Quelltext
Ähnlichkeit und Strahlensatz
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<h3>Ähnliche Figuren</h3>
<h4>Definition ähnlicher Figuren</h4><p> </p><ul><li>Zwei Figuren \(\text{F}_1\) und \(\text{F}_2\) heißen ähnlich, wenn sie durch maßstäbliches vergrößern oder verkleinern zu kongruenten (deckunsgleichen) Figuren werden.</li><li>Schreibweise<br />\(\text{F}_1 \sim \text{F}_2\)</li><li>Ähnlichkeitsfaktor (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1929/%C3%A4hnlichkeit#:~:text=%C3%84hnlichkeitsfaktor%20und%20dessen%20Berechnung">Serlo</a>)<br />\(k=\dfrac{s_2}{s_1}\Leftrightarrow s_2=k\cdot s_1\)<br />der Strecken der Längen \(s_1\) und \(s_2\)</li></ul><h4>Grundlegende Eigenschaften ähnlicher Figuren</h4><p> </p><ul><li>Entsprechende Winkel sind gleich groß. <br />(wegen der Deckungsgleichheit der vergrößerten bzw. verkleinerten Figuren)</li><li>Entsprechende Strecken haben das gleiche Längenverhältnis. <br />(wegen Streckungsfaktor)</li></ul><h4>Folgerungen für ähnliche Figuren</h4><p> </p><ul><li>\(k=\dfrac{s_2}{s_1}\Leftrightarrow s_2=k\cdot s_1\) mit \(k\in\mathbb{R}^+\)</li><li>Sind in einer Figur zwei Strecken parallel, sind die entsprechenden Strecken auch in der ähnlichen Figur parallel.</li><li>Alle Kreise sind ähnlich. <br />\(\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{2\pi r_2}{2\pi r_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\)</li><li>Kongruente (deckungsgleiche Figuren) sind ähnlich und haben den Ähnlichkeitsfaktor \(k=1\).</li></ul><h3>Spezielle Eigenschaften ähnlicher Figuren</h3><h4>Ähnlichkeitssätze für Dreiecke</h4><p> </p><ul><li>Dreiecke sind ähnlich, wenn sie<ul><li>in 2 und damit in 3 Winkeln übereinstimmen (W:W-Satz) oder</li><li>im Verhältnis entsprechender Seitenlängen (S:S:S-Satz) übereinstimmen.</li></ul></li><li>Es gibt insgesamt 4 Ähnlichkeits- und 4 Kongruenz-Sätze.</li><li>Mathematische Sätze können durch Definitionen bewiesen werden.</li></ul><h4>Verhältnis von Streckenlängen, Flächeninhalte und Rauminhalte bei Ähnlichkeit</h4><p> </p><ul><li>k-fach bei Streckenlängen</li><li>k²-fach bei Flächeninhalten</li><li>k³-fach bei Rauminhalten</li></ul><h3>Strahlensatz bei der V-Figur</h3><p> </p><ul><li>V-Figur besteht aus zwei Halbgeraden, die von einem Punkt ausgehen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1971/strahlensatz-vierstreckensatz#:~:text=beiden%20Geraden%20geht.-,Aussage,-Wenn%20die%20oben">Serlo</a>), was wegen gleicher Winkel zwei ähnliche Dreiecke ergibt.</li><li>Der Strahlensatz bei der V-Figur ergibt sich aus der Verhältnisgleichheit von Seiten in ähnlichen Dreiecken.</li><li><a title="https://www.geogebra.org/m/m5g5x59a" href="https://www.geogebra.org/m/m5g5x59a">Figur und Verhältnis-Gleichungen mit Geogebra</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/gmdaxfer">Messungen von Höhen mit Geogebra</a></li></ul><p> </p><h3>Strahlensatz bei der X-Figur</h3><p> </p><ul><li>X-Figur besteht aus zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden und von zwei parallelen Geraden auf verschiedenen Seiten des Punktes geschnitten werden (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1971/strahlensatz-vierstreckensatz#:~:text=beiden%20Geraden%20geht.-,Aussage,-Wenn%20die%20oben">Serlo</a>), was wegen gleicher Winkel zwei ähnliche Dreiecke ergibt.</li><li>Der Strahlensatz bei der x-Figur ergibt sich aus der Verhältnisgleichheit von Seiten in ähnlichen Dreiecken.</li><li><a title="https://www.geogebra.org/m/pjdcbzwz" href="https://www.geogebra.org/m/pjdcbzwz">Figur und Verhältnis-Gleichungen mit Geogebra</a></li></ul><h3>Zusammenfassung</h3><p> </p><ul><li>Strahlensätze für V-Figur (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz">Wikipedia</a>)</li><li>Strahlensätze für X-Figur (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz">Wikipedia</a>)</li><li>Beweis der Strahlensätze für V- und X-Figur durch die Winkelgleichheit ähnlicher Dreiecke mit parallelen Seiten</li><li>Für den Nachweis der Ähnlichkeit beliebiger Figuren braucht man Winkelgleichheit und Verhältnisgleichheit.</li></ul>
