Спіраль Фібоначчі – це графічне відображення дивовижної послідовності чисел, яку називають "рядом", або "числами Фібоначчі". Усі ми колись бачили цю відому спіраль Фібоначчі, але чи кожен із нас знає принцип її створення?
Почнемо з самого початку...
1. Що таке послідовність Фібоначчі?
Спіраль Фібоначчі утворюється з послідовності чисел – чисел Фібоначчі:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, ...
Суть такої послідовності полягає в тому, що кожне наступне число - це сума двох попередніх. Наприклад, візьмемо два числа послідовності – 1 і 1. Якщо скласти 1 та 1 - вийде 2, що і є третім числом. Те саме відбувається і з усіма іншими членами послідовності.
2. Як числа Фібоначчі пов'язані із Золотим перетином?
Особливістю чисел Фібоначчі є той факт, що якщо поділити одне число на попереднє, то в результаті ділення вийде число, що приблизно дорівнює 1,6.
Звичайно, ділити 1 на 0 взагалі не можна, а відношення 1:1 ніяк не схоже на 1,6. Тим самим, відношення не будь-якого члена послідовності до попереднього йому коливається близько 1,618, (числа Фі), а лише наближається до нього. Наприклад:
У свою чергу, число 1,618 називають золотим числом. І неспроста - відношення 1:1,618 є всім відомою нам золотою пропорцією (золотого перетину). Саме цей факт наближення чисел до золотого перетину пояснює факт тісного зв'язку послідовності Фібоначчі та золотого перетину.
3. Як будувати спіраль Фібоначчі?
Для наочності числа Фібоначчі можна представити у вигляді квадратів із відповідними сторонами:
Саме з перших двох квадратів починається побудова спіралі...
До двох квадратів зі сторонами 1, що стоять поруч, домальовують наступний у послідовності - зі стороною 2. Відповідно чинять і з квадратом зі стороною 3.
Починаючи з правого нижнього кута першого квадрата, в кожен із квадратів вписується чверть кола.
Не варто плутати також спіраль Фібоначчі із Золотим перетином. І хоча золотий перетин дуже схожий на спіраль Фібоначчі, на відміну від неї, золотий перетин не має ні початку, ні кінця, ніби нескінченно закручуючись у витки меншого розміру. Спіраль Фібоначчі, у свою чергу, має початок і нескінченно розкручується в зовнішньому напрямок.
Цікавий факт:
23 листопада (23.11) - День Фібоначчі (Fibonacci Day). Свято присвячене пам'яті першого великого італійського математика Середньовіччя Леонардо Пізанського, який більше відомий як Фібоначчі. Дата свята відповідає першим числам послідовності Фібоначчі - 1, 1, 2, 3.
Почути числа Фібоначчі
Так-так, вам не почулося. Їх можна почути. По-перше, тому що деякі музичні інструменти створені за принципом “золотого перетину”.
Золота пропорція дуже часто застосовується у конструкції скрипки. Як правило, контури корпусу скрипки складають не менше дванадцяти кривих — вони й створюють її характерні вигини. Центром самої плоскої кривої внизу, як правило, служить точка, що ділить центральну лінію скрипки в золотому перерізі.
Мабуть, найзнаменитіші скрипки — це інструменти роботи Антоніо Страдіварі (1644–1737) із італійського міста Кремона. На кресленнях майстра (рис. 1) видно, що Страдіварі особливо ретельно розраховував геометричне положення так званих ефів — прорізів на передній частині корпусу, — і поміщав в точки, визначені золотим перетином.
Найчастіше «секретом» Страдіварі називають лак, клей, деревину та, звичайно, майстерність виробника. Але деякі фахівці вважають, що скрипки Страдіварі зобов'язані своєю неперевершеною якістю та звучанням саме золотій пропорції. Ніякого особливого «секрету» у скрипок Страдіварі немає: головне точний метаматичний розрахунок і ретельне виготовлення частин інструменту.
У зв'язку з числами Фібоначчі згадують інший музичний інструмент — фортепіано. Октава на клавіатурі фортепіано складається із тринадцяти клавіш, восьми білих та п'яти чорних (рис. 2). Чорні клавіші, у свою чергу, об'єднані у дві групи — дві та три. Так сталося, що числа 2, 3, 5, 8 та 13 — послідовні числа Фібоначчі.
Найбільш широке дослідження проявів золотого перетину в музиці було здійснено мистецтвознавцем Л. Сабанєєвим. Ще в 1925 році він, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що переважну більшість видатних творів можна легко розділити на частини або за темою, або за інтонаційним ладом, або за ладовим строєм, які знаходяться між собою щодо золотого перетину. На його думку, музичний твір ділиться «деякими віхами», які виділяються при сприйнятті музики та полегшують споглядання форми цілого. Всі ці музичні віхи ділять ціле на частини, як правило, згідно із законом золотого перетину. Причому, чим талановитіший композитор, тим більше в його творах знайдено золотих перетинів.
Один із видатних діячів музичної культури Е.К.Розенов вперше застосував закон «золотого перетину» в музиці І.С. Баха. Визначаючи зону золотого перетину, можна переконатися, що вона не на початку, не в середині п'єси, а ближче до кінця (кульмінація твору), тобто у третій чверті цілого.
Найбільш відомі графічні уявлення "золотого перетину" — це прямокутник із співвідношенням сторін приблизно 62:38 або 62% до 38%.
Так от, якщо порахувати в багатьох творах Баха кількість тактів і помножити це число на 0,62, ми отримаємо номер такту, в якому має статися щось особливе. Там прозвучить або унікальна гармонія, або незвичайна мелодійна фраза, яка більше ніде не повторюється. Це при тому, що музика Баха, як і взагалі музика бароко, циклічна. Або це буде найвища нота. Загалом цей такт буде своєрідним центром, серцевиною, “душею” всієї композиції.
І, нарешті, давайте послухаємо як звучать числа Фібоначчі і навіть спіраль Фібоначчі. Слово "бароко", імовірно, походить від португальського "perola barroca" — перлина або морська мушля вигадливої форми. На думку відразу ж спадає щось на зразок черепашки «наутілуса» - природного втілення спіралі Фібоначчі.
У пропонованому відео звучить перлина музики бароко, вигадана великим французьким композитором, сучасником Баха — Жаном-Філіппом Рамо. До того ж, твір виконано на двох інструментах (фортепіано та скрипка), в основі яких, як сказано вище, лежать числа Фібоначчі.
Фібоначчі в біології
Молюск Рапана (Rapana rapiformis)
Молюск ріду Наутилус (Nautilus) з колекції державного музею природи Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна
Раковина молюску ріду Наутилус (Nautilus) у розрізі
Вимерлий морський головоногий молюск підкласу Амоніти (Ammonoidea) з колекції державного музею природи Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна