Симетрія простору й часу та закони збереження

Симетрія у фізиці – це інваріантність законів природи при певних перетвореннях чи операціях. Якщо закони природи залишаються незмінними при зсуві (трансляційна симетрія), обертанні й дзеркальному відображенню (інвертування) величин, то маємо відповідну симетрію.

Інваріант – це величина, об’єкт або процес, що не змінюється при яких-небудь діях або перетвореннях.

З урахуванням цього збереження виду математичної моделі, що описує якийсь об'єкт при перетвореннях координат, вважається математичною інваріантністю, а збереження фізичних параметрів об'єкта – фізичною інваріантністю. 

Розрізняють дискретні й неперервні симетрії.

Дискретна симетрія

Якщо у двох відокремлюваних станах А і В закон природи не відрізняється й перехід між цими станами має кінцеву кількість відокремлюваних інших станів, в кожній з яких система поводить себе так само, як в станах А і В, то закон має дискретну симетрію: 

 x → x + Δx

Наприклад, якщо досліджувати віддзеркалення світла від дзеркала у вигляді 6-променової зірки, то закон відбиття світла буде мати дискретну симетрію. Властивості такої зірки і відповідно відбиття від неї світла, буде повторюватися кожний раз при її обертанні на 60 градусів: 

φ  →  φ  + Δφ , Δφ = 600   

Неперервна симетрія

Якщо перехід системи від стану А в стан В містить необмежену кількість невідокремлених один від одних станів, в яких закон відбувається однаково, то говорять про неперервну симетрію:

Наприклад, відбиття світла від дзеркала круглої форми має неперервну симетрію при обертанні дзеркала на кут, який прямує до нуля. Однак, при застосуванні нескінченно малої величини з математичного аналізу треба бути уважним і враховувати невизначеність квантової механіки при малих значення простору. 

Для кількісного опису руху і взаємодії тіл історично сформувалося уявлення про простір та час. Ці поняття багатогранні.

З боку фізики простір – це та область, де відбуваються фізичні явища. Він використовується для опису розташування об’єктів, їх руху та взаємодії.

Положення точки у фізичному тримірному просторі можна описати за допомоги системи координат. Тобто задають точку відліку і напрямки. Щоб описати точку в даній системі координат, записують проєкцію цієї точки на вибрані напрямки відносно точки відліку. Отже, для точки необхідно знати три її проєкції. 

Час – це друга важлива характеристика для опису континууму. Час використовують для опису послідовності подій і розглядається у фізиці тільки як проміжки між станами або подіями. Якщо події не відбуваються, то проміжок між цими подіями прямує до нескінченності. Для того, щоб задати час, треба задати точку відліку часу і задати напрямок. Напрямок вважається єдиним – від попередньої події до майбутньої. 

Властивостями простору і часу вважається неперервність й однорідність, а також ще ізотропність для простору і безповоротність для часу.

Неперервність простору можна розглядати з позиції математичного аналізу. Якщо при наближенні з будь-якого напрямку до точки простору, так щоб відстань між точкою наближення і точкою, яка досліджується, прямує до нуля, властивості простору співпадають, то простір є неперервним в цієї точці. Так само можна розглядати неперервність часу.

Однорідність простору – тотожність властивостей простору у всіх його точках.

У ньому немає особливих точок, де явища відбуваються по-іншому внаслідок того, що одна точка відрізняється від іншої.

Кожний проміжок часу теж однорідний.

Однорідність часу означає, що всі моменти часу рівнозначні. Якщо у два будь-які моменти часу всі тіла замкнутої системи поставити в абсолютно однакові умови, то, починаючи з цих моментів, всі явища в ній будуть проходити абсолютно однаково.

Так як фізичний простір тривимірний, то в ньому можна задавати різні напрямки.

Ізотропність простору означає тотожність властивостей простору по всім можливим напрямкам.

Уі фізичні закони інваріантні щодо зсуву за часом і простором, також щодо повороту системи координат навколо будь-якої осі в просторі.

Причому такий зсув або обертання може бути скільки завгодно малим. Ці інваріантності відносяться до неперервної симетрії простору і часу.

Крім неперервної симетрії простору, існує інваріантність законів природи при інверсії простору, часу і заряду.

Ці дискретні перетворення називаються:

• Р- (парність);

• С- (заряд);

• Т-перетвореннями (час).

Операція просторової спряженості (Р-перетворення) – це операція зміни знаків усіх координат на протилежні (інверсія). Операція переводить частинку в дзеркальний світ. При спряженості часу змінюється час t на t і при спряженості заряду q на q. Т-перетворення розглядає процес у зворотному часовому напрямку, а С-перетворення переводить частинку в античастинку. Єдина фундаментальна взаємодія, яка асиметрична до цих дискретних перетворень, є слабка ядерна взаємодія. Закони механіки, електромагнітна взаємодія, сильна ядерна взаємодія є симетричні або інваріантні до дискретних С-, Р-, Т-перетворень. 

