Симетрія в алгебрі 

Мене зацікавила неординарна симетрія  - це симетрія в алгебраїчних рівняннях. 

Побачивши симетричні рівняння, я задався питанням: чи можна зробити якісь загальні висновки або знайти розв’язки в загальному вигляді? 

Досліджуючи це питання, я знайшов принцип побудови симетричних рівнянь.  Алгебраїчне рівняння n-го степеня називається симетричним, якщо в нього рівні коефіцієнти при x^k і x^(n-k), тобто воно має вигляд:

Для перших трьох степенів рівняння є свої назви. Пригадаємо їх і запишемо ці рівняння із симетрично розташованими коефіцієнтами: 

першого степеня – лінійні  ax+a=0, 

другого – квадратичні  ax^2+bx+a=0,  

третього – кубічні ax^3+bx^2+bx+a=0. 

Симетричні рівняння четвертого степеня мають вигляд ax^4+bx^3+сx^2+bx+a=0. 

Розглянемо рівняння першого, другого, третього та четвертого степенів і проаналізуємо розв’язки в загальному вигляді:

Висновок: 

1. Ми розглянули розв’язання симетричних рівнянь першого, другого, третього та четвертого степенів у загальному вигляді.

2. Рівняння непарного степеня з симетричними коефіцієнтами мають один з коренів -1.

Трикутник Паскаля і біном Ньютона 

як приклади симетрії в алгебрі

Як відомо, алгебра - це точна наука, що працює з числами, змінними, формулами. Симетрія в ній, звісно, має своє місце. Ця наука намагається подати дійсність у математичних моделях. І насправді, тут вже існує формула певної симетрії.

Ви, мабуть, думаєте, що це винахід сучасних обчислювальних пристроїв чи штучного інтелекту. Але цими знаннями володіли (ще з II ст. до н. е.) в древній Індії, згодом в Китаї, Персії та Італії. І, можливо, вони були відкриті раніше.

На перший погляд, здається, що цієї впорядкованості досягнуто механічним шляхом так, як можна, наприклад, симетрично розвісити іграшки на новорічній ялинці.

Але у нашому трикутнику цифри з’являються за певною математичною закономірністю. Кожне із чисел дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел попереднього рядка.

Трикутник Паскаля можна подати так:

Тут числа лівого стовпчика позначають номери рядка (n), числа верхнього рядка - номери стовпчиків (k). Решта чисел (відповідні комбінації) можна позначати через літеру С із вказівкою розташування у таблиці: n - внизу, k - вгорі( Сnk ). Тоді трикутник Паскаля набуде такого вигляду:

І хоч складається враження, що трикутник Паскаля складено принципом пазлів чи мозаїки, насправді це має математичне підґрунтя, що зветься біномом Ньютона.

Біном – це вираз a+b, тобто двочлен.

(a+b)n- біном Ньютона.

Як відомо: (a+b)0 = 1;

                  (a+b)1 = a+b;

 Згадаймо формулу скороченого множення:

                  (a+b)2 = a2 + 2ab + b2;

Можна також використати:

                  (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

Або розписати: (a+b)³= (a+b)2 · (a+b). І результат співпаде.

  Кожен наступний біном Ньютона (де показник степеня збільшується на 1) можна розписувати як добуток результату попереднього рядка на біном (a+b).

Виявляється, біноміальні коефіцієнти Ньютона співпадають із числами у відповідному рядку (n) у трикутнику Паскаля. 

Біноміальні коефіцієнти:

                    для n=1       1  1

                 для n=2        1  2  1

                  для n=3        1  3  3 1   …

Ось така симетрія.

Використаємо запис чисел в трикутнику Паскаля через  Сnk   для біноміальних коефіцієнтів:

Якщо ж суму в правій частині формули подати через знак "Сигма", то одержимо згадану раніше формулу:

Отже, за допомогою формули бінома Ньютона можна одержати розпис для будь-якого показника степеня бінома. Звичайно, трикутник Паскаля і біном Ньютона широко застосовуються не лише в алгебрі, а й в багатьох інших науках та галузях, зокрема в програмуванні (при роботі з матрицями, без яких неможливо уявити штучний інтелект).

Трикутник Паскаля, викладений на шахівниці, дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.

Цей факт підтверджує древність знань про біном Ньютона та їх походження із країн Азії, звідки й прийшли до нас ігри в шашки та шахи. Як згадувалося, трикутник Паскаля зустрічається в роботах математиків давнини. Цікавим є те, що в Ірані цю схему називають трикутником Хаяма, бо її досліджував відомий перський поет, філософ, математик та астроном Омар Хаям.

Окрім цього, шаблон, отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля (мал. 2), при його переході до нескінченності дає трикутник Серпінського (мал.1).

А трикутник Серпінського, як бачимо, має ще більше симетрії, яка наближається до орнаменту. Якщо далі розвинути такі міркування й дослідження, то можливим стане розкриття таємниці такої впорядкованої краси.

Можливо, ця таємниця буде пов’язана з древньою мудрістю людства і це пояснить схожість орнаменту та вишивки в різних народів: українського, індійського, мексиканського та ін.

Звісно, ще багато не розгадано, але біном Ньютона можна вважати формулою симетрії трикутника Паскаля та біноміальних коефіцієнтів, розміщених по прямій. Якщо в алгебрі існує формула певної симетрії, то, можливо, її вдасться знайти і для інших симетрій довкола нас. А це наблизить розкриття загадки створення світу. Або, якщо ні, то краса істини буде залишатись у її недосяжності, за межами можливого.