Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα

Διαιρέτες (Divisors Factors)

Διαίρεση Ακέραιων. Dividing Integers

Ενότητα Α.1.4.

 
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α1

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α2

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α3

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

Ασκήσεις: 1, 2, 4, 5

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου

14,16:2=
7,08

6,8+7,36=
14,16

(σχεδόν κανείς δεν βρήκε και τις δύο πράξεις)

Ποια διαίρεση λέγεται

Ευκλείδεια Διαίρεση;

Μια διαίρεση Δ:δ

δύο φυσικών αριθμών όπου

με Δ συμβολίζεται ο διαιρετέος

και με δ συμβολίζεται ο διαιρέτης 

και έχει πηλίκο που συμβολίζεται με π

και υπόλοιπο που συμβολίζεται με υ.

Το π και το υ είναι φυσικοί αριθμοί.

Σε μια Ευκλείδεια Διαίρεση

το υπόλοιπο είναι 

μεγαλύτερο ή ίσο με το 0

και μικρότερο του διαιρέτη.

Δε θα μπορούσε για παράδειγμα

το υπόλοιπο να ήταν

ίσο με το διαιρέτη 

γιατί τότε θα χωρούσε 

ο διαιρέτης μια παραπάνω φορά 

στο διαιρετέο.

Ποια ισότητα περιέχει τα Δ, δ, π, υ;

Δ=δ·π+υ

Ποια ισότητα είναι

η επαλήθευση (δοκιμή) της

Ευκλείδειας Διαίρεσης;

Δ=δ·π+υ

Σε μια Ευκλείδεια Διαίρεση

ο Δ είναι ίσος με

το γινόμενο του δ με το π

αυξημένο κατά υ.

Ποιος περιορισμός υπάρχει

για τον διαιρέτη σε μία διαίρεση;

Ο διαιρέτης δε γίνεται να είναι 0.

Δε γίνεται να διαιρέσω με 0.

Για παράδειγμα:

Έχω 5 τετράδια 

και θέλω να τα μοιράσω εξίσου 

σε 0 μαθητές.

Πόσα από τα 5 τετράδια θα πάρει 

ο καθένας από τους 0 μαθητές;

Τι ισχύει μεταξύ

του υπολοίπου και του διαιρέτη

σε μία Ευκλείδεια Διαίρεση;

υ<δ

Τι ισχύει μεταξύ

του πηλίκου και του διαιρέτη

σε μία Ευκλείδεια Διαίρεση;

Τίποτα (δεν υπάρχει περιορισμός).

Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός, ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:3;

0 ή 1 ή 2.

Οι τιμές του υπολοίπου όταν

ο διαιρέτης είναι το 3

ανήκουν στο σύνολο {0, 1, 2}

Τέλειες Διαιρέσεις 

Να υπολογίσετε τα παρακάτω πηλίκα (και να γράφετε αναλυτικά τις διαιρέσεις):

53.672:8 =6.709

4.782.969:3=1.594.323

12:6=+2

24:6=4

850.875:25=34.035

33.124:52=637

Να δώσετε ένα παράδειγμα 

τέλειας διαίρεσης.

Η διαίρεση 10:5 είναι τέλεια

γιατί το υπόλοιπο είναι 0.

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=10

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=5

Να δώσετε ένα παράδειγμα 

ατελούς διαίρεσης.

Η διαίρεση 9:5 είναι ατελής

γιατί το υπόλοιπο είναι 

μεγαλύτερο από το 0.

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=4

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=9

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=5

Με ποια πράξη κάνουμε 

επαλήθευση (δοκιμή)

για το ότι η διαίρεση Δ:δ=π

6:3=
2

έγινε σωστά;

Δ=6

δ=3

π=2

Επαλήθευση γίνεται 

κάνοντας τον πολλαπλασιασμό

δ·π και αν το γινόμενο

είναι ίσο με Δ

τότε είναι σωστό το πηλίκο

της διαίρεσης που βρήκαμε. 

δ·π=Δ

2·3=6

6=6 ισχύει

Άρα έγινε σωστά η διαίρεση.

Στην διαίρεση 

6:3=
2

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=6

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3

Στην διαίρεση 14:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=3

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=2

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=14

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Το 4 χωράει στο 7 μία φορά

και περισσεύουν 3.

Ποιο είναι το πηλίκο; 1

Ποιο είναι το υπόλοιπο; 3

Ποιος είναι ο διαιρετέος; 7

Ποιος είναι ο διαιρέτης; 4

Στην διαίρεση 8:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=8

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Στην διαίρεση 4.869:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.217

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=1

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.869

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Στην διαίρεση 4.859:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.214

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=3

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.859

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Στην διαίρεση 4.863:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.215

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=3

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.863

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Στην διαίρεση 4.853:4

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.213

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=1

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.853

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4

Στην διαίρεση 0:3

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=0

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=0

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3​

Με ποια πράξη κάνουμε 

επαλήθευση (δοκιμή)

για το ότι η διαίρεση

7:3 μας κάνει 2 και περισσεύει 1

έγινε σωστά;

Αν δ·π+υ είναι ίσο με Δ

τότε επαληθεύεται

η Ευκλείδεια Διαίρεση.

