Scopo del corso `e introdurre lo studio della Meccanica Quantistica (nel caso non relativistico) dal punto di vista della Fisica-Matematica. In una prima parte saranno richiamate e approfondite alcune nozioni di teoria degli operatori in spazi di Hilbert, necessarie per la trattazione matematicamente rigorosa della teoria e per discuterne le applicazioni. Verra` quindi presentata la formulazione as- siomatica della teoria, con qualche cenno ad alcuni aspetti fondazionali, e saranno discusse alcune applicazioni, quali Hamiltoniane con interazioni puntuali rilevanti nella fisica degli atomi ultrafreddi, teoria dello scattering nel caso elastico, descrizione di sistemi di molte particelle in seconda quantizzazione, fenomeni di condensazione di Bose-Einstein. Alcuni argomenti verranno trattati a livello seminariale.
Programma di massima previsto
a) Operatori lineari in spazi di Hilbert
Richiami su operatore limitato e non, operatore aggiunto, simmetrico e autoaggiunto. Criterio di autoaggiuntezza, teorema perturbativo di Kato-Rellich, applicazioni alle Hamiltoniane della particella libera e dell’atomo di idrogeno. Definizione di insieme risolvente, spettro e operatore risolvente. Spettro reale di un operatore autoaggiunto. Operatore isometrico e unitario. Formulazione del teorema spettrale (senza dimostrazione). Gruppi unitari. Classificazione dello spettro.
b) Regole della Meccanica Quantistica
Formulazione assiomatica delle regole. Cenni e commenti ai problemi di interpretazione.
c) Richiami sulla particella libera
Caratterizzazione dello spettro. Calcolo del risolvente, valori al bordo sullo spettro. Gruppo unitario e suo andamento asintotico per tempi grandi.
d) Interazioni puntuali
Costruzione della Hamiltoniana con interazione puntuale in d = 3. Autoaggiuntezza e spettro.
Facoltativo: Hamiltoniana con N interazioni puntuali, studio del problema agli autovalori per N = 2. Generalita’ sull’effetto Efimov per atomi ultrafreddi. Approccio con interazioni puntuali nell’approssimazione di Born-Oppenheimer. Cenno alla dimostrazione dell’effetto Efimov.
e) Teoria dello scattering
Stati asintoticamente liberi. Operatori d’onda e loro propriet`a. Definizione di completezza as- intotica. Operatore di scattering e sue proprieta`. Teorema dello scattering nei coni. Teorema di espansione in autofunzioni (senza dimostrazione). Dimostrazione di completezza asintot- ica e rappresentazione dell’operatore di scattering. Soluzione perturbativa dell’equazione di Lippmann-Schwinger. Approssimazione di Born.
f) Sistemi a molti corpi
Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert. Hamiltoniana di sistemi a molti corpi. Particelle identiche in meccanica quantistica: bosoni e fermioni. Stati misti. Matrici densit`a ridotta. Ensemble statistici in meccanica quantistica (cenni). Seconda quantizzazione: spazio di Fock, operatori creazione e distruzione.
g) Condensazione di Bose-Einstein
Prova di condensazione in un gas bosonico ideale. Condensazione per sistemi interagenti: definizione. Limiti di scala. Condensazione nel limite di campo medio.
h) Teoria di Bogoliubov
Operatori di Weyl, trasformazioni di Bogoliubov. Teoria di Bogoliubov: euristica nel limite termodinamico e derivazione della formula di Lee-Huang-Yang per lo stato fondamentale. Teoria di Bogoliubov rigorosa nel limite di campo medio.
Facoltativo: Derivazione dell’equazione di Hartree per la dinamica in campo medio. Teoria di Bogoliubov nel regime di Gross-Pitaevskii.
i) Alcuni aspetti rilevanti della teoria dal punto di vista fondazionale
Uno o piu` argomenti facoltativi, svolti in forma seminariale, a scelta tra: Articolo di Dirac (1925) e formulazione algebrica della Meccanica Quantistica; limite classico, decoerenza e traiettorie in una camera a nebbia (Mott (1929)); argomento di incompletezza nell’articolo di Einstein, Podolsky e Rosen (1935).
Bibliografia essenziale
Teta, A Mathematical Primer on Quantum Mechanics, Springer 2018
Lecture notes prepared by the teachers on: point interactions, scattering theory, many-body systems, and Bose-Einstein condensation phenomenon.
