารถอัปเปหิใครออกจากสวนได้ แต่ทว่าในช่วงที่มีชีวิตอยู่ คันทอร์ ถูกนักคณิตศาสตร์อาวุโสหลายคนต่อต้าน และโจมตีเพราะคิดว่า คันทอร์ชอบเสนอแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีเซ็ตและเรื่องอนันต์ (infinity) ที่ผิด แม้ชีวิตของคันทอร์ ต้องลำบากเพราะประสบอุปสรรคมากมาย แต่โลกทุกวันนี้ก็ยังระลึกถึง เขาผู้ให้กำเนิดวิชาคณิตศาสตร์แขนงใหม่ คือ ทฤษฎีเซ็ต

เกออร์ก คันทอร์ เกิดเมื่อวันที่ 3 มีนาคม ค.ศ.1845 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระนั่งเกล้าอยู่หัว) ที่เมือง St.Petersburg (ปัจจุบันคือเมือง Leningrad) ในรัสเซีย บิดา Georg Waldemar เป็นนักธุรกิจชาวเดนมาร์กฐานะดีที่ได้อพยพมาอาศัยอยู่ในรัสเซีย ส่วนมารดา Maria Böhm มีความสามารถในการเล่นไวโอลิน คันทอร์เป็นบุตรคนหัวปีของครอบครัวที่มีทายาท 6 คน ถึงครอบครัวจะมีขนาดใหญ่ แต่พ่อแม่ของคันทอร์ ก็สามารถให้ความรักและความอบอุ่นแก่ลูกทุกคนได้เป็นอย่างดี

ในวัยเด็กคันทอร์มีบุคลิกร่าเริง ชอบเล่นไวโอลิน และเล่นได้ดีจนครั้งหนึ่งคิดจะเป็นนักไวโอลินอาชีพ แต่บิดาไม่เห็นด้วย คันทอร์จึงต้องเลิกล้มความตั้งใจ และรู้สึกเสียใจมาก

ประเพณีปฏิบัติในสมัยนั้น คือ เด็กต้องเรียนหนังสือที่บ้านก่อนจะถูกส่งตัวเข้าโรงเรียนประถมคันทอร์ก็เช่นกัน เมื่อเข้าโรงเรียน คันทอร์ได้แสดงความสามารถเชิงคณิตศาสตร์มาก แต่บิดาไม่พอใจเลยที่จะให้ลูกชายมีอาชีพเป็นนักคณิตศาสตร์ เพราะต้องการให้เป็นวิศวกร

เมื่ออายุ 11 ปี ครอบครัว Cantor ได้อพยพย้ายไปเยอรมนี เพราะบิดามีปัญหาสุขภาพคือ ทนความหนาวจัดในรัสเซียไม่ได้ และสภาพอากาศที่เยอรมนีอบอุ่นกว่า Cantor จึงได้เข้าเรียนที่โรงเรียนในเมือง Wisbaden กับ Darmstadt จนสำเร็จการศึกษา เมื่ออายุ 17 ปี แล้วได้ไปเรียนต่อที่ Polytechnikum (ETH) ใน Zurich เพราะที่นั่นเป็นสถาบันการศึกษาที่มีชื่อเสียงโด่งดังด้านวิศวกรรมศาสตร์ตามความประสงค์ของบิดา

ในปี ค.ศ.1863 เมื่อบิดาของคันทอร์ เสียชีวิต คันทอร์วัย 18 ปีได้รับมรดกมูลค่ามหาศาลจากบิดา และเห็นโอกาสที่จะได้เรียนคณิตศาสตร์ตามที่ใจเรียกร้องแล้ว จึงขอย้ายสถานศึกษาไปเรียนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Berlin กับอาจารย์ที่มีชื่อเสียงระดับโลก เช่น Karl Weierstrass, Leopold Kronecker และ Ernst Kummer เมื่อถึงหน้าร้อนคันทอร์ไปฝึกวิจัยที่มหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งมี Karl Gauss เป็นอาจารย์ประจำ

ในช่วงที่เรียนที่ Berlin, คันทอร์เริ่มแสดงอาการของโรคซึมเศร้า แต่ก็สามารถประคองตัวได้จนสำเร็จการศึกษาปริญญาเอกในวัย 22 ปี ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง “On Indeterminated Equations of the Second Degree”

