playlist ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

+ 0 - Άθροισμα. Πρόσημο. Integers. Adding Integers + 0 -

Πρόσθεση ρητών αριθμών (ασανσέρ) ( Integers Elevator Adding Subtracting )

Σύγκριση Ακέραιων (Comparing Integers)

 Απαλοιφή παρενθέσεων

Πρόσθεση ρητών αριθμών Adding and Subtracting Integers

Προτεραιότητα των πράξεων (Order Of Operations)

Προτεραιότητα των πράξεων Δημοτικού  (Order Of Operations With Natural Numbers)

Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributive Property )

A.7.3.

θ   σ122,123

ε 1,2 σ123,124

Α 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 σ125

playlist Σύγκριση Ακέραιων

playlist Απαλοιφή παρενθέσεων

How to remove parentheses, brackets, braces.

1-(-1)=2. Πάρα πολύ ωραία και πάρα πολύ δύσκολη εξήγηση.  

A.7.4.

θ   σ126

ε 3, 4 σ127

Α 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  σ128

playlist Πλήθος όρων

Τα πρώτα 30 βίντεο από την playlist αρνητικοί

Αεροπλάνο Αριθμογραμμή

Τραγούδι πρόσθεσης και αφαίρεσης

ΑΣΚΗΣΗ 

Να βρεθεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης 

-4+3-2+5-1+2-7

Αναλυτικός Τρόπος (μία μία οι πράξεις)

-4+3-2+5-1+2-7=

-1-2+5-1+2-7=

-3+5-1+2-7=

+2-1+2-7=

1+2-7=

3-7=

-4

Σύντομος Τρόπος (πρώτα οι θετικοί όροι)

-4+3-2+5-1+2-7=

3+5+2-4-2-1-7=

10-14=
-4

Σύντομος Τρόπος (πρώτα οι αρνητικοί όροι)

-4+3-2+5-1+2-7=

-4-2-1-7+3+5+2=

-14+10=

-4

Το άθροισμα δύο αντίθετων όρων είναι 0

-4+3-2+5-1+2-7=

-4-1-7-2+2+3+5=

-4-1-7+0+3+5=

-12+8=

-4

Αριθμητική παράσταση.

Αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς. Μια αριθμητική παράσταση μπορεί να περιλαμβάνει παρενθέσεις, αγκύλες κλπ.

Απλές αριθμητικές παραστάσεις:

25 + 15

10 – 5 – 8

Σημείωση:

Δε γίνεται να γράψω συνεχόμενα

συν ( ή πλην ) και να κλείσω παρένθεση σε μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

( 2 + ) 5

(3 – ) 5

Δε γίνεται να τελειώνει με συν ( ή πλην ) μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + 5 +

– 3 – 2 –

Δε γίνεται να γράψω συνεχόμενα

συν συν ή

πλην συν  ή

συν πλην ή

πλην πλην

σε μία παράσταση.

Για παράδειγμα, δεν είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + + 5

3 + – 5

3 – + 5

3 – – 5

Αν μεσολαβεί παρένθεση ανάμεσα τους τότε δεν υπάρχει πρόβλημα.

Για παράδειγμα, είναι παραστάσεις οι παρακάτω:

2 + ( – 9 )

– 2 + ( – ( – 9 ) )

Όροι αριθμητικής παράστασης.

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης: 25 +15;

+25 , +15

Ποιοι είναι οι όροι της αριθμητικής παράστασης: 10 – 5 – 8;

+10 , –5 , –8

Όροι μέσα σε παρένθεση.

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 5 – 2 )

+5 , –2

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( + 4 – 3 )

+4 , –3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( 7 + 3 )

+7 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: + ( 5 + 2 )

+5 , +2

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 4 – 9 )

–4 , –9

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση: ( – 9 + 1 )

–9 , +1

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 41 – 32 )

+41 , –32

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( + 1 + 3 )

+1 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  + ( 4 – 2 )

+4 , –2

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 2  –  4 )

+2 , –4

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 – 3 )

+1 , –3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( + 1 + 3 )

+1 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  – ( 451 + 3 )

+451 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 – ( 5 + 3 )

+5 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 – ( + 4 + 9 )

+4 , +9

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  7 + ( – 5 + 3 )

–5 , +3

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 + 9 )

–4 , +9

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 – 8 + ( – 4 )

–4

Όροι που περιέχονται σε παρένθεση στην παράσταση:  2 + (– 8 + 1 – 4 + 7 )

–8 , +1 , –4 , +7

Απαλοιφή παρενθέσεων. Πώς φεύγουν οι παρενθέσεις;

