Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

Ενότητα Β.1.1.

Σημείο (Points )

Σημείο Τομής (Points Of Intersection )

Ευθύγραμμο τμήμα (Line Segments )

ευθείες, Lines. 

Διαστάσεις Dimensions

ημιευθείες ( Rays )

Σημεία, ευθείες, ημιευθείες, επίπεδα. Points. Lines. Rays. Line segments. Planes.

Επίπεδα (Planes)

Playlist 1. Points. Lines. Rays. Line segments. Planes.Σημεία, ευθείες, ημιευθείες, επίπεδα.

Playlist 2. Coordinates (προαιρετικά)

 
B.1.1. Θέματα τεστ.(1)

B.1.1. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(1)

B.1.1. Θέματα τεστ.(2)

B.1.1. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(2)

Στην ενότητα Β.1.1. χρειάζεται

να φέρετε χάρακα.

Σε ποια ενότητα είμαστε;

Βήτα τελεία ένα τελεία ένα τελεία

Θεωρία: σελίδες 148, 149, 150

Εφαρμογές: 1, 2, 3 σελίδα 151

Δραστηριότητα 1 σελίδα 152

Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 1, 2, 3, 4,  σελίδα 152

(Για την άσκηση 2 μπορείτε να ονομάσετε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ, το πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ, το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ.)

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Λύσεις Σχολικού Βιβλίου (Σελίδα 273)

Οι πρωταρχικές έννοιες

δεν προσδιορίζονται

μέσα στη Γεωμετρική θεωρία.

Ποιες είναι

οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου;

Το σημείο,

η ευθεία

και το επίπεδο.

Σημείο

Η άκρη του μολυβιού μας, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου.

Το σημείο το σχεδιάζουμε στον πίνακα με μια τελεία.

Πολλές φορές στη Γεωμετρία 

θα δείτε να υπάρχουν σημεία 

χωρίς να υπάρχουν τελείες

αλλά θα εννοείται η θέση του σημείου.

π.χ.

Α _______ Β

Το σημείο όμως όπως ορίζεται στην Ευκλείδεια Γεώμετρια έχει 0 διαστάσεις και άρα είναι αόρατο.

Το σημείο δεν έχει διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος), άρα έχει 0 διαστάσεις. 

Στα γήπεδα ποδοσφαίρου υπάρχει δύο μεγάλες τελείες που ονομάζονται σημεία του πέναλτι.

Τρόποι συμβολισμού σημείου:

ένα κεφαλαίο γράμμα π.χ. Α.

ένα κεφαλαίο γράμμα με τόνο: π.χ. Β´

ένα κεφαλαίο γράμμα και ένα αριθμός δείκτης: π.χ. Α1

Να σχεδιάσετε

3 μη συνευθειακά σημεία.

Κ ·

Λ ·    Μ·

Να σχεδιάσετε 4 σημεία 

που ανά 3

να μην είναι συνευθειακά σημεία.

Κ ·

  Λ ·   · Τ

·  Ρ

Να σχεδιάσετε

με μια μεγάλη τελεία

ένα σημείο Α

και με μια μικρή τελεία

ένα σημείο Β.

Ποιο από τα δύο σημεία Α και Β

είναι μεγαλύτερο;

Α •             B .

Κάθε σημείο θεωρείται 

ως ένα ευθύγραμμο τμήμα 

με μήκος 0.

Δύο οποιαδήποτε σημεία 

είναι ίσα 

και δεν παίζει ρόλο 

αν τα σχεδιάζουμε 

με μεγάλη τελεία

ή με μικρή.

Ευθύγραμμο τμήμα

Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, συνδέοντας δύο σημεία Α και Β, με έναν χάρακα (κανόνα).

Τα σημεία Α και Β

μιας ευθείας γραμμής

ορίζουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

Τα σημεία Α και Β είναι τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Το ευθύγραμμο τμήμα

δεν έχει αρχή.

Το ευθύγραμμο τμήμα

δεν έχει τέλος.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ, τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλευρές του τριγώνου.

Ποιες είναι οι 3 πλευρές του τριγώνου ΚΛΜ;

ΚΛ

ΚΜ

ΛΜ

Ποιες είναι οι διαγώνιες του τριγώνου  ΣΔΦ;

Τα τρίγωνα δεν έχουν διαγώνιες. 

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχει πλευρές τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές. Τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνιες του τετραπλεύρου.

