Embedded Files
“…Бути прекрасним означає бути симетричним і пропорційним…”
Платон
Симетрія на координатній площині
Симетрія - слово грецького походження. Воно, як і слово "гармонія", означає відповідність, наявність певного порядку, закономірності в розташуванні частин.
Розрізняють:
симетрію тіл,
симетрію властивостей,
симетрію відношень.
Симетрія, передусім, геометричне поняття. Однак воно застосовується, також і до негеометричних об'єктів в інших науках - фізиці, хімії, біології; в інших галузях людської діяльності - філософії, естетиці, соціології, мистецтві тощо. Передбачувана природою симетрія знаходить свій відбиток в архітектурі, живопису, фотографії.
Розглядаються різні види симетрії тіл:
Осьова симетрія (симетрія відносно прямої),
Центральна симетрія (симетрія відносно точки),
Дзеркальна симетрія (симетрія відносно площини).
Осьова симетрія (симетрія відносно прямої)
Точки А і А¹ називають симетричними відносно прямої L, якщо пряма L є серединним перпендикуляром відрізка АА¹.
Якщо точка А належить прямій L, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої L.
Симетрія відносно прямої є переміщенням
Фігура F’ симетрична фігурі F відносно прямої L, якщо кожна точка фігури F симетрично відображена у відповідну точку фігури F’ відносно прямої L.
Оскільки при переміщені відрізок переходить у відрізок, для симетричного відображення відрізка відносно прямої достатньо відобразити кінці відрізків симетрично відносно прямої L.
Фігуру називають симетричною відносно прямої L, якщо для кожна точка даної фігури і симетрична їй точка відносно прямої L, також належить цій фігурі.
Приклади фігур, які мають вісь симетрій
(симетричні відносно прямої)
Існують фігури, які мають безліч осей симетрії, наприклад коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є його віссю симетрії.
Безліч осей симетрії має і пряма: сама пряма та будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, є її осями симетрії.
Яскравим прикладом осьової симетрій є вишиванка. Більшість орнаментів створюються саме за цим законом. Завдяки симетричності вишивки, вченим вдалося створити її математичну модель. Для чого це потрібно? Щоб створити програми, які дозволяють вишивальним машинам робити візерунки, близькі до традиційних. Запрограмувавши алгоритм вишивки, машина створює будь – який бажаний малюнок.
Осьова симетрія в архітектурі застосовувалася в проектах культових і палацових ансамблів, організації квартальної забудови міст, плануванні паркових комплексів. При цьому взаємне симетричне розміщення архітектурних обсягів співпідпорядковувалося серединної осі композиції, що проходить у вигляді прямої лінії по центральній частині головних вулиць, транспортних магістралей і парадних алей, які могли служити шляхами просування урочистих процесій.
Можна сказати, що цей прийом є характерним для об’єктів, розташованих на горизонтальній площині і займають значні площі.
Приклади осьової симетрії в архітектурі:
Парковий комплекс у Версалі
Темпьєтто у дворі церкви Сан-П'єтро у Римі (1502 рік, архітектор - Донато Браманте)
Центральна симетрія (симетрія відносно точки)
Точки А і А¹ називають симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка АА¹.
Симетрія відносно точки є переміщенням
При переміщені відрізок переходить в відрізок. Для того щоб відобразити пряму (відрізок) симетрично відносно точки, достатньо відобразити дві точки прямої або відрізка (кінці відрізків) симетрично відносно точки О.
Фігуру називають центрально симетричною, якщо кожна точка даної фігури і симетрична їй точка відносно точки О, також належить цій фігурі.
Геометрична фігура має центральну симетрію щодо певної точки, яка називається центром симетрії, якщо для будь-якої точки фігури існує інша точка, розташована на лінії, що сполучає дану точку з центром, з іншого боку від центра на однаковій відстані.
Прикладом можуть бути центрально-симетричні орнаменти. Скриньки, підноси, тарілки можуть мати площини у формі кола чи овалу. Одним з варіантів їх декору можуть бути центрально-симетричні орнаменти. Основою створення такого орнаменту є центр симетрії, через який може пройти безліч осей симетрії.
Симетрія відносно точки в роботах Мауріца Ешера.
Дзеркальна симетрія
Точки D і D1 називають симетричними відносно площини α, якщо площина α проходить через середину відрізка DD1 і перпендикулярна до нього.