<h3>Ähnliche Figuren</h3>
<h4>Definition ähnlicher Figuren</h4><p> </p><ul><li>Zwei Figuren \(\text{F}_1\) und \(\text{F}_2\) heißen ähnlich, wenn sie durch maßstäbliches vergrößern oder verkleinern zu kongruenten (deckunsgleichen) Figuren werden.</li><li>Schreibweise<br />\(\text{F}_1 \sim \text{F}_2\)</li><li>Ähnlichkeitsfaktor (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1929/%C3%A4hnlichkeit#:~:text=%C3%84hnlichkeitsfaktor%20und%20dessen%20Berechnung">Serlo</a>)<br />\(k=\dfrac{s_2}{s_1}\Leftrightarrow s_2=k\cdot s_1\)<br />der Strecken der Längen \(s_1\) und \(s_2\)</li></ul><h4>Grundlegende Eigenschaften ähnlicher Figuren</h4><p> </p><ul><li>Entsprechende Winkel sind gleich groß. <br />(wegen der Deckungsgleichheit der vergrößerten bzw. verkleinerten Figuren)</li><li>Entsprechende Strecken haben das gleiche Längenverhältnis. <br />(wegen Streckungsfaktor)</li></ul><h4>Folgerungen für ähnliche Figuren</h4><p> </p><ul><li>\(k=\dfrac{s_2}{s_1}\Leftrightarrow s_2=k\cdot s_1\) mit \(k\in\mathbb{R}^+\)</li><li>Sind in einer Figur zwei Strecken parallel, sind die entsprechenden Strecken auch in der ähnlichen Figur parallel.</li><li>Alle Kreise sind ähnlich. <br />\(\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{2\pi r_2}{2\pi r_1}=\dfrac{r_2}{r_1}\)</li><li>Kongruente (deckungsgleiche Figuren) sind ähnlich und haben den Ähnlichkeitsfaktor \(k=1\).</li></ul><h3>Spezielle Eigenschaften ähnlicher Figuren</h3><h4>Ähnlichkeitssätze für Dreiecke</h4><p> </p><ul><li>Dreiecke sind ähnlich, wenn sie<ul><li>in 2 und damit in 3 Winkeln übereinstimmen (W:W-Satz) oder</li><li>im Verhältnis entsprechender Seitenlängen (S:S:S-Satz) übereinstimmen.</li></ul></li><li>Es gibt insgesamt 4 Ähnlichkeits- und 4 Kongruenz-Sätze.</li><li>Mathematische Sätze können durch Definitionen bewiesen werden.</li></ul><h4>Verhältnis von Streckenlängen, Flächeninhalte und Rauminhalte bei Ähnlichkeit</h4><p> </p><ul><li>k-fach bei Streckenlängen</li><li>k²-fach bei Flächeninhalten</li><li>k³-fach bei Rauminhalten</li></ul><h3>Strahlensatz bei der V-Figur</h3><p> </p><ul><li>V-Figur besteht aus zwei Halbgeraden, die von einem Punkt ausgehen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1971/strahlensatz-vierstreckensatz#:~:text=beiden%20Geraden%20geht.-,Aussage,-Wenn%20die%20oben">Serlo</a>), was wegen gleicher Winkel zwei ähnliche Dreiecke ergibt.</li><li>Der Strahlensatz bei der V-Figur ergibt sich aus der Verhältnisgleichheit von Seiten in ähnlichen Dreiecken.</li><li><a title="https://www.geogebra.org/m/m5g5x59a" href="https://www.geogebra.org/m/m5g5x59a">Figur und Verhältnis-Gleichungen mit Geogebra</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/gmdaxfer">Messungen von Höhen mit Geogebra</a></li></ul><p> </p><h3>Strahlensatz bei der X-Figur</h3><p> </p><ul><li>X-Figur besteht aus zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden und von zwei parallelen Geraden auf verschiedenen Seiten des Punktes geschnitten werden (<a href="https://de.serlo.org/mathe/1971/strahlensatz-vierstreckensatz#:~:text=beiden%20Geraden%20geht.-,Aussage,-Wenn%20die%20oben">Serlo</a>), was wegen gleicher Winkel zwei ähnliche Dreiecke ergibt.</li><li>Der Strahlensatz bei der x-Figur ergibt sich aus der Verhältnisgleichheit von Seiten in ähnlichen Dreiecken.</li><li><a title="https://www.geogebra.org/m/pjdcbzwz" href="https://www.geogebra.org/m/pjdcbzwz">Figur und Verhältnis-Gleichungen mit Geogebra</a></li></ul><h3>Zusammenfassung</h3><p> </p><ul><li>Strahlensätze für V-Figur (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz">Wikipedia</a>)</li><li>Strahlensätze für X-Figur (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlensatz">Wikipedia</a>)</li><li>Beweis der Strahlensätze für V- und X-Figur durch die Winkelgleichheit ähnlicher Dreiecke mit parallelen Seiten</li><li>Für den Nachweis der Ähnlichkeit beliebiger Figuren braucht man Winkelgleichheit und Verhältnisgleichheit.</li></ul>