Ποιες είναι οι 4 πλευρές του τετράπλευρου  ΣΔΦΗ;

ΣΔ

ΔΦ

ΦΗ

ΗΣ

Ποιες είναι οι 2 διαγώνιες του τετράπλευρου  ΣΔΦΗ;

ΣΦ

ΗΔ

Είτε πούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ,

είτε πούμε ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ

εννοούμε ακριβώς το ίδιο τμήμα.

Ποια είναι δύο ονόματα 

του ευθύγραμμου τμήματος 

που έχει για άκρα τα σημεία Κ και Λ;

Ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και

ευθύγραμμο τμήμα ΛΚ.

Ευθεία ΑΒ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Ποιος είναι ο φορέας του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ;

Ο φορέας του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

είναι η ευθεία ΑΒ.

Ευθεία ΑΒ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Ποιος είναι ο φορέας του

ευθύγραμμου τμήματος ΒΑ;

Ο φορέας του

ευθύγραμμου τμήματος ΒΑ

είναι η ευθεία ΑΒ.

Ποια σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγονται εσωτερικά;

Όλα τα άπειρα σημεία ενός

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ 

εκτός από τα άκρα του Α και Β

λέγονται εσωτερικά σημεία του 

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά δεν έχουν κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Το γράμμα Λ έχει 2 διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα.

Το γράμμα Ν έχει 3 διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα.

Το γράμμα Μ έχει 4 διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα.

Πόσα κοινά άκρα έχουν το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ

και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ;

2. Το Α και το Β. (Ταυτίζονται.)

Πόσα κοινά άκρα έχουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ;

Δεν μπορώ να απαντήσω

χωρίς να ξέρω ποιο είναι το σχήμα.

Μπορεί να έχουν 0 κοινά σημεία.

Μπορεί να έχουν 1 κοινό σημεία.

Μπορεί να έχουν άπειρα κοινά σημεία.

Πόσα κοινα άκρα έχουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ;

0

Πόσα μη κοινά σημεία έχουν

το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ;

0

Πόσα κοινά σημεία έχουν

το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

και το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ;

Άπειρα. Όλα τους τα σημεία.

Ποια είναι τα εξωτερικά σημεία 

ενός ευθύγραμμου τμήματος;

Τα σημεία της ευθείας που είναι

φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα.

Ποιο κεφάλαιο γράμμα

απεικονίζει 

τρία  ευθύγραμμα τμήματα 

που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο

και έχουν και τα τρία

ένα κοινό άκρο ;

Υ

Ημιευθεία

Πόσο μήκος έχει μια ημιευθεία;

Άπειρο.

Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ προς το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το Β, τότε το νέο σχήμα, που έχει αρχή το Α αλλά δεν έχει τέλος, λέγεται ημιευθεία AB.

Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ προς το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το Α, τότε το νέο σχήμα, που έχει αρχή το Β αλλά δεν έχει τέλος, λέγεται ημιευθεία ΒΑ.

Τρόποι συμβολισμού ημιευθείας:

Η ημιευθεία συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα που δηλώνει την αρχή της και ένα μικρό γράμμα (που μπορεί να έχουν τόνο),

π.χ. Αx, Βy, Α'χ', Ox'

Η ημιευθεία συμβολίζεται με δύο κεφαλαία γράμματα που το πρώτο δηλώνει την αρχή της και το δεύτερο το προς τα που εκτείνεται απεριόριστα

π.χ.

ημιευθεία ΑΒ (το Α είναι η αρχή της)

ημιευθεία ΒΑ (το Β είναι η αρχή της)

Είναι διαφορετική η ημιευθεία ΑΒ

από την ημιευθεία ΒΑ;

Ναι.

Η ημιευθεία ΑΒ έχει αρχή το Α και κατεύθυνση προς το Β.

Η ημιευθεία ΒΑ έχει αρχή το Β και κατεύθυνση προς το Α.

Οι ημιευθείες ΑΒ και ΒΑ

έχουν άπειρα κοινά σημεία 

και άπειρα μη κοινά σημεία.

Οι ημιευθείες ΑΒ και ΒΑ

έχουν και οι δύο φορέα 

την ευθεία ΒΑ. 

Οι ημιευθείες ΑΒ και ΒΑ

βρίσκονται και οι δύο 

στην ευθεία ΑΒ. 