Дзеркальною називається симетрія щодо операції відбиття відносно площини або в планіметрії, лінії.
Дзеркальна симетрія найпоширеніша в архітектурі. Їй підпорядковані і храми античної Греції, амфітеатри, терми.
Дзеркальна симетрія в архітектурі
Гармонія в природі й людському суспільстві була основною темою, яку уособлювала собою дзеркальна симетрія. У I тисячолітті нашої ери були зведені величні культові споруди в Південній Європі, Індії, Китаї, Мезоамериці, де в композиції фасадів використовувалася дзеркальна симетрія:
Храм воїнів в Чичен-Іца
Собор Святої Софії в Константинополі
Індуїстський храм Ранганатхи в Шрирангаме
Велика частина храмів і палаців древніх цивілізацій Єгипту, Месопотамії, античних Греції та Риму побудована за цим принципом, що можна побачити в архітектурній композиції збережених будівель, а також на картинках, які відтворюють зовнішній вигляд безповоротно втрачених пам'яток. Серед них можна виділити:
Храм богині Ізіди на острові Філе
Ворота Іштар
Давньогрецький храм Парфенон на афінському Акрополі
Роль симетрії в розпізнаванні обличчя
Роль симетрії в розпізнаванні обличчя визначається як дуже важлива деталь, що є однією з ключових характеристик, яку використовують люди для ідентифікації та розпізнавання обличчя. Оскільки людські обличчя наділені природною симетрією, їх можна розділити на дві симетричні половини, які виявляють значну схожість.
Деякі системи розпізнавання обличчя, що використовують технології штучного інтелекту, можуть використовувати симетричні особливості для формування унікального "шаблону" обличчя для подальшого порівняння. Це спрощує завдання розпізнавання та автентифікації обличчя в різних ситуаціях, таких як в системах безпеки, відеоспостереженні або розпізнаванні осіб на фотографіях.
Загалом, можна зазначити, що симетрія відіграє важливу роль у визначенні особливостей обличчя та у створенні ефективних систем розпізнавання обличчя, які можуть бути застосовані в різних сферах життя.
Відображення симметрично точок з певними координатами
Симетрія відносно прямої (Осьова симетрія)
Симетрія відносно осі Оx
При симетричному перетворенні відносно осі Оx кожна точка фігури A з координатами (x; y) стане точкою фагури A’ з координатами (x; -y)
Симетрія відносно осі Оy
При симетричному перетворенні відносно осі y кожна точка фігури A з координатами (x; y) стане точкою фігури A’ з координатами (-x; y)
Прикладом даної симетрії є графіки парних функцій. Наприклад, парабола y=x^2:
А також графік функції y=cosx
Осьова симетрія відносно бісектриси координатних осей
При симетричному перетворенні відносно бісектриси координатних осей, яку можна виразити як y = x кожна точка фігури A з координатами (x; y) стане точкою фігури A’ з координатами (- y; - x)
При симетричному перетворенні відносно бісектриси координатних осей, яку можна виразити рівнянням y = - x кожна точка фігури A з координатами (x; y) стане точкою фігури A’ з координатами (- y; - x)
Симетрія відносно точки (центральна симетрія)
Точки A і A′ називаються симетричними відносно точки O, якщо точка O — середина відрізка AA’.
Для знаходження координат точки, симетричній дані або точки симетрії двох точок застосовують формули середини відрізка:
Розглянемо центальну симетрію прямої a , яку задано формулою y = kx + b відносно точки O(xo;yo)
При центральній симетрії пряма переходить в паралельну їй пряму. Отже, образом прямої a буде пряма a1: y = kx + b2,
Оберем точку A(x; y) на прямій a.
Відобразимо точку A(x; y) симетрично відносно точки O(xo;yo) за формулами:
3. Підставимо значення x1 та y1 в рівняння прямої a1 щоб знайти значення b1.
4. Запишемо рівняння прямої a1.
Приклад:
a = 2x + 1; центр симетрії точка O(2; 1)
1. Оберем точку A(1; 3) ∈ a.
2. Відобразимо точку A(x; y) симетрично відносно точки O(xo;yo) за формулами:
Симетрія відносно початку координат як окремий вид центральної симетрії
Якщо за центр симетрії відносно точки взяти початок координат, тобто O(0; 0), то за такої симетрії точка A(x; y) перейде в A’(- x; - y).
Page updated
Google Sites
Report abuse