Δ=7

δ=3

π=2

υ=1

Δ=δ·π+υ

7=3·2+1 

7=6+1

7=7 ισχύει

Άρα έγινε σωστά η διαίρεση.

Να βρείτε ποιο είναι το πηλίκο (π),

ποιος είναι ο διαιρέτης (δ),

ποιος είναι ο διαιρετέος (Δ)

και ποιο είναι το υπόλοιπο (υ)

στην Ευκλείδεια Διαίρεση

132:7

Δ=132

δ=7

π=18

υ=6

Θέλουμε να τοποθετήσουμε 

17.304 βίδες σε 56 κουτιά

έτσι ώστε όλα τα κουτιά

να έχουν ίδιο αριθμό από βίδες.

Πόσες βίδες θα έχει το κάθε κουτί;

Πόσες βίδες θα περισσέψουν;

Η Ευκλείδεια Διαίρεση 17.304:56

δίνει πηλίκο 309 και

υπόλοιπο 0.

Άρα

309 βίδες θα έχει το κάθε κουτί

και δε θα περισσέψουν βίδες.

Έχω 2 τετράδια και

θέλω να δώσω 

τον ίδιο αριθμό τετραδίων 

σε 3 μαθητές.

Μπορώ να δώσω μόνο 

ολόκληρα τετράδια 

και όχι να τα κόψω.

Πόσα τετράδια 

θα πάρει ο καθένας 

από τους 3 μαθητές;

0 τετράδια.

Πόσα θα μου περισσέψουν;

2 τετράδια.

Με άλλα λόγια:

Στην διαίρεση 2:3

α) ποιο είναι το πηλίκο; π=0

β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=2

γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=2

δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3

Κάποιος πρέπει να αγοράσει 

όσο γίνεται περισσότερα αυγά

αλλά όχι πάνω από 16.

Τα αυγά πωλούνται σε εξάδες.

Πόσες εξάδες θα πάρει;

Δε θα πάρει τρεις εξάδες γιατί

3·6=
18

και 18>16.

Θα πάρει

δύο εξάδες γιατί

2·6=

12

και το 12 δεν είναι πάνω από 16.

Κάποιος πρέπει να αγοράσει 

16 αυγά παίρνοντας

όσο γίνεται  λιγότερα αυγά.

Τα αυγά πωλούνται σε εξάδες.

Πόσες εξάδες θα πάρει;

Δε θα πάρει δύο εξάδες γιατί

2·6=
12

και 12<16.

Θα πάρει

τρεις εξάδες γιατί

3·6=

18

και το 18 είναι ο μικρότερος αριθμός

αυγών που είναι αναγκασμένος

να αγοράσει,

έτσι ώστε να έχει τα 16 αυγά που χρειάζεται.

Ποιοι φυσικοί αριθμοί αν διαιρεθούν με το 4 δίνουν πηλίκο 44;

Διαιρούμε με διαιρέτη το 4.

Το υπόλοιπο πρέπει να είναι 

μεγαλύτερο ή ίσο από το μηδέν 

και 

μικρότερο από τον διαιρέτη 

άρα 

το υπόλοιπο μπορεί να είναι 

0 ή 1 ή 2 ή 3.

Δ=δ·π+υ

Άρα

Δ=
4·44+0=
176+0=
176

ή

Δ=
4·44+1=
176+1=
177

ή

Δ=
4·44+2=
176+2=
178

ή

Δ=
4·44+3=
176+3=
179

Άρα οι φυσικοί αριθμοί

176, 177, 178, 179

αν διαιρεθούν με το 4

δίνουν πηλίκο 44

(και υπόλοιπα 0, 1, 2, 3 

αντίστοιχα).

Διαίρεση ακέραιων αριθμών

-20:(-4)=

+5

-56:(-8)=

+7

12:(-6)=

-2

-24:6=

-4

Για οποιονδήποτε αριθμό α 

ισχύει ότι

α:1=
α

Για οποιονδήποτε

μη μηδενικό αριθμό α 

ισχύει ότι

0:α=

0

Select 3 cards. Make the target number. + - * :

Για οποιονδήποτε

μη μηδενικό αριθμό α 

ισχύει ότι

α2:α=

α

Καθήκοντα

1η ώρα 

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α1

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1

Καθήκοντα

2η ώρα 

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α2

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α3

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3

Καθήκοντα

3η ώρα 

Να υπολογίσετε τους π, υ 

στην Ευκλείδεια Διαίρεση 

3:5   (Δ=3, δ=5).

Να κάνετε μια άριστη επαλήθευση για το ότι η διαίρεση

19:5 μας κάνει 3 και περισσεύουν 4. 

Η επαλήθευση να ξεκινήσει    με την ταυτότητα της ευκλείδειας  διαίρεσης  

Δ= δ·π+υ όπου       

Δ=19

δ=5

π=3

υ=4

Δ=δ·π+υ

και να καταλήγει σε μια ισότητα 

με νούμερα 

που ισχύει.

π.χ. 19=19

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση;

9,99:9,9=1,0090909090909

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να κάνει 11 συνεχόμενες διαιρέσεις με το 5 από το 3.200;

3.200:5=640->2

640:5=128->4

=25,6->6

=5,12->8

=1,024->10

=0,2048->12

=0,04096->14

=0,008192->16

0,0016384->18

0,00032768->20

0,000065536->20'