Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα
Playlist 1. Divisors. Factors.
Ενότητα Α.1.4.
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α1
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α2
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α3
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α3
Ασκήσεις: 1, 2, 4, 5
Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου
14,16:2=
7,08
6,8+7,36=
14,16
(σχεδον κανείς δεν το βρήκε)
Ποια διαίρεση λέγεται
Ευκλείδεια Διαίρεση;
Μια διαίρεση Δ:δ
δύο φυσικών αριθμών όπου
με Δ συμβολίζεται ο διαιρετέος
και με δ συμβολίζεται ο διαιρέτης
και έχει πηλίκο που συμβολίζεται με π
και υπόλοιπο που συμβολίζεται με υ.
Το π και το υ είναι φυσικοί αριθμοί.
Σε μια Ευκλείδεια Διαίρεση
το υπόλοιπο είναι
μεγαλύτερο ή ίσο με το 0
και μικρότερο του διαιρέτη.
Δε θα μπορούσε για παράδειγμα
το υπόλοιπο να ήταν
ίσο με το διαιρέτη
γιατί τότε θα χωρούσε
ο διαιρέτης μια παραπάνω φορά
στο διαιρετέο.
Ποια ισότητα περιέχει τα Δ, δ, π, υ;
Δ=δ·π+υ
Ποια ισότητα είναι
η επαλήθευση (δοκιμή) της
Ευκλείδειας Διαίρεσης;
Δ=δ·π+υ
Σε μια Ευκλείδεια Διαίρεση
ο Δ είναι ίσος με
το γινόμενο του δ με το π
αυξημένο κατά υ.
Ποιος περιορισμός υπάρχει
για τον διαιρέτη σε μία διαίρεση;
Ο διαιρέτης δε γίνεται να είναι 0.
Δε γίνεται να διαιρέσω με 0.
Για παράδειγμα:
Έχω 5 τετράδια
και θέλω να τα μοιράσω εξίσου
σε 0 μαθητές.
Πόσα από τα 5 τετράδια θα πάρει
ο καθένας από τους 0 μαθητές;
Τι ισχύει μεταξύ
του υπολοίπου και του διαιρέτη
σε μία Ευκλείδεια Διαίρεση;
υ<δ
Τι ισχύει μεταξύ
του πηλίκου και του διαιρέτη
σε μία Ευκλείδεια Διαίρεση;
Τίποτα (δεν υπάρχει περιορισμός).
Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός, ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:3;
0 ή 1 ή 2.
Οι τιμές του υπολοίπου όταν
ο διαιρέτης είναι το 3
ανήκουν στο σύνολο {0, 1, 2}
Τέλειες Διαιρέσεις
Να υπολογίσετε τα παρακάτω πηλίκα (και να γράφετε αναλυτικά τις διαιρέσεις):
53.672:8 =6.709
4.782.969:3=1.594.323
12:6=+2
24:6=4
850.875:25=34.035
33.124:52=637
Να δώσετε ένα παράδειγμα
τέλειας διαίρεσης.
Η διαίρεση 10:5 είναι τέλεια
γιατί το υπόλοιπο είναι 0.
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=10
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=5
Να δώσετε ένα παράδειγμα
ατελούς διαίρεσης.
Η διαίρεση 9:5 είναι ατελής
γιατί το υπόλοιπο είναι
μεγαλύτερο από το 0.
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=4
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=9
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=5
Με ποια πράξη κάνουμε
επαλήθευση (δοκιμή)
για το ότι η διαίρεση Δ:δ=π
6:3=
2
έγινε σωστά;
Δ=6
δ=3
π=2
Επαλήθευση γίνεται
κάνοντας τον πολλαπλασιασμό
δ·π και αν το γινόμενο
είναι ίσο με Δ
τότε είναι σωστό το πηλίκο
της διαίρεσης που βρήκαμε.
δ·π=Δ
2·3=6
6=6 ισχύει
Άρα έγινε σωστά η διαίρεση.
Στην διαίρεση
6:3=
2
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=6
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3
Στην διαίρεση 14:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=3
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=2
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=14
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Το 4 χωράει στο 7 μία φορά
και περισσεύουν 3.
Ποιο είναι το πηλίκο; 1
Ποιο είναι το υπόλοιπο; 3
Ποιος είναι ο διαιρετέος; 7
Ποιος είναι ο διαιρέτης; 4
Στην διαίρεση 8:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=2
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=8
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Στην διαίρεση 4.869:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.217
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=1
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.869
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Στην διαίρεση 4.859:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.214
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=3
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.859
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Στην διαίρεση 4.863:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.215
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=3
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.863
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Στην διαίρεση 4.853:4
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=1.213
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=1
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=4.853
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=4
Στην διαίρεση 0:3
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=0
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=0
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=0
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3
Με ποια πράξη κάνουμε
επαλήθευση (δοκιμή)
για το ότι η διαίρεση
7:3 μας κάνει 2 και περισσεύει 1
έγινε σωστά;
Αν δ·π+υ είναι ίσο με Δ
τότε επαληθεύεται
η Ευκλείδεια Διαίρεση.