 Απαλοιφή παρενθέσεων

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το + ,

μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το + που είναι μπροστά της

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

+ ( 4 – 9 ) =

+4 –9 =

4 –9

+ ( 2 + 5 ) =

+2 +5 =

2 +5

+ ( + 6 – 5 ) =

+6 –5 =

6 –5

+ ( +23 + 52 ) =

+23 +52 =

23 +52

+ ( – 4 – 9 ) =

–4 –9

+ ( – 2 + 5 ) =

–2 +5

7 + ( 5 + 3 ) =

+7 + ( +5 +3 ) =

+7 +5 +3

2 – 8 + ( + 4 + 9 ) =

+2 –8 +4 +9

– 8 + ( + 4 – 9 ) =

–8 +4 –9

– 8 + ( – 3 + 1 ) =

–8 –3 +1

– 8 + ( – 4 – 9 ) =

–8 –4 –9

Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το –,

μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το – που είναι μπροστά της

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημα.

– ( 3 – 5 ) =

–3 +5

– ( + 6 – 4 ) =

–6 +4

– ( 7 + 8 ) =

–7 –8

– ( + 527 + 7 ) =

–527 –7

– ( – 4 – 9 ) =

+4 +9 =

4 +9

– ( – 2 + 5 ) =

+2 –5 =

2 –5

7 – ( 5 + 3 ) =

+7 – ( +5 +3 ) =

+7 –5 –3

2 – 8 – ( + 4 + 9 ) =

+2 –8 –4 –9

– 8 – ( + 4 – 9 ) =

–8 –4 +9

– 8 – ( – 3 + 1 ) =

–8 +3 –1

– 8 – ( – 4 – 9 ) =

–8 +4 +9

Όταν μια παράσταση ξεκινάει με παρένθεση

εννοείται ότι έχει μπροστά της το +

και μπορούμε να την απαλείψουμε

και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους.

( – 8 + 3 ) – 1 =

–8 +3 –1

Σημείωση:

Όταν σε μια παράσταση μετά από έναν αριθμό ανοίγει παρένθεση

εννοείται μετά τον αριθμό και πριν την παρένθεση το επί

και κάνουμε επιμεριστική ιδιότητα.

The distributive property of multiplication over addition and over subtraction.

1ο παράδειγμα

7 ( 5 + 3 ) + 1 =

7· 5 + 7 · 3 + 1 =

35 + 21 + 1

2ο παράδειγμα

+ 7 ( 5 – 3 ) + 1 =

7· 5 – 7 · 3 + 1 =

35 – 21 + 1

Ομόσημοι αριθμοί.

Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο.

Δύο ομόσημοι θετικοί αριθμοί: +5, +3

Τρεις ομόσημοι θετικοί αριθμοί: +4, +7, +9

Δύο ομόσημοι αρνητικοί αριθμοί: –6, –1

Πέντε ομόσημοι αρνητικοί αριθμοί: –2, –8, –6, –7, –9

Ετερόσημοι αριθμοί.

Ετερόσημοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο.

Δύο ετερόσημοι αριθμοί: +5, –3

Δύο ετερόσημοι αριθμοί: –6, +1

Δε γίνεται να έχουμε τρεις ετερόσημους αριθμούς αφού δύο πρόσημα υπάρχουν:

Το συν και το μείον.

Ερμηνεία πρόσθεσης και αφαίρεσης αριθμών στην οριζόντια αριθμογραμμή.

Ερμηνεία πρόσθεσης και αφαίρεσης αριθμών στην οριζόντια αριθμογραμμή.

3 + 5

Ξεκινώ από το 3.

Πάω 5 μονάδες δεξιά ως το 8.

Άρα:

3 + 5 =

8

7 – 4

Ξεκινώ από το 7.

Πάω 4 μονάδες αριστερά ως το 3.

Άρα:

7 – 4 =

3

–3 + 2

Ξεκινώ από το –3.

Πάω 2 μονάδες δεξιά ως το –1.

Άρα:

–3 + 2 =

–1

–7 – 4

Ξεκινώ από το –7.

Πάω 4 μονάδες αριστερά ως το –11.

Άρα:

–7 – 4 =

–11

–3 + 5

Ξεκινώ από το –3.

Πάω 5 μονάδες δεξιά ως το 2.

Άρα:

–3 + 5 =

2

2 – 3

Ξεκινώ από το 2.

Πάω 3 μονάδες αριστερά ως το –1 .

Άρα:

2 – 3 =

–1

Πρόσθεση δύο ομόσημων αριθμών.

Αντί να βρούμε κατευθείαν το άθροισμα της πρόσθεσης δύο ομόσημων αριθμών,

προτείνω να βρούμε την απάντηση σε δύο φάσεις.

Αρχικά σε πρώτη φάση

θα γράψουμε μόνο το πρόσημο του αθροίσματος

δηλαδή αν είναι συν ή αν είναι μείον.

Αν και οι δύο ομόσημοι που προσθέτουμε είναι θετικοί

το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι συν.

