Probraná látka

Tady se každý týden bude objevovat látka, kterou se daný týden máte naučit, a sada příkladů, kterou byste se měli snažit vyřešit. Představu o tom, co teprve přijde, si můžete udělat z loňských stránek; letos to bude velmi podobné.

Vzorová řešení spousty úloh a především ucelený text k tématu každé jednotlivé hodiny najdete na předloňských stránkách, konkrétně tady. Založil jsem i dokument se vzorovými řešeními vybraných úloh. Hlavně se mě ale v případě nejasností ptejte na hodinách po mailu – klidně i na látku z lekce, kterou jsme měli třeba před třemi týdny!

Domácí úkoly se letos odevzdávají mailem, ideálně sepsané v LaTeXu; k tomu se vám mohou hodit moje rady a šablony. Taky jsem vám přehledně shromáždil informace o zápočtu. Aktuálně vás nejspíš zajímá třetí sada domácích úkolů.

Teorie až tolik neprobereme a jako zdroj lze klidně použít třeba i Wikipedii; leccos ale najdete v zápiscích z prosemináře 2017/2018. Zvlášť v první polovině semestru budou témata jednotlivých hodin hodně podobná.

1. hodina, 19. 2. 2020: Úvod, otevřené problémy teorie čísel. Kromě organizačních záležitostí jsme si řekli něco málo o známý nevyřešených problémech teorie čísel, a to o Fermatových a Mersennových prvočíslech, prvočíselných dvojčatech a Goldbachově hypotéze. Ve zbytku hodiny jsme řešili 1. sadu úloh a zájemci i náročnější sérii úloh z korespondenčního semináře PraSe. Náměty k zamyšlení: 1) Dokažte, že je-li 2^k+1 prvočíslo, pak k je mocnina dvojky; 2) dokažte, že je-li 2^k-1 prvočíslo, pak k je prvočíslo.

2. hodina, 26. 2. 2020: Eukleidův algoritmus, Bézoutovy koeficienty, největší společný dělitel. Vyslovili jsme větu o Bézoutových koeficientech, řekli si, že NSD(a,b) je nejmenším kladným prvkem množiny {ka+lb | a,b leží v Z}, a dali tato tvrzení do souvislosti s Eukleidovým algoritmem (a jeho rozšířenou verzí, která umí hledat Bézoutovy koeficienty). Viděli jsme, že někdy se NSD dvou výrazů hledá snadno pomocí jejich různého odčítání (tj. myšlenkami podobnými Eukleidově algoritmu), zatímco jindy je lepší dívat se na jednotlivá prvočísla a zkoumat, v kolikáté mocnině se v obou výrazech vyskytují. Řešili jsme 2. sadu úloh. Doporučení: Kromě vyslovených vět si zapamatujte i tvrzení z Úkolu 2.1 a v příkladech na NSD ho využívejte! Uvědomte si, že je ve skutečnosti svým způsobem řádkovým úpravám soustavy rovnic. Náměty k zamyšlení: 1) Zamyslete se nad Eukleidovým algoritmem pro více čísel – jak ho provádět; kdy ho zastavit; nejmenším prvkem které množiny příslušný NSD bude. 2) Dokažte, že NSD(a,b) je nejmenším kladným prvkem množiny {ka+lb | a,b leží v Z}. Využijte větu o celočíselném dělení. Nově jsem k této sadě sepsal i nápovědy.

3. hodina, 4. 3. 2020: Kongruence, Malá Fermatova věta. Zavedli jsme pojem kongruence, vyslovili Malou Fermatovu větu a vyřešili několik příkladů na toto téma: 3. sada úloh. Podívejte se na nápovědy.

„4. hodina“, 11. 3. 2020: V prezenční podobě zrušena. Věnujte se řešení první sady domácích úkolů (drobné rady k nim jsou tady) a projděte si předchozí tři sady úloh (tady máte nápovědy ke 3. sadě). Taky je ten pravý čas naučit se napsat něco jednoduchého v LaTeXu.