Δ=7
δ=3
π=2
υ=1
Δ=δ·π+υ
7=3·2+1
7=6+1
7=7 ισχύει
Άρα έγινε σωστά η διαίρεση.
Να βρείτε ποιο είναι το πηλίκο (π),
ποιος είναι ο διαιρέτης (δ),
ποιος είναι ο διαιρετέος (Δ)
και ποιο είναι το υπόλοιπο (υ)
στην Ευκλείδεια Διαίρεση
132:7
Δ=132
δ=7
π=18
υ=6
Θέλουμε να τοποθετήσουμε
17.304 βίδες σε 56 κουτιά
έτσι ώστε όλα τα κουτιά
να έχουν ίδιο αριθμό από βίδες.
Πόσες βίδες θα έχει το κάθε κουτί;
Πόσες βίδες θα περισσέψουν;
Η Ευκλείδεια Διαίρεση 17.304:56
δίνει πηλίκο 309 και
υπόλοιπο 0.
Άρα
309 βίδες θα έχει το κάθε κουτί
και δε θα περισσέψουν βίδες.
Έχω 2 τετράδια και
θέλω να δώσω
τον ίδιο αριθμό τετραδίων
σε 3 μαθητές.
Μπορώ να δώσω μόνο
ολόκληρα τετράδια
και όχι να τα κόψω.
Πόσα τετράδια
θα πάρει ο καθένας
από τους 3 μαθητές;
0 τετράδια.
Πόσα θα μου περισσέψουν;
2 τετράδια.
Με άλλα λόγια:
Στην διαίρεση 2:3
α) ποιο είναι το πηλίκο; π=0
β) ποιο είναι το υπόλοιπο; υ=2
γ) ποιος είναι ο διαιρετέος; Δ=2
δ) ποιος είναι ο διαιρέτης; δ=3
Κάποιος πρέπει να αγοράσει
όσο γίνεται περισσότερα αυγά
αλλά όχι πάνω από 16.
Τα αυγά πωλούνται σε εξάδες.
Πόσες εξάδες θα πάρει;
Δε θα πάρει τρεις εξάδες γιατί
3·6=
18
και 18>16.
Θα πάρει
δύο εξάδες γιατί
2·6=
12
και το 12 δεν είναι πάνω από 16.
Κάποιος πρέπει να αγοράσει
16 αυγά παίρνοντας
όσο γίνεται λιγότερα αυγά.
Τα αυγά πωλούνται σε εξάδες.
Πόσες εξάδες θα πάρει;
Δε θα πάρει δύο εξάδες γιατί
2·6=
12
και 12<16.
Θα πάρει
τρεις εξάδες γιατί
3·6=
18
και το 18 είναι ο μικρότερος αριθμός
αυγών που είναι αναγκασμένος
να αγοράσει,
έτσι ώστε να έχει τα 16 αυγά που χρειάζεται.
Ποιοι φυσικοί αριθμοί αν διαιρεθούν με το 4 δίνουν πηλίκο 44;
Διαιρούμε με διαιρέτη το 4.
Το υπόλοιπο πρέπει να είναι
μεγαλύτερο ή ίσο από το μηδέν
και
μικρότερο από τον διαιρέτη
άρα
το υπόλοιπο μπορεί να είναι
0 ή 1 ή 2 ή 3.
Δ=δ·π+υ
Άρα
Δ=
4·44+0=
176+0=
176
ή
Δ=
4·44+1=
176+1=
177
ή
Δ=
4·44+2=
176+2=
178
ή
Δ=
4·44+3=
176+3=
179
Άρα οι φυσικοί αριθμοί
176, 177, 178, 179
αν διαιρεθούν με το 4
δίνουν πηλίκο 44
(και υπόλοιπα 0, 1, 2, 3
αντίστοιχα).
Διαίρεση ακέραιων αριθμών
-20:(-4)=
+5
-56:(-8)=
+7
12:(-6)=
-2
-24:6=
-4
Για οποιονδήποτε αριθμό α
ισχύει ότι
α:1=
α
Για οποιονδήποτε
μη μηδενικό αριθμό α
ισχύει ότι
0:α=
0
Select 3 cards. Make the target number. + - * :
Για οποιονδήποτε
μη μηδενικό αριθμό α
ισχύει ότι
α2:α=
α
Καθήκοντα
1η ώρα
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α1
Καθήκοντα
2η ώρα
Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα ΘΕΜΑΤΑ Α2
Καθήκοντα
3η ώρα
Να υπολογίσετε τους π, υ
στην Ευκλείδεια Διαίρεση
3:5 (Δ=3, δ=5).
Να κάνετε μια άριστη επαλήθευση για το ότι η διαίρεση
19:5 μας κάνει 3 και περισσεύουν 4.
Η επαλήθευση να ξεκινήσει με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης
Δ= δ·π+υ όπου
Δ=19
δ=5
π=3
υ=4
Δ=δ·π+υ
και να καταλήγει σε μια ισότητα
με νούμερα
που ισχύει.
π.χ. 19=19