Αν και οι δύο ομόσημοι που προσθέτουμε είναι αρνητικοί

το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι μείον.

Άρα στο άθροισμα γράφουμε αρχικά σε πρώτη φάση το πρόσημο:

+  , αν και οι δύο αριθμοί που προσθέτουμε είναι θετικοί

–   , αν και οι δύο αριθμοί που προσθέτουμε είναι αρνητικοί

Μετά σε δεύτερη φάση

και αφού πλέον έχουμε ήδη γράψει στο αποτέλεσμα συν ή μείον

και δεν μας απασχολούν άλλο τα πρόσημα που βλέπουμε στους δύο ομόσημους

θα βρούμε τι (σκέτο, χωρίς πρόσημο) αριθμό

θα γράψουμε μετά το πρόσημο που ήδη βρήκαμε και γράψαμε στην πρώτη φάση,

αφού κάνουμε ΠΡΟΣΘΕΣΗ τους δύο αριθμούς

χωρίς να κοιτάμε άλλο τα πρόσημα τους,

δηλαδή πλέον προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και

ότι βρούμε το γράφουμε στο άθροισμα μετά το πρόσημο που βρήκαμε στην πρώτη φάση.

Ορισμός στο βιβλίο:

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους.

(+5) + (+2) =

+7

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι θετικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο + στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 5+2

που κάνει 7 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

(–3) + (–1) =

–4

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+1

που κάνει 4 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

Πρόσθεση παραπάνω από δύο ομόσημων αριθμών.

Πρόσθεση πέντε ομόσημων θετικών αριθμών.

(+8) + (+2) + (+3) + (+2) + (+1) =

+16

Αφού και οι πέντε προσθετέοι είναι ομόσημοι θετικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο + στο αποτέλεσμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

8+2+3+2+1

που κάνει 16 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

Πρόσθεση έξι ομόσημων αρνητικών αριθμών.

(–8) + (–2) + (–3) + (–2) + (–1) + (–7)=

–23

Αφού και οι έξι προσθετέοι είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο αποτέλεσμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

8+2+3+2+1+7

που κάνει 23 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

Πρόσθεση δύο ετερόσημων αριθμών.

Αντί να βρούμε κατευθείαν το άθροισμα της πρόσθεσης δύο ετερόσημων αριθμών,

προτείνω να βρούμε την απάντηση σε δύο φάσεις.

Αρχικά σε πρώτη φάση

θα γράψουμε μόνο το πρόσημο του αθροίσματος

δηλαδή αν είναι συν ή αν είναι μείον.

Βλέπω ποιος από τους δύο αριθμούς σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι μεγαλύτερος.

Δηλαδή βλέπω ποιος από τους δύο αριθμούς έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Αν μεγαλύτερος αριθμός σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι ο θετικός

τότε το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι συν.

Αν δηλαδή ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον αρνητικό

τότε γράφω στο άθροισμα συν.

Αν μεγαλύτερος αριθμός σκέτος, χωρίς πρόσημο είναι ο αρνητικός

τότε το πρόσημο του αθροίσματος θα είναι μείον.

Αν δηλαδή ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον θετικό

τότε γράφω στο άθροισμα μείον.

Άρα στο άθροισμα γράφουμε αρχικά σε πρώτη φάση το πρόσημο:

+  , αν ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

–   , αν ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

Μετά σε δεύτερη φάση

και αφού πλέον έχουμε ήδη γράψει στο αποτέλεσμα συν ή μείον

και δεν μας απασχολούν άλλο τα πρόσημα που βλέπουμε στους δύο ετερόσημους

θα βρούμε τι (σκέτο, χωρίς πρόσημο) αριθμό

θα γράψουμε μετά το πρόσημο που ήδη βρήκαμε και γράψαμε στην πρώτη φάση,

αφού κάνουμε ΑΦΑΙΡΕΣΗ τους δύο αριθμούς

χωρίς να κοιτάμε άλλο τα πρόσημα τους,

δηλαδή κάνουμε την αφαίρεση:

Μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

ή με πιο μαθηματικούς όρους κάνουμε την αφαίρεση:

Μεγαλύτερη απόλυτη τιμή πλην μικρότερη απόλυτη τιμή.

Ότι βρούμε το γράφουμε στο άθροισμα μετά το πρόσημο που βρήκαμε στην πρώτη φάση.