Πώς ονομάζεται η ημιευθεία

που έχει αρχή το Β και περνάει από το Α;

Ημιευθεία ΒΑ

Πώς ονομάζεται η ημιευθεία

που έχει αρχή το Α και περνάει από το Β;

Ημιευθεία ΑΒ

Ευθεία ΑΒ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Ποιος είναι ο φορέας της

ημιευθείας ΑΒ;

Ο φορέας της ημιευθείας ΑΒ

είναι η ευθεία ΑΒ.

Ευθεία ΑΒ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Ποιος είναι ο φορέας της

ημιευθείας ΒΑ;

Ο φορέας της ημιευθείας ΒΑ

είναι η ευθεία ΑΒ.

Ποια είναι τα άκρα μιας ημιευθείας ΡΤ; 

Μια ημιευθεία δεν έχει άκρα.

Είναι το χ σημείο της ημιευθείας Οχ;

Όχι. Δεν είναι κεφαλαίο γράμμα.

Είναι το Ο σημείο της ημιευθείας Οχ;

Ναι.

Είναι το Ο η αρχή της ημιευθείας Οχ;

Ναι.

Είναι το Β η αρχή της ημιευθείας ΒΑ;

Ναι.

Είναι το Α η αρχή της ημιευθείας ΒΑ;

Όχι. Το Β είναι η αρχή.

Είναι το Β η αρχή της ημιευθείας ΑΒ;

Όχι. Το Α είναι η αρχή.

Είναι το Α η αρχή της ημιευθείας ΑΒ;

Ναι.

Έχουν κοινή αρχή οι ημιευθείες ΒΑ και ΒΔ;

Ναι. Το Β.

Έχουν κοινή αρχή οι ημιευθείες ΒΑ και ΑΒ;

Όχι.

Πόσα μη κοινά σημεία έχουν

η ημιευθεία ΑΒ

και η ημιευθεία ΒΑ;

Άπειρα. Αλλά όχι όλα τους τα σημεία.

Πόσα κοινά σημεία έχουν

η ημιευθεία ΑΒ

και η ημιευθεία ΒΑ;

Άπειρα. Αλλά όχι όλα τους τα σημεία.

Σε πολλές χώρες

όταν σχεδιάζουν μια ημιευθεία 

βάζουν ένα βελάκι προς το μέρος

που εννοείται πως συνεχίζεται.

Αντικείμενες ημιευθείες λέγονται

δύο ημιευθείες που έχουν 

μοναδικό κοινό σημείο την αρχή τους

και έχουν τον ίδιο φορέα

(δηλαδή βρίσκονται στην ίδια ευθεία).

Εάν Ο είναι ένα σημείο της ευθείας x΄x,

τότε με αρχή το Ο ορίζονται δύο ημιευθείες Οx και Οx΄,

οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες.

Εάν A είναι ένα σημείο της ευθείας y΄y,

τότε με αρχή το A ορίζονται δύο ημιευθείες Ay και Ay΄,

οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες.

Ευθεία ΑΒ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Ποια είναι τα ονόματα από δύο αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΑΒ;

Αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΑΒ είναι

η ημιευθεία ΜΑ και η ημιευθεία ΜΒ.

Ευθεία ΒΑ

και δύο σημεία της ευθείας

τα Α και Β.

Κ είναι ένα εσωτερικό σημείο  του ευθύγραμμου τμήματος ΒΑ.

Ποια είναι τα ονόματα από δύο αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΒΑ;

Αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΒΑ είναι

η ημιευθεία ΚΑ και η ημιευθεία ΚΒ.

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

Προεκτείνω το ΑΒ προς το Α 

και θεωρώ στην προέκταση του 

(προς το Α)

ένα σημείο Μ.

Ποια είναι τα ονόματα από δύο αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΑΒ;

Αντικείμενες ημιευθείες που έχουν φορέα την ευθεία ΑΒ είναι

η ημιευθεία ΑΜ και η ημιευθεία ΑΒ.

(Να ξέρετε ότι αν σε μιά άσκηση

χρειάζεται να σχεδιάσετε κάτι 

που δεν υπάρχει

πρέπει οπωσδήποτε

να σχεδιάσετε το σχήμα

στο γραπτό σας

με αυτό που σχεδιάσατε

και δεν υπήρχε

αλλιώς ο βαθμολογητής

δεν καταλαβαίνει τι γράφετε.)

Δύσκολη Άσκηση Γεωμετρίας

___________________

      Α      Β   

Ποια είναι η αντικείμενη ημιευθεία της ημιευθείας ΑΒ

στο παραπάνω σχήμα;

Απάντηση

Έτσι όπως είναι το σχήμα δεν μπορώ να απαντήσω.