4. hodina, 18. 3. 2020: Eulerova funkce a Eulerova věta. Tato hodina také neproběhla prezenčně. Přečtěte si můj krátký učební text o Eulerově větě a Eulerově funkci, a v průběhu jeho čtení řešte příslušnou sadu příkladů; když si nebudete vědět rady, podívejte se na nápovědy. Mějte na paměti, že ne úplně všechny příklady se přímo týkají látky dnešní hodiny.

5. hodina, 25. 3. 2020: Čínská zbytková věta. Tato hodina také neproběhla prezenčně. Přečtěte si učební text o Čínské zbytkové větě a zkuste vyřešit základní sadu příkladů (taky k nim máte nápovědy). Pokud je to na vás lehké, klidně se pusťte do těžší sady příkladů, které jsem převzal od Luciena Šímy a které budou náplní příští hodiny – nápovědy dostanete až příští týden. A nezapomeňte si kdyžtak říct mailem o nápovědu k domácím úkolům!

6. hodina, 1. 4. 2020: Náročnější příklady na ČZV. Tato hodina byla zaměřená na těžší příklady o Čínské zbytkové větě z minulé hodiny. Už se můžete podívat i na Lucienovy nápovědy. Nový učební text nepřibude, ale než se do příkladů pustíte, bude se vám asi hodit přečíst si krátké úvodní slovo s vzorovým řešením jednoho příkladu. POZOR! V zadání úlohy 2 je chyba. Pochopitelně nemá p^2 dělit n, nýbrž vždycky to dané číslo z n-tice – v tom „úvodním slově“ je to správně. (Plno lidí, včetně mě, tu úlohu na první přečtení pochopí správně, i když je zadání fakt nesmyslné.)

7. hodina, 8. 4. 2020: Kvadratické zbytky. Podívejte se na učební text o kvadratických zbytcích a na sadu příkladů. Učební text je velmi krátký; chci, abyste si tuto užitečnou část látky hlavně osahali na spoustě úloh. Koho zajímají obecná tvrzení, jsou obsažena na konci sady příkladů. Konečně tu máte i nápovědy! Dnes jsem také zveřejnil druhou sadu domácích úkolů.

8. hodina, 15. 4. 2020: Diofantické rovnice I, metoda nekonečného sestupu. Diofantická rovnice není nic děsivého; je to zkrátka jakákoliv rovnice, jejíž řešení hledáme jen v celých číslech. Máte tady učební text, zadání a nápovědy. Taky se můžete podívat na nápovědy k minulé hodině (které tu předtím nebyly). Domácí úkoly opravím během tohoto týdne. Omlouvám se, uplynulých pár dní bylo hodně náročných...

9. hodina, 22.4. 2020: Diofantické rovnice II. Na této hodině dostanete kupu diofantických rovnic různé obtížnosti (zadání zde) a k nim nápovědy a učební text o pythagorejských trojicích. Tématem společným prvním pěti úlohám jsou lineární diofantické rovnice; o nich si můžete přečíst snadný textík s řešenými příklady, použitý na prosemináři před dvěma roky.

10. hodina, 29. 4. 2020: Počítání modulo prvočíslo, primitivní prvek. 1) Změny nesouvisející s látkou dnešní hodiny: Mezi vzorovými řešeními přibylo řešení příkladu 9.16, tedy rovnice x^4+y^4=z^2. Jednak je to pěkný příklad na nekonečný sestup, jednak je tím dokázaný alespoň kousek Velké Fermatovy věty (vizte příklad 9.17). Druhá výrazná změna, ke které došlo, je založení Knihy přání a stížností – pokud se vám nechce psát mi mail, což úplně chápu, můžete taky prostě otevřít ten soubor a něco do něj napsat. 2) Látka dnešní hodiny: Podívejte se na učební text (dlouze působí jen kvůli zahrnutí tří řešených příkladů) a na zadání úloh. Rozhodně využívejte podrobných nápověd.