Letture ulteriori:
Teschl G., Mathematical Methods in Quantum Mechanics, AMS 2009
Hall B.C., Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013
Lieb E.H. and Seiringer R., The Stability of Matter in Quantum Mechanics. Cambridge, 2009.
Seiringer R., Cold Quantum Gases and Bose-Einstein Condensation. Lecture notes from the school ``Quantum Theory from Small to Large Scales'', August 2-27, 2010
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ENGLISH VERSION
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The aim of the course is to introduce the study of quantum mechanics (in the non-relativistic case) from the perspective of mathematical physics. In the first part, we will review and explore in depth some concepts of operator theory in Hilbert spaces, which are necessary for a mathematically rigorous treatment of the theory and for discussing its applications. The axiomatic formulation of the theory will then be presented, with some mention of foundational aspects, and several applications will be discussed, such as Hamiltonians with point interactions relevant to the physics of ultracold atoms, scattering theory in the elastic case, the description of many-particle systems in second quantization, and Bose-Einstein condensation phenomena. Some topics will be discussed in the form of seminar.
Preliminary program
a) Linear Operators in Hilbert Spaces
Review of bounded and unbounded operators, adjoint, symmetric, and self-adjoint operators. Self-adjointness criterion, Kato-Rellich perturbation theorem, applications to the Hamiltonians of the free particle and the hydrogen atom. Definition of a resolvent set, spectrum, and resolvent operator. Real spectrum of a self-adjoint operator. Isometric and unitary operators. Formulation of the spectral theorem (without proof). Unitary groups. Classification of the spectrum.
b) Rules of Quantum Mechanics
Axiomatic formulation of the rules. Overview and comments on interpretation issues.
c) Review of the Free Particle
Characterization of the spectrum. Computationof the resolvent, boundary values on the spectrum. Unitary group and its asymptotic behavior for large times.
d) Point Interactions
Construction of the Hamiltonian with point interaction in d = 3. Self-adjointness and spectrum.
Optional: Hamiltonian with N point interactions; study of the eigenvalue problem for N = 2. Generalities on the Efimov effect for ultracold atoms. Approach using point interactions in the Born–Oppenheimer approximation. Overview of the proof of the Efimov effect.
e) Scattering Theory
Asymptotically free states. Wave operators and their properties. Definition of asymptotic completeness. Scattering operator and its properties. Scattering into cones theorem. Eigenfunction Expansion theorem (without proof). Proof of asymptotic completeness and representation of the scattering operator. Perturbative solution of the Lippmann-Schwinger equation. Born approximation.
f) Many-body systems
Tensor product of Hilbert spaces. Hamiltonian of many-body systems. Identical particles in quantum mechanics: bosons and fermions. Mixed states. Reduced density matrices. Statistical ensembles in quantum mechanics (overview). Second quantization: Fock space, creation and annihilation operators.
g) Bose-Einstein condensation
Condensation in an ideal bosonic gas. Condensation in interacting systems: definition. Scaling limits. Condensation in the mean-field limit.
h) Bogoliubov theory
Weyl operators, Bogoliubov transformations. Bogoliubov theory: heuristics in the thermodynamic limit and derivation of the Lee-Huang-Yang formula for the ground state. Rigorous Bogoliubov theory in the mean-field limit.
Optional: Derivation of the Hartree equation for mean-field dynamics. Bogoliubov theory in the Gross-Pitaevskii regime.
i) Some relevant aspects of the theory from a foundational perspective
One or more optional topics, presented in form of seminars, to be chosen from among:
Dirac’s article (1925) and the algebraic formulation of quantum mechanics;
the classical limit, decoherence, and trajectories in a cloud chamber (Mott, 1929);
the incompleteness argument in the article by Einstein, Podolsky, and Rosen (1935)
Essential Bibliography
Teta, A Mathematical Primer on Quantum Mechanics, Springer 2018
Lecture notes prepared by the teachers on: point interactions, scattering theory, many-body systems, and Bose-Einstein condensation phenomenon.
Further readings:
Teschl G., Mathematical Methods in Quantum Mechanics, AMS 2009
Hall B.C., Quantum Theory for Mathematicians, Springer, 2013
Lieb E.H. and Seiringer R., The Stability of Matter in Quantum Mechanics. Cambridge, 2009.
Seiringer R., Cold Quantum Gases and Bose-Einstein Condensation. Lecture notes from the school ``Quantum Theory from Small to Large Scales'', August 2-27, 2010