11.11 ออกัสตัส เดอ มอร์แกน

ออกัสตัส เดอ มอร์แกน (Augustus De Morgan)

ค.ศ. 1806 – 1871

ออกัสตัส เดอ มอร์แกน เกิดเมื่อวันที่ 27 มิถุนายน ค.ศ. 1806 ในเขตการปกครองมาดราส ประเทศอินเดีย ขณะที่บิดาของเขาเป็นทหารประจำการอยู่ที่นั่น ดวงตาข้างขวาของเขาสูญเสียการมองเห็นหลังกำเนิดไม่นานนัก ครอบครัวของเขาย้ายกลับไปอยู่อังกฤษเมื่อเขาอายุได้ 7 เดือน และบิดาของเขาถึงแก่กรรมเมื่อเขาอายุได้สิบปี การที่เขาสายตาพิการทำให้เขาไม่เป็นนักเรียนที่มีความสามารถโดดเด่นอะไร เดอ มอร์แกน เข้าศึกษาต่อระดับอุดมศึกษาที่ Trinity College มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ เมื่ออายุได้ 16 ปี เนื่องจากเขาไม่ผ่านการทดสอบวิชาศาสนศาสตร์ เขาจึงได้แค่วุฒิปริญญาตรี แทนที่จะได้ปริญญาโทเหมือนเพื่อนร่วมรุ่นคนอื่นๆ ในปี ค.ศ. 1826 เขากลับบ้านที่ลอนดอนและสมัครเข้าเรียนที่เนติบัณฑิตยสภา Lincoln’s Inn ปีต่อมาเขาสมัครเป็นศาสตราจารย์ทางคณิตศาสตร์ที่ University College London ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยเกิดใหม่ในขณะนั้น และได้รับการคัดเลือกแม้ว่าเขาจะไม่เคยมีผลงานทางคณิตศาสตร์ตีพิมพ์เผยแพร่ก็ตาม ในปี ค.ศ. 1866 เขามีส่วนร่วมในการก่อตั้งสมาคม คณิตศาสตร์แห่งกรุงลอนดอนและได้เป็นประธานสมาคมคนแรก โดยมีลูกชายของเขาซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถเช่นกันเป็นเลขานุการคนแรก อย่างไรก็ตาม เดอ มอร์แกนไม่ได้เป็นราชบัณฑิตแห่ง Royal Society ซึ่งเป็นสมาคมวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุดของอังกฤษเพราะเขาปฏิเสธที่จะได้รับการเสนอชื่อ นอกจากนี้เขายังปฏิเสธเมื่อ University of Edinburgh เสนอจะมอบปริญญากิตติมศักดิ์ เดอ มอร์แกน มีความสนใจเกี่ยวกับเรื่องจำนวนเป็นพิเศษ เขาตั้งข้อสังเกตว่า เขาเป็นบุคคลพิเศษเนื่องจากเขาจะมีอายุ x x ปี ในปี ค.ศ. x² (เขาอายุ 43 ปีในปี ค.ศ. 1849)

สรุปผลงานสำคัญ

• กฎเดอมอร์แกน (De Morgan’s law)

• เป็นผู้ปฏิรูปคณิตตรรกศาสตร์ (Mathematical Logic)

• บัญญัติศัพท์คำว่า “อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์” (Mathematical induction) และนำไปใช้เป็นครั้งแรก

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) คือการพิสูจน์สำหรับประโยคที่มีตัวแปรเป็นจำนวนนับ

โดยการพิสูจน์อาศัยหลักที่ว่า ประโยคเริ่มต้นเป็นจริง คือ P(1) เป็นจริง และถ้าเราสามารถแสดงว่า การพิสูจน์ค่าความจริงของประโยค P(n+1) เกิดจากค่าความจริงของประโยค P(n)เราจะได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกค่าของ n

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n ให้ P(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n

ถ้า 1) P(1) เป็นจริง

และ 2) สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) เป็นจริงด้วย

จะสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

เราลองเปรียบเทียบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ กับการล้มของโดมิโน ถ้าเราเอาโดมิโนมาตั้งเรียงเป็นแถวยาว แล้วเรารู้ว่า

1. โดมิโนตัวแรกล้ม

2. ไม่ว่า k จะเป็นอะไรก็ตาม ถ้าโดมิโนตัวที่ k ล้มแล้วโดมิโนตัวที่ k+1 ล้มด้วย เราก็จะรู้ว่า ตัวที่ 1 ล้มทำให้ตัวที่ 2 ล้ม ตัวที่ 2 ล้มทำให้ตัวที่ 3 ล้ม ตัวที่ 3 ล้มทำให้ตัวที่ 4 ล้ม ไปเรื่อยๆจนหมดแถว เราก็จะสรุปได้ว่าโดมิโนล้มทุกตัว

ทีนี้ลองมาดูการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บ้าง เราจะพิสูจน์ว่า P(n) (ประพจน์ในตัวแปร n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

1. เราก็ต้องบอกว่าตัวแรกจริงก่อน ก็คือบอกว่า P(1) เป็นจริง [เหมือนเอา 1 ไปแทนที่ n] 2. สำหรับทุกๆ k ถ้าตัวที่ k จริงแล้วตัวที่ k+1 จริงด้วย ก็คือบอกว่า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k+1) จริงด้วย

ถ้าเราได้สองข้อนี้ก็จะสรุปได้ว่า P(n) จริงสำหรับทุกจำนวนนับ n