Θα πρέπει να ξανασχεδιάσω το σχήμα

αφού θα σημειώσω στο σχήμα

κάτι που δεν υπάρχει.

Θα σημειώσω στην ευθεία ΑΒ του σχήματος

ένα σημείο Δ αριστερά του Α.

___________________

   Δ      Α      Β   

Τώρα μπορώ να απαντήσω ότι

Η ημιευθεία ΑΔ είναι αντικείμενη ημιευθεία της ημιευθείας ΑΒ.

Ευθεία

Πόσο μήκος έχει μια ευθεία;

Άπειρο.

(Κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί επ' άπειρο.)

Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το νέο σχήμα, που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία.

Από δύο σημεία διέρχεται μια μόνο ευθεία.

(Από κάθε σημείο και προς κάθε άλλο άγεται μια ευθεία.)

Για δύο οποιαδήποτε διακεκριμένα (διαφορετικά)

σημεία Α, Β,

υπάρχει μία και μόνο μία ευθεία

που περιέχει τα Α και Β.

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

Πώς λέγονται δύο σημεία 

που ανήκουν στην ίδια ευθεία;

Συνευθειακά.

Πόσες ευθείες διέρχονται από τρία σημεία;

Ερωτήσεις σαν την παραπάνω θεωρούνται δύσκολες στη Γεωμετρία (και γενικότερα στα Μαθηματικά) γιατί πρέπει να αντιληφθούμε πως πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.

1η περίπτωση 

Τα τρία σημεία να είναι συνευθειακά.

Σε αυτήν την περίπτωση μια ευθεία περνάει και από τα τρία σημεία.

2η περίπτωση 

Τα τρία σημεία

να μην είναι συνευθειακά.

Σε αυτήν την περίπτωση

δεν γίνεται μια ευθεία

να περνάει και από τα τρία σημεία.

Τρόποι συμβολισμού ευθείας:

Ένα μικρό γράμμα π.χ. ε

Ένα μικρό γράμμα με τόνο π.χ. ε'

Ένα μικρό γράμμα με ένα αριθμό δείκτη π.χ. ε2

Δύο μικρά γράμματα με τόνο ή χωρίς τόνο π.χ. ψ'ψ

Δύο κεφαλαία γράμματα από σημεία της ευθείας π.χ. ΑΒ

Είτε πούμε ευθεία ΑΒ,

είτε πούμε ευθεία ΒΑ

εννοούμε ακριβώς την ίδια ευθεία.

Πώς ομομάζεται η παρακάτω ευθεία;

____________________________
x'                                          x

Με πολύ δυσκολία θα βρεθεί ένας 

κσι μόνο ένας μαθητής στο τμήμα

που θα δώσει τη σωστή απάντηση:

εξ τόνος εξ.

Να εξηγήσετε τι σημαίνει η φράση:

Γραμμή εστί μήκος άνευ πλάτους.

Η ευθεία έχει μόνο μήκος άρα έχει μία διάσταση. Αφού όπως ορίζεται η ευθεία δεν έχει πλάτος άρα η ευθεία (όπως και το σημείο) είναι αόρατη. 

Εμείς βέβαια σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές στα σχήματά μας.

Ποια είναι δύο ονόματα της ευθείας

που διέρχεται από τα σημεία Κ και Λ;

Ευθεία ΚΛ και ευθεία ΛΚ.

Πώς λέγονται δύο ευθείες που έχουν

ακριβώς ένα κοινό σημείο;

Τεμνόμενες ευθείες.

Τι λέμε για δύο ευθείες που έχουν δύο κοινά σημεία;

Λέμε ότι ταυτίζονται. Όλα τους τα σημεία είναι κοινά.

Ποια είναι τα άκρα μιας ευθείας ΡΤ; 

Μια ευθεία δεν έχει άκρα.

Είναι το Α η αρχή της ευθείας ΒΑ;

Όχι. Η ευθεία δεν έχει αρχή.

Είναι το Β η αρχή της ευθείας ΒΑ;

Όχι. Η ευθεία δεν έχει αρχή.

Να σχεδιάσετε 3 ευθείες ε, λ, σ 

που δεν είναι παράλληλες

ανά δύο

και

δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο 

και οι τρεις.

