Quelltext Trigonometrie
<script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><script>window.onload = function () { var toc = ""; var level = 0;
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//Inhaltsverzeichnis wird geschrieben document.getElementById("toc").innerHTML += toc;};</script><div id="toc"> <h3>Table of Contents</h3> </div> <hr/><div id="contents">
<h3>Sinus, Kosinus und Tangens</h3><h4>Definition von Sinus, Kosinus und Tangens</h4><ul><li>Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck bezüglich eines Winkels..<br /><ul><li>\(\sin\varphi =\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\)</li></ul><ul><li>\(\cos\varphi =\frac{Ankathete}{Hypotenuse}\)</li></ul><ul><li>\(\tan\varphi =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\)</li></ul></li><li>Wert für den Winkel bei gegebenem Verhältnis (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/hwmbc3jw">Geogebra</a>)</li></ul><h4>Werte am Einheitskreis graphisch bestimmen</h4><h5>Sinus und Kosinus</h5><ul><li>Punkt auf dem Einheitskreis gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/xj4deu3x">Geogebra</a>)</li><li>Winkel gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/sx75dybt">Geogebra</a>)</li></ul><h5>Tangens</h5><p>Punkt auf dem Einheitskreis gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/pfsdtgkc">Geogebra</a>)</p><h4>Werte von besonderen Winkeln</h4><ul><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1565/sinus-kosinus-und-tangens">Serlo</a></li><li>Berechnung von sin60° und cos30° (<a href="https://www.geogebra.org/m/f6tngk6c">Geogebra</a>)</li></ul><h3>Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken</h3><h5>Strategie</h5><ul><li>Mit der Gleichung des Pythagoras können am rechtwinkligen Dreieck nur Seitenlängen bestimmt werden.</li><li>Mit Hilfe der Trigonometrie können am rechtwinkligen Dreieck Seiten und Winkel bestimmt werden.</li></ul><h5>Beispiele für Berechnungen</h5><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/qyuyz9dp">Dachzimmer</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/ryc42mnz">Hangabtrieb</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/hrszkcfn">Breite eines Flusses</a></li></ul><h3>Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens </h3><ul><li>Aufgrund der Winkelsumme gilt in einem rechtwinkligen Dreieck (<a href="https://de.serlo.org/mathe/53031/beziehungen-trigonometrischer-funktionen">Serlo</a>):<br />\(\cos\varphi =\sin(90°-\varphi)\) bzw. \(\sin\varphi =\cos(90°-\varphi)\) </li><li>Wegen der Gleichung des Pythagoras gilt:<br />\((\sin\varphi)^2+(\cos\varphi)^2=1\)</li><li>Rechnerisch gilt für den Tangens:<br />\(\tan\varphi =\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\)</li></ul><h3>Sinus und Kosinus für Winkel größer 90°</h3><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/ahauucdu">Einheitskreis mit Geogebra</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/nvaccnqw">Winkel zwischen 90° und 180°</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/e47pfhzc">Winkel zwischen 180° und 270°</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/zhttpg5e">Winkel zwischen 270° und 360°</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/53031/beziehungen-trigonometrischer-funktionen#:~:text=Supplementbeziehungen">Formeln bei Serlo</a></li><li>Umgang mit dem Taschenrechner<ul><li>Will man zu einem Sinus- oder Kosinus-Wert den Winkel bestimmen, müssen für Winkel zwischen 0° und 360° in der Regel zwei Werte angegeben werden.</li><li>Der Taschenrechner liefert jedoch nur einen Wert, der entsprechend interpretiert werden muss.</li></ul></li></ul><h3>Sinussatz</h3><h4>Formulierung des Sinussatzes</h4><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz">Wikipedia</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/2057">Serlo</a></li></ul><h4>Aufgaben zum Sinussatz</h4><ul><li>Konstruktionen und Berechnungen eines Dreiecks mit Geogebra<ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/nagvgvxm">aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite</a></li><li>aus einer Seite und zwei Winkeln</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/uec6vc5p">Vermessung der Höhe eines Gegenstandes mit Geogebra</a><br />Anmerkung: Die Höhe kann auch über den Tangens berechnet werden.</li></ul><h3>Kosinussatz</h3><h4>Formulierungen des Kosinussatzes</h4><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz">Wikipedia</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/2057/sinussatz-und-kosinussatz-im-allgemeinen-dreieck">Serlo</a></li></ul><h4>Aufgaben zum Kosinussatz</h4><ul><li>Konstruktionen und Berechnungen eines Dreiecks<br /><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/evdeema7">aus drei Seiten</a></li><li>aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel</li></ul></li><li>Vermessung der Entfernung zwischen zwei Punkten</li></ul></div>
