Quelltext Potenzfunktionen und n-te Wurzeln

<script type="text/javascript" asyncsrc="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><h3>Potenzfunktionen mit nat&uuml;rlichen Exponenten</h3><h4>Definition einer Potenzfunktion</h4><ul><li>Funktionsterm mit Definitionsmenge<br />\(f(x)=a\cdot x^n, x\in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}, a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\)</li><li>\(n\) hei&szlig;t Grad der Potenzfunktion</li></ul><h4>Eigenschaften einer Potenzfunktion</h4><h5>Wertemenge</h5><ul><li>\(n\) gerade<ul><li>\(a&gt;0\)<br />\(W=\mathbb{R}_0^+\)</li><li>\(a&lt;0\)<br />\(W=\mathbb{R}_{0}^{-}\)</li></ul></li><li>\(n\) ungerade<br />\(W=\mathbb{R}\)</li></ul><h5>Steigungsverhalten</h5><ul><li>\(n\) gerade<ul><li>\(a&gt;0\)<ul><li>\(x&lt;0\): fallend</li><li>\(x&gt;0\):&nbsp;steigend</li></ul></li><li>\(a&lt;0\)<br /><ul><li>\(x&lt;0\): steigend</li><li>\(x&gt;0\):&nbsp;fallend</li></ul></li></ul></li><li>\(n\) ungerade<br /><ul><li>\(a&gt;0\): steigend</li><li>\(a&lt;0\): fallend</li></ul></li></ul><h4>Darstellung einer Potenzfunktion mit Geogebra</h4><p><a href="https://www.geogebra.org/m/rthhmmgk">Geogebra</a></p><h4>Schnittpunkte von Graphen zweier Potenzfunktionen</h4><h5>Graphische Bestimmung der Schnittpunkte mit Geogebra</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/z8pnjmuy">Geogebra</a></p><h5>Allgemeine Berechnung der Schnittpunkte mit dem Formeleditor</h5><p>\( f_1(x)=a_1x^{n_1}\\f_2(x)=a_2x^{n_2}\\f_1(x)=f_2(x)\\a_1x^{n_1}=a_2x^{n_2}\\ a_1x^{n_1}-a_2x^{n_2}=0\\x^{n_1}(a_1-a_2x^{n_2-n_1})=0\\x_1=0\\a_1-a_2x_2^{n_2-n_1}=0\\a_1=a_2x_2^{n_2-n_1}\\x_2^{n_2-n_1}=\frac{a_1}{a_2}\\x_2= \sqrt[n_2-n_1]{\left |\frac{a_1}{a_2}\right |}(n_1&lt;n_2) \)<br />F&uuml;r \(n_2-n_1\) gerade gibt es einen dritten Schnittpunkt:<br />\(x_3= -\sqrt[n_2-n_1]{\left |\frac{a_1}{a_2}\right |}\)</p><p>Anmerkungen:</p><ul><li>Die L&ouml;sung wird mit Hilfe der n-ten Wurzel formuliert.<ul><li>Siehe folgende Definition der n-ten Wurzel!</li><li>Wegen der Definition der n-ten Wurzel werden Betragsstriche unter der n-ten Wurzel ben&ouml;tigt.</li></ul></li><li>Quellcode der Formel in Tex (<a href="https://www.geogebra.org/calculator/ftxd7vsy">Geogebra</a>)</li></ul><h5>Berechnung der Schnittpunkte in Geogebra</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ybs3rb2x">Berechnung und Zeichnung mit Geogebra</a><br /><br /></p><h3>n-te Wurzeln</h3><h4>Definition der n-ten Wurzel</h4><ul><li>\( \sqrt[n]{a} \) hei&szlig;t n-te Wurzel von \(a\) mit \( a&gt;0, n \in \mathbb{N}, n&gt;2 \)</li><li>\( \left (\sqrt[n]{a}\right )^n=a \)</li><li>Beispiele<br /><ul><li>\( \sqrt[3]{8} =2\) da&nbsp;\( \left (\sqrt[3] 2\right )^3=8 \)</li><li>da \(8=2^3\) gilt auch: \( \sqrt[3]{2^3} =2\)</li><li>\( \sqrt[5]{3^5} =3\) oder allgemein&nbsp;\( \sqrt[n]{a^n} =a, a&gt;0\)</li><li>\( \sqrt[3]{-8}\) nicht definiert!</li></ul></li></ul><h4>Potenzgleichungen</h4><h5>Definition einer Potenzgleichung</h5><ul><li>\( x^n=c\) mit \( c\in\mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}, n\in\mathbb{N}, n\geq2 \)</li><li>Im Gegensatz zu einer quadratischen Gleichung darf c, wenn \(n\) ungerade ist, auch negativ sein, weswegen bei der Formulierung der L&ouml;sung von Potenzgleichungen durch n-ten Wurzeln bei negativem c Betragsstriche ben&ouml;tigt werden.</li><li>Graphische Darstellung einer Potenzgleichung mit Geogebra</li></ul><h5>Allgemeine L&ouml;sungen einer Potenzgleichung</h5><ul><li>\(n\) gerade<ul><li>\( c&gt;0 \\<br />x_1=\sqrt[n]{c}\\<br />x_2=-\sqrt[n]{c}\)</li><li>\( c&lt;0 \)<br />keine L&ouml;sung</li></ul></li><li>\(n\) ungerade<ul><li>\(c&gt;0\\x=\sqrt[n]{c}\)</li><li>\(c&lt;0\\x=-\sqrt[n]{|c|}\)</li></ul></li><li>Beispiele<ul><li>\( x^3=8\)<br />\( x=\sqrt[3]{8}=2\)</li><li>\( x^3=-8\\&nbsp;x=-\sqrt[3]{|-8|}=-2\)</li><li>\( x^4=16\\<br />&nbsp;x_1=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2\\<br />&nbsp;x_2=-\sqrt[4]{16}=-\sqrt[4]{2^4}=-2\)</li></ul></li></ul><h5>Graphische L&ouml;sung einer Potenzgleichung</h5><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/ceaqyjgj">Geogebra</a></p><h3>Potenzen mit rationalen Exponenten</h3><h4>Definition von rationalen Exponenten</h4><ul><li>\( {a}^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a} ,a\in \mathbb{R}_0^-, n\in \mathbb{N}, n \geq 2 \)</li><li>\( {a}^{-m} = \frac{1}{ {a}^{m}} ,m\in \mathbb{N}, m \geq 1 \)</li><li>\( {a}^{\frac{m}{n}}= \left (\sqrt[n]{a}\right )^m ,a\in \mathbb{R}_0^-, n\in \mathbb{N}, n \geq 2,m\in \mathbb{Z} \)</li><li>Geh&ouml;rt die Null zur Menge der nat&uuml;rlichen Zahlen? (<a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl">Wikipedia</a>)</li></ul><h4>Potenzgesetze f&uuml;r Potenzen mit rationalen Exponenten</h4><ul><li>Potenzgesetzte mit rationalen Exponenten siehe<ul><li><a href="https://www.isb.bayern.de/schularten/gymnasium/faecher/mathematik/hilfsmittel/formeldokument/">Dokument mit mathematischen Formeln</a></li><li>1 Grundlagen Abschnitt Potenzen und Logarithmen</li></ul></li><li>Wegen dem Potenzgesetz \(\left ( a^r\right )^s=a^{r\cdot s}\) gilt:<br />\( \left (\sqrt[n]{a}\right )^m = {a}^{\frac{m}{n}}= a^{\frac{1}{n}\cdot m}=a^{m\cdot \frac{1}{n}} = \left ( a^m\right )^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a^m} \)</li></ul>