/ ε

\ λ

______________ σ

Από τις παράλληλες ευθείες ξ, ρ

του παρακάτω σχήματος 

να βρείτε ποια είναι μεγαλύτερη.

- ξ

____________ ρ

Δεν γίνεται μια ευθεία να είναι

μεγαλύτερη από μια άλλη.

Όλες οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος.

Σε πολλές χώρες

όταν σχεδιάζουν μια ευθεία 

βάζουν δύο βελάκια 

προς τα μέρη

που εννοείται πως συνεχίζεται.

Το χ στην ευθεία χ΄χ είναι σημείο της ευθείας;

Όχι. Το χ δεν είναι σημείο.
Το χ δεν είναι κεφαλαίο.

Ποιο είναι το όνομα της ευθείας χ΄χ;

χι τόνος χι

Ποιο είναι το όνομα της ευθείας x΄x;

εξ τόνος εξ

Ποιο είναι το όνομα της ευθείας ψ΄ψ;

ψι τόνος ψι

Ποιο είναι το όνομα της ευθείας y΄y;

γουάι τόνος γουάι

Επίπεδο

Το επίπεδο έχει μήκος και πλάτος,

άρα έχει 2 διαστάσεις.

Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι:

Να είναι παράλληλα.

Να τέμνονται κατά μία ευθεία.

Δύο σημεία ενός επιπέδου

ορίζουν ευθεία,

τα σημεία της οποίας

ανήκουν στο επίπεδο.

Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι:

Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο.

Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο.

Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο.

Πώς λέμε ότι δύο σημεία 

βρίσκονται ακριβώς στην ίδια 

θέση σε ένα επίπεδο;

Λέμε ότι τα 2 σημεία ταυτίζονται.

Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα.

Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα.

Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο μέρη, ώστε, αν θέλουμε να περάσουμε από το ένα μέρος του χώρου στο άλλο, πρέπει να διαπεράσουμε το επίπεδο.

Σε κάθε επίπεδο υπάρχουν

τρία σημεία

μη συνευθειακά.

Σημειώσεις στην ενότητα Β.1.1. 

Μπορούμε να έχουμε δύο παράλληλες ευθείες.

Δύο ευθείες έχουν άπειρο μήκος

και δε λέμε: ευθείες ίσες.

Επίσης δε λέμε: ευθεία μεγαλύτερη από άλλη ευθεία.

Μπορούμε να έχουμε δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα.

Μπορούμε να έχουμε δύο ίσα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα.

Μπορούμε να έχουμε δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα που να μην είναι ίσα μεταξύ τους.

Μπορούμε να έχουμε δύο παράλληλες ημιευθείες.

Μπορούμε να έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο προς μία ευθεία κτλ.

Μπορούμε να έχουμε δύο τεμνόμενες ευθείες.

Λέμε επίπεδη τηλεόραση όταν η οθόνη της είναι σαν το πάνω μέρος του θρανίου σας δηλαδή όλα τα σημεία είναι στο ίδιο επίπεδο

και κυρτή τηλεόραση όταν κάνει καμπύλη η οθόνη, δηλαδή όλα τα σημεία της οθόνης δεν είναι στο ίδιο επίπεδο.

Όταν βλέπουμε κλειστό ένα βιβλίο,

το εξώφυλλο με το οπισθόφυλλο δίνουν την εικόνα από δύο παράλληλα επίπεδα.

Τα επίπεδα έχουν άπειρο εμβαδόν και άρα δεν μπορούμε να πούμε ότι αυτό το επίπεδο είναι μικρότερο από εκείνο.

Τι εννοούμε σχήματα στο ίδιο επίπεδο;

Ότι έχουμε πει μέχρι τώρα αναφέρεται σε σχήματα (ευθείες, σημεία, ημιευθείες, ευθύγραμμα τμήματα, γωνίες) που είναι στο ίδιο επίπεδο.

Σαν να τα σχεδιάζετε με μολύβι πάνω στο θρανίο σας. Και αν όλοι οι συμμαθητές σας σχεδιάζουν μέσα στην τάξη σας στον πρώτο όροφο τέτοια σχήματα πάνω στο θρανίο τους τότε όλοι σας σχεδιάζετε σχήματα στο ίδιο επίπεδο (του ίδιου επιπέδου).