แม้จะเป็นดอกเตอร์ แต่ คันทอร์ ก็ยังหางานทำไม่ได้เป็นเวลานานถึง 2 ปี จึงรับงานเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนสตรีแห่งหนึ่งใน Berlin เพื่อหารายได้เล็กน้อยให้ตนเอง จนถึงปี 1869 คันทอร์วัย 24 ปี จึงได้เข้าทำงานที่มหาวิทยาลัย Halle แม้มหาวิทยาลัยนี้จะมิได้เป็นมหาวิทยาลัยที่ดีมาก แต่ก็อยู่ในเกณฑ์ดี ภายในเวลาเพียง 3 ปี คันทอร์ก็ได้เลื่อนตำแหน่งเป็นรองศาสตราจารย์ และเข้าพิธีสมรสกับ Vally Guttmann ผู้เป็นเพื่อนของน้องสาว เพราะภรรยาของ คันทอร์เป็นคนร่าเริง ดังนั้นจึงมีบุคลิกที่ตรงข้ามกับสามีที่เป็นคนจริงจัง และเครียด ครอบครัวนี้มีทายาท 5 คน และสามารถดำรงชีพอยู่ได้ไม่ดีนักโดยอาศัยมรดกจากบิดาของ คันทอร์กับเงินเดือนที่ คันทอร์ได้รับจากมหาวิทยาลัยที่ค่อนข้างน้อย

ในปี 1879 คันทอร์วัย 34 ปี ได้เลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ แต่ก็ยังคิดอยู่ตลอดเวลาว่าต้องการจะย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัยอื่นที่มีชื่อเสียงมากกว่า และได้เงินเดือนสูงกว่า

ตั้งแต่เริ่มงานเป็นอาจารย์สอนที่มหาวิทยาลัย Halle, คันทอร์รู้สึกสนใจปัญหาเรื่อง อสงไขย (infinity) โดยในปี 1874 คันทอร์ได้ตีพิมพ์งานวิจัยชิ้นหนึ่งที่แสดงว่า ทฤษฎีเซ็ตของเขาสามารถจัดลำดับของ infinity ได้ เพราะในความคิดเดิมๆ “อนันต์” เป็นปริมาณที่ไม่สามารถเขียนออกมาเป็นตัวเลขได้ แต่ในทฤษฎีของ คันทอร์ อนันต์มีค่าเป็นตัวเลข ซึ่ง คันทอร์ เรียกว่า “Transfinite Number” และตัวเลขเหล่านี้บอกลำดับต่างๆ ของปริมาณอสงไขยนั้นๆ

แนวคิดเช่นนี้ได้รับการต่อต้าน และถูกวิพากษ์วิจารณ์จากปราชญ์คณิตศาสตร์แทบทุกคน อาทิเช่น Jules-Henri Poincaré, Hermann Weyl และ Leopold Kronecker ผู้เคยเป็นอาจารย์สอน Cantor ที่ Zurich ซึ่งได้ทำให้ คันทอร์รู้สึกเสียใจมากที่เห็นอาจารย์พยายาม “ฆ่า” ลูกศิษย์ตลอดเวลา แต่ คันทอร์ก็ยังยืนกรานในวิธีคิดของตน

ผลงานของ คันทอร์เรื่องทฤษฎีเซตนี้ ถูก Kronecker โจมตีในทุกสถานที่ และตลอดเวลาว่า เป็นงานเพี้ยนของคนเสียสติ และเมื่อ Kronecker เป็นอาจารย์อาวุโส คำวิจารณ์ทุกคำจึงมีน้ำหนัก นักประวัติศาสตร์ไม่รู้ว่า การที่ Kronecker ได้พยายามทำลายศิษย์ด้วยวิธีทับถมและดูแคลนนั้น เพราะ Kronecker อิจฉา หรือเพราะ Kronecker เชื่อว่า คันทอร์บ้าจริง

