Κύκλος Εφαπτομένη Τέμνουσα ( Lines In Circles)
Στην ενότητα Β.1.12. χρειάζεται
να φέρετε:
γνώμονα, διαβήτη, μοιρογνωμόνιο,
μολύβι και σβήστρα.
Θεωρία: σελίδες 190, 191 ΒΙΝΤΕΟ Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου
Εφαρμογές: 1, 2, σελίδα 191
Εφαρμογή: 3, σελίδα 192
Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 4, σελίδα 192
Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο (μόνο τα σχήματα): 5, 6, σελίδα 192
(σελίδα 348) Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου
Επίκεντρη γωνία σε κύκλο (O, ρ)
λέγεται μια γωνία
που έχει κορυφή
το κέντρο Ο του κύκλου (Ο, ρ)
και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο.
Ποιο είναι το μέτρο
μιας επίκεντρης γωνίας φ
που έχει αντίστοιχο τόξο 40ο;
φ=40ο
Πώς λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα άκρα ενός τόξου;
Χορδή.
Πώς λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα άκρα ενός ημικυκλίου;
Διάμετρος.
Σε πόσα ημικύκλια χωρίζεται
ένας κύκλος από μία διάμετρο;
2
Σε πόσα τεταρτοκύκλια
χωρίζεται ένας κύκλος
από δύο κάθετες διαμέτρους;
4
Ο κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα από δύο κάθετες διαμέτρους.
Και τα τέσσερα αυτά τα τόξα έχουν μέτρο 90° και ονομάζονται τεταρτοκύκλια.
Πόσες μοίρες είναι μια επίκεντρη
γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο;
180ο
Πόσες μοίρες είναι ένας κύκλος;
360ο
Πόσες μοίρες είναι μια επίκεντρη
γωνία που βαίνει σε τεταρτοκύκλιο;
90ο
Πώς ονομάζεται ένα τόξο 180ο;
Ημικύκλιο.
Πώς ονομάζεται ένα τόξο 90ο;
Τεταρτοκύκλιο.
Δύο τόξα ΚΛ και ΛΜ σε έναν κύκλο
λέγονται διαδοχικά
όταν έχουν ένα κοινό άκρο (το Λ)
και κανένα άλλο κοινό σημείο.
Τρία τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ σε έναν κύκλο
λέγονται διαδοχικά όταν
το τόξο ΑΒ είναι διαδοχικό
με το τόξο ΒΓ (κοινό άκρο Β)
και
το τόξο ΒΓ είναι διαδοχικό
με το τόξο ΓΔ (κοινό άκρο Γ)
και επίσης πρέπει
το τόξο ΑΒ με το τόξο ΓΔ
να μην έχουν κοινά σημεία.
Πόσα το πολύ σημεία μπορούν να υπάρχουν στην ονομασία ενός τόξου;
Τρία.
Μια επίκεντρη γωνία 360ο
έχει αντίστοιχο τόξο
έναν . . . (κύκλο)
Μια επίκεντρη γωνία 180ο
έχει αντίστοιχο τόξο
ένα . . . (ημικύκλιο)
Μια επίκεντρη γωνία ψ
έχει μέτρο 80ο.
Έστω δ η κατακορυφήν γωνία της ψ.
Πόσες μοίρες είναι το μέτρο της δ;
δ = ψ ως κατακορυφήν
και αφού ψ=80ο
άρα και δ = 80ο
Μια επίκεντρη γωνία ω
έχει μέτρο 80ο.
Πόσες μοίρες είναι το μέτρο
της γωνίας θ
που είναι συμπληρωματική της ω;
θ=
90ο-ω=
90ο-80ο=
10ο
Μια επίκεντρη γωνία α
έχει μέτρο 80ο.
Έστω λ
η παραπληρωματική γωνία της α.
Πόσες μοίρες είναι το μέτρο της λ;
λ=
180ο-α=
180ο-80ο=
100ο
Μια επίκεντρη γωνία φ
χωρίζεται από τη διχοτόμο της
σε δύο γωνίες
με μέτρο 80ο η κάθε μία.
Πόσες μοίρες είναι το μέτρο της επίκεντρης γωνίας φ;
φ=
2·80ο=
160ο
Τι σημεία είναι
τα άκρα ενός ημικυκλίου
στον κύκλο
που βρίσκεται το ημικύκλιο;
Αντιδιαμετρικά σημεία.
Δύο διάμετροι ενός κύκλου σχηματίζουν επίκεντρη γωνία 80ο.
Να γίνει το σχήμα.
Δύο διάμετροι ενός κύκλου σχηματίζουν επίκεντρη γωνία 140ο.
Να γίνει το σχήμα.
Να σχεδιάσετε ένα ημικύκλιο.
Πώς ξεχωρίζω ένα τόξο ΑΒ
από ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ
στην εκφώνηση μιας άσκησης.
Με το σύμβολο που υπάρχει
πάνω από το τόξο.
Τι κοινό έχει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ
με το τόξο ΑΒ;
Και τα δύο έχουν άκρα
τα σημεία Α και Β.
36 διάμετροι χωρίζουν έναν κύκλο σε 72 ίσα τόξα. Πόσων μοιρών είναι καθεμιά από τις 72 ίσες επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά;
360ο:72=
5ο
Έστω 3 διαδοχικά τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ
σε κύκλο (Ο, ΟΑ).