Αν όμως πάμε στο ισόγειο σε μία τάξη

και οι μαθητές εκεί σχεδιάζουν

στο θρανίο τους τέτοια σχήματα

τότε αυτοί σχεδιάζουν

σε άλλο επίπεδο από εσάς

το οποίο είναι παράλληλο επίπεδο

με το δικό σας επίπεδο 

απλά βρίσκεται περίπου 5 μέτρα κάτω

από το δικό σας επίπεδό.

Ότι πούμε φέτος στην πρώτη γυμνασίου θα αναφέρεται σε σχήματα στο ίδιο επίπεδο.

Μπορείτε λοιπόν να λύνετε όλες τις

ασκήσεις πάνω στο θρανίο σας

παραμένοντας στο επίπεδο

του θρανίου  σας, ξεχνώντας εντελώς

ότι υπάρχουν και άλλα επίπεδα.

Θα ξεκινήσετε να μιλάτε

για περισσότερα από ένα επίπεδα

σε ένα στερεό σώμα (και όχι σχήμα)

στο τέλος της επόμενης χρονιάς

όταν θα μιλήσετε για τον κύβο (ζάρι) ,

τον κύλινδρο (καλαμάκι) κτλ.

Ο χώρος έχει μήκος, πλάτος και ύψος. Άρα ο χώρος έχει 3 διαστάσεις.

Σε ένα επίπεδο μπορώ να σχεδιάσω  ευθείες γραμμές.

Σε ένα επίπεδο μπορώ να σχεδιάσω  καμπύλες γραμμές.

Ένα είδος γραμμής στον τρισδιάστατο χώρο είναι η κυλινδρική έλικα.

1η διάσταση: μήκος

2η διάσταση: πλάτος 

Πόσες διαστάσεις έχει ένα σημείο; 

Μηδέν διαστάσεις.

Πόσες διαστάσεις έχει μία ευθεία; 

Μία διάσταση.

Πόσες διαστάσεις έχει μία ημιευθεία; 

Μία διάσταση.

Πόσες διαστάσεις έχει ένα  ευθύγραμμο τμήμα;

Μία διάσταση.

Πόσες διαστάσεις έχει ένα επίπεδο;

Δύο διαστάσεις.

Πόσα σημεία έχει μια ευθεία;

Άπειρα.

Πόσα σημεία έχει μια ημιευθεία;

Άπειρα.

Πόσα σημεία έχει ένα ευθύγραμμο τμήμα;

Άπειρα.

Πόσα σημεία έχει ένα

μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα;

Ένα. 

Πόσα σημεία έχει το

παρακάτω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ;

Α____Β

Το ΑΒ έχει άπειρα σημεία.

Παρατηρώ ότι δε βάλαμε τέλειες 

στα σημεία και αυτό γιατί

θα το δούμε σε παρά πολλά σχήματα 

να υπάρχουν σημεία χωρίς τελεία

και να θεωρείται πλήρως κατανοητό 

που είναι το σημείο.

3 συνευθειακά σημεία Δ, Ζ, Α.

Το Δ είναι σημείο της ευθείας ΑΖ.

Το Δ είναι σημείο της ευθείας ΖΑ.

Το Δ είναι σημείο της ημιευθείας ΑΖ.

Το Δ δεν είναι σημείο της ημιευθείας ΖΑ.

Το Δ δεν είναι σημείο του  ευθύγραμμου τμήματος ΑΖ.

Το Δ δεν είναι σημείο του  ευθύγραμμου τμήματος ΖΑ.

3 συνευθειακά σημεία Δ, Ζ, Α.

Το Α είναι σημείο της ευθείας ΔΖ.

Το Α είναι σημείο της ευθείας ΖΔ.

Το Α είναι σημείο της ημιευθείας ΔΖ.

Το Α δεν είναι σημείο της ημιευθείας ΖΔ.

Το Α δεν είναι σημείο του  ευθύγραμμου τμήματος ΔΖ.

Το Α δεν είναι σημείο του  ευθύγραμμου τμήματος ΖΔ.

Ευθεία χ'χ με

4 διαδοχικά σημεία Α, Β, Κ, Δ.

i) Να γράψετε όσα περισσότερα 

διαφορετικά μεταξύ τους 

ευθύγραμμα τμήματα.

