Quelltext Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse
<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><h3>Mengendiagramme und Vierfeldertafeln</h3><h4>Zufallsexperiment durch eine Menge beschreiben (Wiederholung)</h4><ul><li>Die <strong>Ergebnismenge \(\Omega\)</strong> bezeichnet die Menge aller möglichen Ergebnisse \(\omega_i\in\Omega\) eines Zufallsexperiments.<ul><li>\( \Omega=\{ \omega_1,\omega_2,...;\omega_n\}, n \in \mathbb{N} \)</li><li>Das Ergebnis eines Ereignisses eines Zufallsexperiments (Münzwurf, Befragung) muss zufällig sein.</li><li>Zufallsexperimente können mehrmals wiederholt werden.</li></ul><ul><li>Beispiele für Ergebnismengen<ul><li>Einmaliges Werfen einer Münze<br />\( \Omega=\{ K,Z\} \)</li><li>Einmaliges Werfen eines Würfels <br />\( \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \)</li><li>Zweimaliges Werfen eines Würfels<ul><li>Wird dieses Zufallsexperiment mehrmals wiederholt, muss der Würfel jeweils immer 2-mal geworfen werden.</li><li>\( \Omega=\{ \\ (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\<br />(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\<br />(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\<br />(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\<br />(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\<br />(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),\\<br />\} \)</li></ul></li><li>Umfrage unter Jugendlichen an bayerischen Schulen (bzw. nur am Gymnasium Gröbenzell) bezüglich Sprachkenntnisse in Französisch oder Latein<br />\( \Omega=\{\text{F gelernt, L gelernt , nicht F gelernt , nicht L gelernt, weder F noch L gelernt} \} \)</li></ul></li></ul></li><li>Ein <strong>Ereignis eines Zufallsexperiments</strong> ist eine Teilmenge der Ergebnismenge (\(E\subset \Omega\)).<ul><li>Eine gerade Zahl als Augenzahl würfeln.</li></ul><ul><li>\(A=\{ 2,4,6\} \)</li></ul><ul><li>Nicht die Augenzahl 6 würfeln.<br />\(B=\{ 1,2,3,4,5\} \)</li><li>Die Augenzahl 6 würfeln.<br />\(C=\{ 6\} \)</li><li>besondere Ereignisse<ul><li>Leere Menge \( \emptyset \) als <strong>unmögliches Ereignis</strong>.<br />Die Augenzahl 7 würfeln.</li></ul><ul><li>Ergebnismenge \(\Omega\) als <strong>sicheres Ereignis</strong>.<br />Eine Augenzahl kleiner 7 würfeln.</li><li>\( \bar{A} \) ist das <strong>Gegenereignis</strong> von \(A\)<br />\( \bar{A}=\Omega\setminus\text A \)</li></ul></li></ul></li></ul><h4>Verknüpfte Ereignisse</h4><h5>Mengenschreibweise von verknüpften Ereignissen</h5><ul><li>Ereignis A und B tritt ein<br />Schnittmenge \( A\cap B \)</li><li>Ereignis A oder B tritt ein<br />Vereinigungsmenge \(A\cup B\)</li><li>Ereignis A aber nicht Ereignis B tritt ein<br />Schnittmengemenge \(A\cap \bar{B}\)</li><li>Entweder Ereignis A oder B tritt ein<br />Vereinigungsmenge der entsprechenden Schnittmengen \((A\cap \bar{B})\cup (\bar{A}\cap B)\)</li></ul><h5>Mengendiagramme von verknüpften Ereignissen</h5><ul><li>Die beiden Ereignisse werden als sich schneidende Kreise in einem Rechteck für die Ergebnismenge dargestellt.</li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/wpcsbmqv">Darstellung mit Geogebra</a></li></ul><h5>Verknüpfte Aussagen</h5><ul><li>Beim Durchschnitt von Mengen werden die entsprechenden Aussagen mit und (zugleich!) verknüpft.<br />mathematisches Zeichen: \( \land \)</li><li>Bei der Vereinigung von Mengen werden die entsprechenden Aussagen mit oder (mit und!) verknüpft.<br />mathematisches Zeichen: \( \lor \) (lateinisch <em>vel</em>)</li></ul><h5>Vierfeldertafeln von verknüpften Ereignissen</h5><ul><li>In einer <strong>Vierfeldertafel</strong> können bei der <strong>Wiederholung von Zufallsexperimenten</strong> die <strong>absoluten Häufigkeiten</strong> für zwei Ereignisse A und B als Tabelle dargestellt werden.</li><li>Ereignis und Gegenereignis bilden die Zeilen- und Spalten-Bezeichnungen.</li><li>In die Zellen der Tabelle werden die entsprechenden absoluten Häufigkeiten für die Schnittmengen der Ereignisse eingetragen.</li><li>Am Ende von Zeilen und Spalten stehen die jeweiligen Summen.</li></ul><h3>Vierfeldertafeln und Wahrscheinlichkeiten</h3><h4>Relative Häufigkeiten</h4><ul><li>\(h(A)=\dfrac{H(A)}{n}\)</li><li>Die relative Häufigkeit \(h(A)\) lässt sich für eine große Anzahl von Wiederholungen \(n\) als Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) für ein Ereignis \(A\) interpretieren.</li></ul><h4>Relative Häufigkeiten in Vierfeldertafeln</h4><ul><li>Anstatt absoluter Häufigkeiten können in Vierfeldertafeln genauso gut relative Häufigkeiten eingetragen werden.</li><li>Anstatt der Anzahl n wird in die rechte untere Ecke \(P(\Omega)=1\) eingetragen.</li></ul><h4>Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge zweier Ereignisse</h4><ul><li>Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A oder B<br />\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)</li><li>Ist \(P(A\cup B)\) und \(P(A)\) bzw. \(P(A)\) gegeben, kann \(P(A\cap B)\) berechnet und in die Vierfeldertafel eingetragen werden.</li></ul>