11. hodina, 6. 5. 2020: p-valuace, Lifting the exponent Lemma. Na této hodině si zavedeme p-valuace (velmi přirozený a užitečný pojem, který si ve skutečnosti každý z vás už v hlavě zavedl, jen neznal ten oficiální název) a bez důkazu vyslovíme takzvané Lifting the exponent Lemma. Jde o poměrně speciální a ne až tak důležité tvrzení, které se nicméně může hodit při řešení některých diofantických rovnic a jiných úloh. Obejdeme se bez učebního textu; potřebná definice i věta je uvedená přímo v zadání úloh. Jako obvykle jsem sepsal nápovědy; u úloh s vyšším číslem často vedou do externích zdrojů. Pokud o učební text stojíte, můžete se podívat třeba na sborníkový příspěvek od „Tondy“ Le nebo do tohoto anglického zdroje zahrnujícího i důkaz. Je načase, abyste se naučili číst i texty, které nebyly určeny přímo pro vás. :~] A jak jsem už psal, když budete tuto hodinu ignorovat a místo toho si vyřešíte dalších pár příkladů z předešlých lekcí, nebude mi to vadit. I když definici p-valuací si přečtěte, ta se fakt hodí. No a taky byla zveřejněna 3. sada domácích úloh.

12. hodina, 13. 5. 2020: Řešení diofantických rovnic pomocí racionálních kuželoseček. Na závěrečné hodině prosemináře se můžete podívat na text, který vás naučí, jak obecně řešit homogenní diofantické rovnice druhého stupně, mezi něž patří nejen x^2 + y^2 = z^2, ale i x^2+ny^2 = z^2 pro libovolné n a mnoho dalších důležitých rovnic. Učební text sepisovat nebudu, pěkně je to sepsáno ve Víťově seriálu na stránkách 21–26. (Jde o text psaný pro nadané středoškoláky, takže jsou tam opakovány některé definice, které vám mohou připadat jasné. Ale jinak by pro vás ten text měl být zhruba na té správné úrovni.) Sepsal jsem vám k němu klasickou sadu úloh a k nim i nápovědy. Pokud se vám teď nechce do čtení, ale spíš si chcete řešit příklady, doporučuju se pustit do příkladů z druhé poloviny – o racionálních kuželosečkách. K nim žádnou teorii nepotřebujete a moje nápovědy by měly být dostatečně návodné.

Výhled:

13. hodina, 20. 5. 2020: Hodina na přání. Pokud chcete, aby se ten den ještě něco dělo, napište mi (mailem nebo do Knihy přání & stížností), co byste si přáli. Já už vám plánuju dát volno na práci na závěrečné sadě domácích úkolů. Věřím, že se kdyžtak snadno zabavíte procházením předešlých hodin nebo třeba materiálů od Sáry (na rozdíl ode mě natáčela i videa!).

V prvních sedmi hodinách jsme dokončili to, co bych nazval nezbytnou součástí teorie čísel. Druhá půlka semestru bude těžit z probrané teorie (především 8. a 9. hodina, které jsou zaměřené na řešení diofantických rovnic), případně se zabývat výrazně specifičtějšími záležitostmi – například takzvaným „lifting the exponent lemma“ nebo využitím racionálních kuželoseček při řešení diofantických rovnic. Pokud máte nějaké konkrétní přání, co byste rádi na některé hodině viděli, napište mi. Zatímco u látky prvních sedmi hodin bych si vážně přál, abyste ji uměli, na dalších lekcích už se zdaleka tak podstatné záležitosti probírat nebudou.

Pokud si chcete prolistovat velmi pěkně a stravitelně sepsaný text, jehož obsah se s látkou prosemináře dost shoduje, doporučuju Víťův „seriál“ napsaný pro korespondenční seminář PraSe. O poznání náročnější, ale taky pěkně sepsaný, je seriál Pepy Svobody a Štěpána Šimsy, pokrývající více témat.