ΑΒ, ΑΚ, ΑΔ, ΒΚ, ΒΔ, ΚΔ.

ii) Αντικείμενη ημιευθεία της Κχ´;

Κχ (ή αλλιώς ΚΔ)

iii) Αντικείμενη ημιευθεία της ΔΒ;

Δχ

iv) Αντικείμενη ημιευθεία της ΚΒ;

Κχ (ή αλλιώς ΚΔ)

v) Η ημιευθεία ΚΒ πώς αλλιώς λέγεται;

Κχ´ (ή αλλιώς ΚΑ)

vi) Ποια διαφορετικά μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα έχουν άκρο το Δ;

ΔΑ, ΔΒ, ΔΚ.

vii) Πόσες διαφορετικές ημιευθείες έχουν για αρχή τους το σημείο Δ;

ΔΚ, Δχ.

(άλλη σωστή απάντηση ΔΒ, Δχ)

(άλλη σωστή απάντηση ΔΑ, Δχ)

(άλλη σωστή απάντηση Δχ´, Δχ)

viii) Το σημείο Δ είναι (εσωτερικό) σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΚ;

Όχι

Θ) Το σημείο Δ βρίσκεται στην 

ημιευθεία ΑΒ;

Ναι.

ix) Το σημείο Κ βρίσκεται στην 

ημιευθεία ΒΑ;

Όχι.

Εικόνες ασκήσεων στερεομετρίας (προαιρετικά).

Μετάφραση

line:  γραμμή ( Στην Β.1.1. θα εννοούμε ευθεία γραμμή)

line segment:  ευθύγραμμο τμήμα

plane:  επίπεδο 

point:  σημείο

point of intersection:  σημείο τομής

ray:  ημιευθεία 

straight line : ευθεία γραμμή

vertex:  κορυφή 

Σημείωση:

Η ευθεία ΑΒ.

Η ημιευθεία ΑΒ.

Η ημιευθεία ΒΑ.

Το τμήμα ΑΒ.

Όλα υπάρχουν στο ίδιο σχήμα.

______________________________
        Α           Β

Όποιο αναφέρει η άσκηση

αυτό καταλαβαίνουμε.

Στο σχήμα 

________________________

  Κ  Λ   Ν    Μ         ε

γιατί να μην λέμε ευθεία Με;

Μπορώ να πω ευθεία ε, καθώς 

υπάρχει μόνο ένα μικρό γράμμα 

και είναι το όνομα της ευθείας.

Τα σημεία συμβολίζονται με 

κεφαλαία γράμματα και 

χρειάζεται να πω

δύο κεφαλαία γράμματα 

από δύο σημεία της 

για να προσδιορίσω μια ευθεία

π.χ. ευθεία ΜΛ.

Απορία μαθητή:

Στο σχήμα 

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

γιατί να μην λέμε ευθεία Μλ;

Εγώ θα έλεγα ότι γίνεται κατανοητό  

σε ποια ευθεία αναφέρεσαι.

Επειδή όμως πουθενά δε θα βρεις

μια ευθεία να λέγεται

με ένα μικρό και ένα κεφάλαιο 

ας μη την λέμε έτσι.

Καθήκοντα

1η ώρα 

α) Να σχεδιάσετε ένα σημείο Λ.

β) Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΗΚ.

γ) Να σχεδιάσετε μια ευθεία ΑΒ.

δ) Να σχεδιάσετε μια ευθεία δ'δ.

ε) Να σχεδιάσετε μια ημιευθεία ΞΣ.

(Σημείωση: Να γράφετε στο τετράδιό σας και το ποιο ερώτημα σχεδιάζετε κάθε φορά.

Δηλαδή

να γράψετε α) 

και μετά 

στην  επόμενη σειρά 

να σχεδιάσετε το σημείο Λ.)

Καθήκοντα

2η ώρα 

Να σχεδιάσετε μια ευθεία λ'λ.

Να σημειώσετε στην ευθεία λ'λ

τέσσερα διαδοχικά σημεία

Κ, Λ, Ν, Μ.

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

i) 14 ονόματα

διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους

για την ευθεία του σχήματος

είναι τα εξής: ...

ii) 6 διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους

ευθύγραμμα τμήματα

στην ευθεία λ'λ

είναι τα εξής: ...

iii) Η ευθεία ΚΛ

λέγεται αλλιώς και

ευθεία ...

iv) Η ημιευθεία ΛΝ

λέγεται αλλιώς και

ημιευθεία ...

v) Η ημιευθεία ΛΚ 

λέγεται αλλιώς και

ημιευθεία ...

vi) Το σημείο ... βρίσκεται στην ημιευθεία ΛΜ.

vii) Το σημείο ... βρίσκεται στην ημιευθεία NK.

viii) Το σημείο ... βρίσκεται στην ημιευθεία ΛN.

ix) Το σημείο ... βρίσκεται στην ημιευθεία ΝΛ.

x) Τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ είναι τα εξής: ...

xi) Το ... είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΛΜ.

xii) Το ... είναι εξωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΛΜ.

