24.04.2025

 Пригадаємо означення правильної трикутної піраміди: це піраміда, основою якої є правильний трикутник, а бічні ребра рівні між собою (а отже, проєкція вершини піраміди на площину основи є центром цього правильного трикутника).

Розглянемо правильну трикутну піраміду SABC, де S - вершина, а основа - правильний ⚠️ABC.  Мимобіжними ребрами в цій піраміді є пари ребер, що не лежать в одній площині. Такими парами є: SA і BC, SB і AC, SC і AB. Нам потрібно довести, що кожна з цих пар перпендикулярна.

Розглянемо пару мимобіжних ребер SA і BC. Оскільки основа - ⚠️ABC є правильним трикутником, всі його сторони рівні, тобто AB=BC=CA.

Нехай O - центр ⚠️ABC. Оскільки піраміда правильна, відрізок SO є висотою піраміди, тобто SO⊥(ABC).

Розглянемо медіану AM трикутника ABC. Оскільки трикутник ABC правильний, медіана AM також є висотою і бісектрисою. Отже, AM⊥BC. Оскільки SO⊥(ABC), то SO⊥BC.

Таким чином, пряма BC перпендикулярна до двох прямих AM і SO, що перетинаються в площині SAM. За ознакою перпендикулярності прямої та площини, BC⊥(SAM).

Оскільки пряма SA лежить у площині (SAM), а пряма BC перпендикулярна до цієї площини, то пряма BC перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, зокрема до прямої SA. Отже, SA⊥BC.

Аналогічно можна довести, що SB⊥AC і SC⊥AB.

Таким чином, ми довели, що в правильній трикутній піраміді мимобіжні ребра перпендикулярні.