ตัว คันทอร์ตกอยู่ในสภาพมวยรอง เพราะ Kronecker เป็นอาจารย์ในมหาวิทยาลัยชั้นหนึ่ง และตนเป็นอาจารย์ในมหาวิทยาลัยชั้นสอง อีกทั้งมิได้มีชื่อเสียงโด่งดังเท่า Kronecker ดังนั้น เมื่อใดก็ตามที่ คันทอร์ขอสมัครงานเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Berlin เขาก็จะถูก Kronecker ขัดขวางทุกครั้งไป ด้วยข้อหาว่าเป็นศิษย์อกตัญญู จอมลวงโลกที่ชอบหลอกสังคมด้วยผลงานที่จะทำลายโลกคณิตศาสตร์

จะมีก็แต่ Mittag-Leffler นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดนผู้เป็นบรรณาธิการของวารสาร Meta Mathematica เท่านั้นที่กล้านำผลงานเรื่อง “Transfinite Number” ของคันทอร์ลงตีพิมพ์เป็นภาษาเยอรมัน ถึงปี 1884 ผลงานที่เกี่ยวกับเรื่องนี้ทุกชิ้นก็ถูกตีพิมพ์หมด แต่แทบไม่มีใครอ่านและสนใจ

เมื่อคันทอร์ตระหนักว่า ตนแพ้สงครามวิชาการ เพราะศัตรูมีพลังมากกว่า คันทอร์เริ่มสูญเสียความมั่นใจในตนเอง และหมดความศรัทธาในระบบ เขาเริ่มเป็นโรคซึมเศร้า จนต้องเข้ารับการบำบัดรักษาในโรงพยาบาล และแม้ Kronecker จะตายไปในปี 1891 แต่คันทอร์ ก็ไม่หายเป็นปรกติ และไม่สามารถคิดอะไรที่ยิ่งใหญ่ได้อีกเลย

ในความเป็นจริง ก่อนที่คันทอร์จะเสียชีวิต นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังของเขา เช่น David Hilbert ได้ให้ความเห็นว่า Transfinite Set Theory เป็นผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของคันทอร์และเป็นความคิดสำคัญที่สุดที่สมองมนุษย์จะสามารถคิดได้ เพราะทฤษฎีนี้ได้บุกเบิกคณิตศาสตร์สาขาใหม่ๆ อีกมากมาย เช่น Topology และ Abstract Space เป็นต้น

อย่างไรก็ดีในช่วงที่พลังใจกำลังถดถอยและความรู้สึกกำลังสลดหดหู่ คันทอร์ได้หันมาสนใจทฤษฎีอนุกรม Fourier ของ Jean Baptiste Joseph Fourier ซึ่งนักคณิตศาสตร์นำไปใช้โดยไม่มีใครมั่นใจว่า ฟังก์ชันที่เป็นคาบทุกฟังก์ชันสามารถแทนได้ด้วยอนุกรมตรีโกณมิติหนึ่งเดียวเท่านั้น และคันทอร์ ก็วิจัยจนสามารถพิสูจน์ได้ว่า แนวคิดของ Fourier ถูกต้อง จึงเขียนจดหมายถึง Richard Dédekind ว่า ตนประสบความสำเร็จในเรื่องนี้ เพราะได้อาศัยเทคนิคการพิสูจน์แบบ Reductio ad Absurdum ของ Dédekind

ในจดหมายที่คันทอร์เขียนติดต่อกับ Dédekind เขาได้เล่าเรื่องความสนใจของเขาเรื่อง Hyperspace จำนวนจริงที่ไม่สามารถนับได้ และ Theory of Manifolds นอกจากคณิตศาสตร์แล้วคันทอร์ก็ยังสนใจวิชาปรัชญาตามแนวความคิดของ Leibniz ด้วย แต่พบว่า เวลา คันทอร์สอนวิชานี้ นิสิตมักไม่สนใจ จากตอนเริ่มต้นที่มีนิสิตเข้าฟัง 25 คน จนกระทั่งจบชั่วโมงมีคนนั่งฟังเพียงคนเดียว ภรรยาของคันทอร์ จึงได้ขอร้องคันทอร์ไม่ให้สอนปรัชญาอีกเลย

ในปี 1895 คันทอร์ได้หันมาสนใจ Transfinite Set Theory อีกคำรบหนึ่ง และได้ตีพิมพ์ตำรา “Contributions to the Foundation of Transfinite Set Theory” ซึ่งมีสองส่วน คือ “Ordered Set” กับ “Well-Ordered Set”