Το τόξο ΑΒ έχει μέτρο 80ο.
Το τόξο ΒΓ έχει μέτρο 40ο.
Το τόξο ΓΔ έχει μέτρο 60ο.
Να γίνει το σχήμα.
Να μπορείτε να σχεδιάζετε
τα παρακάτω τρίγωνα.
1)
Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο
με πλευρές που έχουν μήκη
300 και 400 και 500.
2)
Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο
που έχει κάθετες πλευρές
ίσες με 600 και 800.
3)
Να σχεδιάσετε ισοσκελές τρίγωνο
με μήκη πλευρών 100 και 100 και 120.
4)
Να σχεδιάσετε σκαληνό τρίγωνο ΔΕΖ
με πλευρές δ=10 και ζ=15
που έχουν περιεχόμενη γωνία Ε=50ο.
5)
Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο
στο οποίο
η μία πλευρά έχει μήκος 100
και οι προσκείμενες γωνίες
στην πλευρά αυτή
έχουν μέτρα 30ο και 130ο.
6)
Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΔΛΣ
με πλευρές δ=20 και λ=40
και περιεχόμενη γωνία Σ=60ο.
7)
Να σχεδιάσετε αμβλυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ΔΕΖ
με πλευρές δ=80 και ζ=60
που έχουν περιεχόμενη γωνία Ε=120ο.
8)
Να σχεδιάσετε τρίγωνο
με μήκη πλευρών 800 και 500 και 600.
Θα σχεδιάσω ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών 5cm, 6cm και 8 cm.
Δηλαδή θα διαιρέσω με τον ίδιο αριθμό, δηλαδή το 100
και τα 3 μήκη των πλευρών της άσκησης
και θα σχεδιάσω σε εκατοστά την κάθε πλευρά.
Σχεδιάζω πρώτα την πλευρά ΚΛ=8cm.
Με κέντρο το Κ και ακτίνα 5 cm σχεδιάζω έναν κύκλο.
Με κέντρο το Λ και ακτίνα 6 cm σχεδιάζω έναν κύκλο.
Το ένα από τα δύο σημεία που τέμνονται οι δύο κύκλοι το ονομάζω Μ.
Σχεδιάζω τις πλευρές ΚΜ και ΛΜ.
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 1:00
360ο : 12=
30ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 2:00
360ο : 12=
30ο
και
2 · 30ο =
60ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 3:00
360ο : 12=
30ο
και
3 · 30ο =
90ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 4:00
360ο : 12=
30ο
και
4 · 30ο =
120ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 5:00
360ο : 12=
30ο
και
5 · 30ο =
150ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 7:00
360ο : 12=
30ο
και
12 - 7 =
5
και
5 · 30ο =
150ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 8:00
360ο : 12=
30ο
και
12 - 8=
4
και
4 · 30ο =
120ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 9:00
360ο : 12=
30ο
και
12 - 9=
3
και
3 · 30ο =
90ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 10:00
360ο : 12=
30ο
και
12 - 10=
2
και
2 · 30ο =
60ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 3:30
360ο : 12=
30ο
και
3 · 30ο =
90ο
Όμως ο ωροδείκτης έχει κάνει τη μισή διαδρομή
από το 3 ως το 4.
30ο : 2=
15ο
Αφαιρώ τις 15ο από τις 90ο.
90ο - 15ο =
75ο
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 3:15
Ο λεπτοδείκτης είναι στο 3.
Όμως ο ωροδείκτης έχει κάνει το ένα τέταρτο της διαδρομής από το 3 στο 4.
360ο : 12=
30ο
και
30ο : 4 =
7,5ο
Απορία:
Πώς ξεχωρίζω ένα τόξο από ένα διαδοχικό τόξο;
Δε γίνεται να έχω ένα διαδοχικό τόξο.
Γίνεται να έχω ένα τόξο.
Γίνεται να έχω 2 διαδοχικά τόξα.
Δύο τόξα σε έναν κύκλο
λέγονται διαδοχικά
όταν έχουν ένα κοινό άκρο
και κανένα άλλο κοινό σημείο.
Γίνεται να έχω 2 τόξα που να μην είναι διαδοχικά.
Γίνεται να έχω 3 διαδοχικά τόξα.
Γίνεται να έχω 3 τόξα που να μην είναι διαδοχικά.
A central angle is an angle whose apex (vertex) is the center of a circle and
whose sides are intersecting the circle.
Ταξινόμηση κατά ομάδα ΠΑΙΧΝΙΔΙ
Καθήκοντα
1η ώρα
Καθήκοντα
2η ώρα
Καθήκοντα
3η ώρα
Να σχεδιάσετε
επίκεντρη γωνία 30 μοιρών
σε κύκλο (Β, ΑΒ).
Να σχεδιάσετε
επίκεντρη γωνία 284 μοιρών
σε κύκλο (Ι, 4cm).
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 4:30
Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση;
1)
2)
Κυρτή γωνία λεπτοδείκτη και ωροδείκτη στις 3:15
Ο λεπτοδείκτης είναι στο 3.
Όμως ο ωροδείκτης έχει κάνει το ένα τέταρτο της διαδρομής από το 3 στο 4.
360ο : 12=
30ο
και
30ο : 4 =
7,5ο