Quelltext Laplace-Wahrscheinlichkeit
<script type="text/javascript" async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script><h3>Zufallsexperimente</h3><h4>Ergebnismenge</h4><p><strong>Zufallsexperimente</strong> werden durch eine <strong>Ergebnismenge</strong> beschrieben</p><h4>Ergebnis</h4><ul><li>Ein <strong>Ergebnis</strong> \(\omega_i\) mit \(i \in \mathbb{N}\) ist ein <strong>Element der Ergebnismenge</strong> \(\Omega\).</li><li>z.B.: \(\Omega=\left\{ \omega_1; \omega_2; \omega_3; \omega_4\right\} \)</li></ul><h4>Ereignis</h4><ul><li>Ein <strong>Ereignis</strong> \(\text{A}\subset \Omega \) ist eine <strong>Teilmenge der Ergebnismenge</strong></li><li><strong>besondere Ereignisse</strong><ul><li><strong>sichere Ereignis</strong> \(\Omega\)<br />Augenzahl 1-6 beim einmaligen Würfeln</li><li><strong>unmögliches Ereignis</strong> \( \emptyset \) (leere Menge)<br />Augenzahl 7 beim einmaligen Würfeln</li><li><strong>Gegenereignis</strong> \( \overline{\text{A}}=\Omega \setminus \text{A} \) zum Ereignis A.<br />Eine gerade Augenzahl zu würfeln ist das Gegenereignis zum Ereignis eine ungerade Zahl zu würfeln.</li></ul></li></ul><h4>Ergebnisse als Paare</h4><p>Besteht ein Zufallsexperiment aus zwei Teilen (2-maliges Würfeln) ergeben sich <strong>Paare als Ergebnisse</strong> und das Zufallsexperiment kann als Baum dargestellt werden.</p><h3>Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses</h3><h4>Empirisches Gesetz der großen Zahlen</h4><ul><li>Empirisch heißt, dass das Gesetz durch Erfahrungswerte begründet ist.</li><li>Die relative Häufigkeit h(A) eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Anzahl n der Versuche um einen festen Wert.</li><li>\(h(A)=\frac{H(A)}{n}\) wobei H(A) die (absolute) Häufigkeit bei n Versuchen ist.</li><li><a href="https://musin.sharepoint.com/:x:/s/8d759/EabP8kUmGz9ClPhkIMI4RaoBumV6wCBOkGP3H9IjJvDWzw?e=8yjxPV">Kalkulation zum Gesetz der großen Zahlen</a></li><li><a href="https://lernplattform.mebis.bayern.de/draftfile.php/2464885/user/draft/441553100/W%C3%BCrfeln.xlsx">Würfeln mit einer Tabellenkalkulation</a></li><li><a href="https://scratch.mit.edu/projects/522907134/editor/">Würfeln mit Scratch</a></li></ul><h4>Definition der Wahrscheinlichkeit</h4><ul><li>Als Wahrscheinlichkeit P(A) für das Eintreten eines Ereignisses A eines Zufallsexperiments wird eine Zahl im Intervall [0;1] festgelegt, die durch die relative Häufigkeit nahegelegt ist.</li><li>Beispiele<ul><li>Beim Werfen eines Reißnagels können die Ereignisse Kopf oder Zahl eintreten. Die relative Häufigkeit für das Ereignis "Kopf" stabilisiert sich bei ca. 40%, weswegen die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis A auf P(A)=0,4 festgelegt werden kann.</li><li>Beim Werfen einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 0,5.</li></ul></li></ul><h3>Laplace-Wahrscheinlichkeit</h3><ul><li>Ist bei einem Zufallsexperiment die <strong>Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis gleich</strong>, gilt für die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ergebnisse<br />\(P(\left\{\omega\right\} )=\dfrac{1}{|\Omega |}\), wobei \(|\Omega |\) die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge \(\Omega\) (Mächtigkeit der Menge) angibt.</li><li>Die <strong>Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A eines Laplace-Experiments</strong> ist damit<ul><li>\(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}, A\subset \Omega\)</li><li>Anzahl der für eine Ereignis günstigen Ergebnisse (Elemente der Ergebnismenge) geteilt durch die Anzahl der für ein Zufallsexperiment möglichen Ergebnisse.</li><li>Entscheidend für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist die Wahl der Ergebnismenge und der entsprechenden Teilmenge als Ereignis.</li></ul></li></ul><h3>Bestimmung der Anzahl der Elemente von Ergebnismenge und Ereignis</h3><h4>Beispiele</h4><ul><li><a href="https://www.geogebra.org/m/dvyvfusq">Simulation des Ziehens von Kugeln aus einer Urne mit Geogebra</a></li><li><a href="https://www.geogebra.org/calculator/fephajjg">Anzahl der Möglichkeiten für k Personen sich auf n Stühle zu setzen</a></li></ul><h4>Zählprinzip</h4><ul><li>Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit \(m_1, m_2, . . . m_k\) Elementen jeweils ein Element, so gibt es \(m_1\cdot m_2 . . .\cdot m_k\) Möglichkeiten.</li><li><a href="https://de.serlo.org/mathe/29910/z%C3%A4hlprinzip">Baumdiagramm</a></li></ul><h4>Ziehen mit Zurücklegen</h4><ul><li>k-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit m unterscheidbaren Kugeln</li><li>\(m\cdot m\cdot . . .\cdot m=m^k\) Möglichkeiten</li></ul><h4>Ziehen ohne Zurücklegen</h4><ul><li>k-maliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln</li><li>\(n\cdot (n-1)\cdot . . .\cdot (n-k)\) Möglichkeiten</li></ul><h4>Anordnen in einer Reihe</h4><ul><li>Ist k=n entspricht das Ziehen ohne Zurücklegen einer Anordnung der unterscheidbaren Kugeln in einer Reihe..</li><li>n!= \(n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot . . .\cdot 2\cdot 1\) Möglichkeiten</li></ul><p><img src="https://lernplattform.mebis.bayern.de/draftfile.php/2464885/user/draft/441553100/grafik.png" alt="" /></p>