Απαντήσεις στα

Καθήκοντα

2η ώρα

i)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

Τα 14 διαφορετικά ονόματα 

της ευθείας είναι:

ευθεία ΚΛ

ευθεία ΛΚ

ευθεία ΚΜ

ευθεία ΜΚ

ευθεία ΚΝ

ευθεία ΝΚ

ευθεία ΛΜ

ευθεία ΜΛ

ευθεία ΛΝ

ευθεία ΝΛ

ευθεία ΜΝ

ευθεία ΝΜ

ευθεία λλ'

ευθεία λ'λ

ii)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

6 διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους

ευθύγραμμα τμήματα

στην ευθεία λ'λ

είναι τα εξής: ...

ΚΛ

ΚΜ

ΚΝ

ΜΛ

ΜΝ

ΛΝ

iii)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

Η ευθεία ΚΛ

λέγεται αλλιώς και

ευθεία ...  ΛΚ

(υπάρχουν και άλλες 12 

σωστές απαντήσεις)

iv)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

Η ημιευθεία ΛΝ

λέγεται αλλιώς και

ημιευθεία ... ΛΜ

(άλλη σωστή απάντηση Λλ)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

v)

________________________

λ'   Κ  Λ   Ν    Μ         λ

Η ημιευθεία ΛΚ

λέγεται αλλιώς και

ημιευθεία ...Λλ'

 vi) Το σημείο Ν βρίσκεται στην ημιευθεία ΛΜ.

vii) Το σημείο Λ βρίσκεται στην ημιευθεία NK.

viii) Το σημείο Μ βρίσκεται στην ημιευθεία ΛN.

ix) Το σημείο Κ βρίσκεται στην ημιευθεία ΝΛ.

x) Τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ είναι τα εξής: Κ, Λ

xi) Το Ν είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΛΜ.

xii) Το Κ είναι εξωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΛΜ.

Καθήκοντα

3η ώρα 

1)

Να σχεδιάσετε μια ευθεία.

Να σημειώσετε στην ευθεία

τέσσερα διαδοχικά σημεία

Τ, Λ, Δ, Ε.

α)

Να γράψετε 12

διαφορετικά ονόματα

ημιευθειών στο σχήμα.

β)

Να γράψετε τα ονόματα

από τις 6 ημιευθείες 

που είναι διαφορετικές 

ανά δύο μεταξύ τους.

(κάποιες από τις 12 ονομασίες του α ερωτήματος αναφέρονται στην ίδια ημιευθεία) 

2)

Να σχεδιάσετε μια ευθεία χ'χ.

Να σημειώσετε στην ευθεία χ'χ

τέσσερα διαδοχικά σημεία

Κ, Λ, Μ, Τ.

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

i) Η ημιευθεία Κχ έχει για αντικείμενη ημιευθεία την ...

ii) Η ημιευθεία ΛΚ έχει για αντικείμενη ημιευθεία την ...

iii) Η ημιευθεία Κχ έχει αρχή το ...

iv) Η ημιευθεία ΜΛ έχει για αντικείμενη ημιευθεία την ...

v) Η ημιευθεία ΛΜ έχει για αντικείμενη ημιευθεία την ...

3)

Να σχεδιάσετε δύο 

αντικείμενες ημιευθείες

Οχ και Οχ'.

4)

Να σχεδιάσετε δύο 

αντικείμενες ημιευθείες

ΑΒ και ΑΕ'.

5)

Να σχεδιάσετε δύο 

αντικείμενες ημιευθείες

και να συμπληρώσετε

την πρόταση:

Οι ημιευθείες ... και ...

είναι αντικείμενες.

Καθήκοντα 

4η ώρα

B.1.1. Θέματα τεστ.(2)

B.1.1. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(2)

Καθήκοντα

5η ώρα 

Ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΑ;

B.1.1. Θέματα τεστ.(1)

B.1.1. Θέματα τεστ με απαντήσεις.(1)

Σε αρκετά από τα ερωτήματα των τεστ υπάρχουν περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις.

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση;

How many lines of symmetry does each of these have? a line? a ray? a segment? a point?