Quadratische Funktionen Aufgaben
<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><h3>II 5 Nr13d-i</h3><p><a href="https://www.geogebra.org/calculator/qz64sbhk">Lösung mit Geogebra</a></p><p>\( \text{d)}\\5x^2=3x\\5x^2-3x=0\\x(5x-3)=0\\x_1=0\\5x_2-3=0\;+3\\5x_2=3|\;5\\x_2=\frac{3}{5} \)<br /></p><p>\( \text{f)}\\5-2x=0,5x^2|;~5+2x\\ 0,5x^2 +2x+5=0 \)<br /></p><p>\(\text{g)}\\ 1,5x^2=x^2-1,5\;|-x^2\\ 0,5x^2=1,5\,|:0,5\\ x^2=3\;|\sqrt{}\\ x_{1,2}=\pm\sqrt3 \)</p><p>\(\text{h)}\\ 3x^2-2=x^2+5x+1|\;|-x^2-5x-1\\2x^2-5x-3=0\\x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot2\cdot (-3)}}{2\cdot2}\\x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2\cdot2}\\x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}\\x_{1,2}=\frac{5\pm7}{6}\\x_1=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\\x_2=\frac{12}{4}=3\)</p><p>\(\text{i)}\\ 2x^2+3x-2=4x-2x^2\;|-4x+2x^2\\4x^2-x-2=0\\x_{1,2}= \frac{-3\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot4\cdot(-2)}}{2\cdot 2}\\x_{1,2}= \frac{-3\pm\sqrt{1+32}}{2\cdot 2}\\x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{33}}{4} \)</p><h3>II 6 Nr1</h3><p>a)</p><p>\(f(x)=-2(2x^2-3x-0,5)\\f(x)=-4x^2+6x+1\)</p><p>b)</p><p>\(f(x)=1,5(x-2)(x+3)\\f(x)=1,5(x^2+3x-2x-6)\\f(x)=1,5(x^2+x-6)\\f(x)=1,5x^2+1,5x-9\)</p><p>c)</p><p>\(f(x)=-(x-3)^2+2\\f(x)=-(x^2-6x+9)+2\\f(x)=-x^2+6x-9+2\\f(x)=-x^2+6x-7\)</p><p>d)</p><p>\(f(x)=3(x-3)^2\\f(x)=3(x^2-6x+9)\\f(x)=3x^2-18x+27\)</p><p>e)</p><p>\(f(x)=2(x+1)^2-3\\f(x)=2(x+2x+1)^2-3\\f(x)=2x+4x+2-3\\f(x)=2x+4x-1\)</p><p>f)</p><p>\(f(x)=0,5(x-4)(x-6)\\f(x)=1,5(x^2-6x-4x+24)\\f(x)=0,5(x^2-10x+24)\\f(x)=0,5x^2-5x+12\)</p><h3>II 6 Nr8</h3><p>\(f(x)=-5x^2+20x-12,8\)</p><p> </p><h4>II 6 Nr8a</h4><p>Nullstellen</p><p>\( -5x^2+20x-12,8=0\\x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{400-4\cdot (-5)\cdot (-12,8)}}{2\cdot (-5)}\\x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{400-256}}{-10}\\x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{144}}{-10}\\x_{1,2}=\frac{-20\pm12}{-10}\\x_1=0,8\\x_2=3,2 \)</p><p>Abstand der Nullstelllen</p><p>\(x_2-x_1=3,2-0,8=2,4\)</p><p> </p><h4>II 6 Nr8b</h4><p>allgemeine Ermittlung des Scheitels aus der Nullstellen-Form</p><p> </p><ul><li>\(x_s\) in der Mitte zwischen \(x_1\) und \(x_2\)</li><li>\( x_s=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{2x_1+x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}\\y_s=f(x_s)=a(x_s-x_1)(x_s-x_2) \)</li></ul><p> </p><p>Berechnung des Scheitels<br />\( x_s=\frac{0,8+3,2}{2}=2\\y_s=f(2)=-5(2-0,8)(2-3,2)=-5\cdot 1,2\cdot (-1,2)=7,2 \)<br />Scheitelpunktsform<br />\(f(x)=-5(x-2)^2+7,2\)<br />Wertemenge<br />\(W_f=]-\infty;7,2]\)<br /><br /></p><h4>II 6 Nr8c</h4><p>\(f(x)=-5(x-2)^2+7,2=-5(x^2-4x+4)+7,2=-5x^2+20x+12,8\)<br /><br /></p><h3>II Teste dich!</h3><h4>Anmerkungen</h4><h5>Aufgabe 1</h5><p> </p><ul><li>allgemeine Form einer Normalparabel<br />\(f(x)=x^2+bx+c\)</li><li>Scheitel liegt auf der x-Achse, wenn gilt:<br />\( f(x)=(x-(\frac{b}{2})^2)=x^2+bx+(\frac{b}{2})^2=x^2+bx+c\Leftrightarrow c=(\frac{b}{2})^2=\frac{b^2}{4} \)</li></ul><p>Anmerkung:</p><ul><li>Druckfehler bei der Angabe im Schulbuch bei b)</li><li>20,5 sollte nach Lösung 20,25 sein!</li></ul><h5>Aufgabe 4</h5><p>Funktionsterm einer quadratischen Funktion<br />a) Normalparabel mit Scheitel S(-1;3)<br />b) mit dem kleinsten Funktionswert -9 und den Nullstellen -1 und 2<br />c) mit f(0)=9 und genau einer Nullstelle<br />d) mit achsensymmetrischem Graph zur Gerade x=-3 und der Wertemenge x<4<br />e) mit f(0)=3, im Intervall x<2 fällt und im Intervall x>2 fällt.</p><p> </p><p>Lösungen<br />a)<br />\( f(x)=(x+1)^2+3=x^2+2x+1+3=x^2+2x+4 \)<br />b)<br />\( f(x)=a(x+1)(x-2)=a(x^2-2x+x-2)=a(x^2-x-2)\\x_s=x_1+\frac{x_2-x_1}{2}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1+2}{2}\\f(\frac{1}{2})=-9\\a(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}-2)=-9\\-\frac{9}{4}a=-9|\cdot (-\frac{4}{9})\\a=4\\f(x)=4(x^2-x-2)=4x^2-4x-8 \)<br />c)</p><ul><li>genau eine Nullstelle \(\Rightarrow x_s\) auf der x-Achse</li><li>\(f(x)=a(x-x_s)^2=ax-2ax_s+ax_s^2\)</li><li>mehrere Lösungen \(ax_s^2=9\)</li><li>z.B. \(a=1\Rightarrow x_s^2=9\Rightarrow x_s=\pm 3\)</li></ul><p>Auch für d) und e) gibt es mehrere Lösungen, so dass es günstig eine Parabel mit der Öffnung \(|a|=1\) zu nehmen, die die Bedingungen erfüllt!</p><h5>Aufgabe 8</h5><p>a)<br />\( f(x)=2x^2-3x+c\\f(x)=2(x^2-3x+(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4})^2)+c\\f(x)=2(x-\frac{3}{4})^2-2\cdot \frac{9}{16}+c\\-2\cdot \frac{9}{16}+c=0|+\frac{9}{8}\\c=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}=1,125 \)</p><p><strong><br /></strong></p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p>