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<h3>Sinus, Kosinus und Tangens</h3><h4>Definition von Sinus, Kosinus und Tangens</h4><ul><li>Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck bezüglich eines Winkels..<br /><ul><li>\(\sin\varphi =\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\)</li></ul><ul><li>\(\cos\varphi =\frac{Ankathete}{Hypotenuse}\)</li></ul><ul><li>\(\tan\varphi =\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\)</li></ul></li><li>Wert für den Winkel bei gegebenem Verhältnis (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/hwmbc3jw">Geogebra</a>)</li></ul><h4>Werte am Einheitskreis graphisch bestimmen</h4><h5>Sinus und Kosinus</h5><ul><li>Punkt auf dem Einheitskreis gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/xj4deu3x">Geogebra</a>)</li><li>Winkel gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/sx75dybt">Geogebra</a>)</li></ul><h5>Tangens</h5><p>Punkt auf dem Einheitskreis gegeben (<a href="https://www.geogebra.org/m/pfsdtgkc">Geogebra</a>)</p><h4>Werte von besonderen Winkeln</h4><ul><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/1565/sinus-kosinus-und-tangens">Serlo</a></li><li>Berechnung von sin60° und cos30° (<a href="https://www.geogebra.org/m/f6tngk6c">Geogebra</a>)</li></ul><h3>Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken</h3><h5>Strategie</h5><ul><li>Mit der Gleichung des Pythagoras können am rechtwinkligen Dreieck nur Seitenlängen bestimmt werden.</li><li>Mit Hilfe der Trigonometrie können am rechtwinkligen Dreieck Seiten und Winkel bestimmt werden.</li></ul><h5>Beispiele für Berechnungen</h5><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/qyuyz9dp">Dachzimmer</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/ryc42mnz">Hangabtrieb</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/hrszkcfn">Breite eines Flusses</a></li></ul><h3>Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens </h3><ul><li>Aufgrund der Winkelsumme gilt in einem rechtwinkligen Dreieck (<a href="https://de.serlo.org/mathe/53031/beziehungen-trigonometrischer-funktionen">Serlo</a>):<br />\(\cos\varphi =\sin(90°-\varphi)\) bzw. \(\sin\varphi =\cos(90°-\varphi)\) </li><li>Wegen der Gleichung des Pythagoras gilt:<br />\((\sin\varphi)^2+(\cos\varphi)^2=1\)</li><li>Rechnerisch gilt für den Tangens:<br />\(\tan\varphi =\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\)</li></ul><h3>Sinus und Kosinus für Winkel größer 90°</h3><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/ahauucdu">Einheitskreis mit Geogebra</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/nvaccnqw">Winkel zwischen 90° und 180°</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/e47pfhzc">Winkel zwischen 180° und 270°</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/zhttpg5e">Winkel zwischen 270° und 360°</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/53031/beziehungen-trigonometrischer-funktionen#:~:text=Supplementbeziehungen">Formeln bei Serlo</a></li><li>Umgang mit dem Taschenrechner<ul><li>Will man zu einem Sinus- oder Kosinus-Wert den Winkel bestimmen, müssen für Winkel zwischen 0° und 360° in der Regel zwei Werte angegeben werden.</li><li>Der Taschenrechner liefert jedoch nur einen Wert, der entsprechend interpretiert werden muss.</li></ul></li></ul><h3>Sinussatz</h3><h4>Formulierung des Sinussatzes</h4><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz">Wikipedia</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/2057">Serlo</a></li></ul><h4>Aufgaben zum Sinussatz</h4><ul><li>Konstruktionen und Berechnungen eines Dreiecks mit Geogebra<ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/nagvgvxm">aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite</a></li><li>aus einer Seite und zwei Winkeln</li></ul></li><li><a href="https://www.geogebra.org/m/uec6vc5p">Vermessung der Höhe eines Gegenstandes mit Geogebra</a><br />Anmerkung: Die Höhe kann auch über den Tangens berechnet werden.</li></ul><h3>Kosinussatz</h3><h4>Formulierungen des Kosinussatzes</h4><ul><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz">Wikipedia</a></li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/2057/sinussatz-und-kosinussatz-im-allgemeinen-dreieck">Serlo</a></li></ul><h4>Aufgaben zum Kosinussatz</h4><ul><li>Konstruktionen und Berechnungen eines Dreiecks<br /><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/evdeema7">aus drei Seiten</a></li><li>aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel</li></ul></li><li>Vermessung der Entfernung zwischen zwei Punkten</li></ul></div>