Зв’язок між симетричністю і законами збереження визначає теорема Емі Ньотер.

У загальному вигляді ця теорема стверджує, що кожна неперервна симетрія динамічної системи відповідає певному закону збереження. Якщо система має неперервну симетрію щодо деякого перетворення (трансляції або обертання), то існує відповідна величина, що зберігається в часі.

Доказ і формулювання теореми Емі Ньотер складні. Доказ відштовхується від принципу найменшої дії. Принципами називають положення, які відбивають настільки загальні закономірності явищ, що з них, як наслідок, можна отримати всі визначальні рівняння. Принцип найменшої дії або принцип Гамільтона відноситься до інтегральних варіаційних принципів.  ньому використовується поняття дії – інтеграл від функції Лагранжа:

де L(t,r,v) - функція Лагранжа, різниця між кінетичною і потенціальною енергією системи. Принцип найменшої дії Гамільтона можна сформулювати так. Дія S для істинного руху матеріальної точки R(t), траєкторія якого в початковий і кінцевий моменти часу проходить через дві певні точки, набуває мінімального значення в порівнянні з будь-якими віртуальними рухами, траєкторії яких у зазначені моменти часу проходять через ті самі дві точки: 

Існує багато версій теореми Ньотер з різним ступенем спільності. Аналоги цієї теореми, природно, поширюються на квантовий випадок, де називаються тотожностями Уорда – Такахаші. Існують також узагальнення теореми Ньотер на суперпросторі. Приведемо найбільш просту інтерпретацію формулювання теореми.

Якщо система має неперервну симетрію, то існують відповідні величини, значення яких зберігаються в часі.

Ця теорема застосовна лише до неперервних і гладких симетрій над фізичним простором.

Теорема Ньотер стверджує, що кожній неперервній симетрії фізичної системи відповідає певний закон збереження.

або однорідності часу відповідає закон збереження енергії: E - const. Повна енергія системи зберігається.

Неперервної обертальної симетрії простору

або ізотропії простору відповідає закон збереження моменту імпульсу: 

сумарний момент імпульсу системи зберігається.

Калібрувальній симетрії відповідає закон збереження електричного заряду:

q - const.

Алгебраїчна сума зарядів електрично замкнутої системи зберігається.

Калібрувальна інваріантність – незмінність прогнозів фізичної польової теорії щодо перетворень поля, що описують перехід між базисами у просторі внутрішніх симетрій цього поля.

Спін є квантовою властивістю елементарних частинок і не має аналогів у класичній фізиці. Але спін все одно порівнюють з магнітним моментом, який має при обертанні заряджена частинка навколо своєї осі. Не вдаючись у квантовомеханічні причини й особливості власного магнітного моменту елементарних частинок, тобто спину, розглянемо його симетрію.

Відомо, що деякі частинки мають нульовий спін, наприклад, бозон Хігса. Спін електронів 1/2, а фотонів і глюонів – 1.

• Спін S = 0 - це точка.

• Спін S = 1 – це система, яка приходить в початковий стан при обертанні на 360°. 

• Спін S = 2 -  при обертанні на 180°.

• Спін S = 1/2 відповідає системі, яка приходить в початковий стан при обертанні на кут 720°. Ілюстрацією такої системи є стрічка Мебіуса. 

Об'єкти зі спінорною симетрією 1/2. Система повторює свій стан при обертанні на 720°.  Спін 1/2 має, наприклад, електрон і позитрон

Ілюстрації обертань, які приходять до початкового стану через кожні 720°, що відповідає спінорній симетрії 1/2 

Закони збереження є наслідками неперервної симетрії простору і часу.

Порожнеча – ідеальне утворення з погляду симетрії.

Однак, якщо ми подивимося навколо, то визначимо, що світ навколо нас не містить порожнечі!

Світ не є однорідним та ізотропним.

Навколо нас є матеріальні об’єкти. Отже, світ неоднорідний і неізотропний. 

Виникає питання. Якщо найбільш симетричною є порожнеча, чому  порожнечі виникають частинки, чому матерія розподілена нерівномірно, а є зорі й планети?

Аристотель казав, що «природа не любить порожнечу».

«У початкові дні все було змішано в природі: зірки, море, земля – все це було одне. Час, однак, настав, і хаос розвіявся безплідний: Небо зійшло над землею, суходол вода облягла, ... », писав Публій Овідій Назон.

Однак, з неперервної симетрії простору і часу Всесвіт повинен бути скоріше порожнім.