Ορισμός στο βιβλίο:

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς,

αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη τη μικρότερη απόλυτη τιμή

και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

(+5) + (–2) =

+3

Οι αριθμοί +5 και –2 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 2

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–2

που κάνει 3 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

(–3) + (+1) =

–2

Οι αριθμοί –3 και +1 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 1

μεγαλύτερος είναι το 3 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

3–1

που κάνει 2 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

(+3) + (–7) =

–4

Οι αριθμοί +3 και –7 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 7

μεγαλύτερος είναι το 7 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

7–3

που κάνει 4 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

(–3) + (+5) =

+2

Οι αριθμοί –3 και +5 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 3, 5

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–3

που κάνει 2 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

Επίλυση ασκήσεων που βλέπω αφαίρεση αλλά τις λύνω σαν να είναι πρόσθεση.

Προτιμώ να γράφω τις παραστάσεις π.χ.  –3 –4 με κενό πριν το + ή το – παρά –3 – 4 ή –3–4 ώστε οι όροι να ξεχωρίζουν και να φαίνεται πιο εύκολο το ότι οι όροι μπορούν να αλλάξουν θέση σε μια παράσταση.

Στο βιβλίο γράφει: Η αφαίρεση μετατρέπεται σε πρόσθεση.

–3 –4

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ομόσημων αρνητικών –3, –4.

Αφού και οι δύο είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+4

που κάνει 7 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

–3 –4 =

–7

+5 –8

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –8

Οι αριθμοί +5 και –8 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 8

μεγαλύτερος είναι το 8 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

8–5

που κάνει 3 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –8 =

–3

+5 –3

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –3

Οι αριθμοί +5 και –3 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 3

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–3

που κάνει 2 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –3 =

+2

5 –6

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –6

Οι αριθμοί +5 και –6 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 6

μεγαλύτερος είναι το 6 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι –

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο μείον στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

6–5

που κάνει 1 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –6 =

–1

5 –1

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ετερόσημων   +5, –1

Οι αριθμοί +5 και –1 είναι ετερόσημοι.

Αν τους δω σκέτους χωρίς πρόσημα, δηλαδή 5, 1

μεγαλύτερος είναι το 5 που το πρόσημο του στην παράσταση είναι +

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο συν στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΑΦΑΙΡΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα)

μεγαλύτερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο) πλην μικρότερος (σκέτος, χωρίς πρόσημο)

5–1

που κάνει 4 και το γράφω μετά το συν που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

5 –1 =

+4

Επίλυση ασκήσεων που έχουν πολλούς όρους.

Πρόσθεση ρητών αριθμών (ασανσέρ) ( Integers Elevator Adding Subtracting )

Πρόσθεση ρητών αριθμών Adding and Subtracting Integers

1ο παράδειγμα

–3 –4 –2 –1 –7

Θα σκέφτομαι ότι πρέπει να κάνω πρόσθεση των ομόσημων αρνητικών –3, –4, –2, –1, –7.

Αφού και οι πέντε είναι ομόσημοι αρνητικοί

άρα σε πρώτη φάση γράφω το πρόσημο – στο άθροισμα.

Σε δεύτερη φάση ΠΡΟΣΘΕΤΩ τους αριθμούς (σκέτους, χωρίς πρόσημα) 3+4+2+1+7

που κάνει 17 και το γράφω μετά το μείον που ήδη βρήκα και έγραψα σε πρώτη φάση.

–3 –4 –2 –1 –7  =

–17

2ο παράδειγμα

–3 +4 –2 –1 +7 =

Στην παράσταση βλέπω δύο θετικούς όρους: +4, +7

Στην παράσταση βλέπω τρεις αρνητικούς όρους: –3, –2, –1

Ξαναγράφω την παράσταση ξεκινώντας με τους δύο θετικούς όρους και

στη συνέχεια γράφω τους τρεις αρνητικούς όρους.

+4 +7 –3 –2 –1 =

Προσθέτω τους δύο ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους τρεις ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

+11 –6 =

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +11, –6

+5

Δηλαδή:

–3 +4 –2 –1 +7 =

+4 +7 –3 –2 –1 =

+11 –6 =

+5

Αρκετοί μαθητές δυσκολεύονται να βάζουν όλους τους θετικούς όρους πρώτα

και όλους τους αρνητικούς ύστερα

και προτιμούν να μην τους αλλάζουν θέση

και να υπολογίζουν πόσο κάνει ο πρώτος όρος με τον δεύτερο

και να ξαναγράφουν μετά όλους τους υπόλοιπους.

Κατόπιν υπολογίζουν πόσο κάνει

αυτό που βρήκαν από τους πρώτους δύο όρους με τον επόμενο

και να ξαναγράφουν μετά όλους τους υπόλοιπους

και συνεχίζουν έτσι

μέχρι να βρουν την τιμή της παράστασης.

–3 +4 –2 –1 +7 =

+1 –2 –1 +7 =

–1 –1 +7 =

–2 +7 =

+5

Τα βήματα που ακολουθώ για να υπολογίσω την τιμή μιας παράστασης.  

6 – (+8) + (+5) + (–3) + (2) + (–9) =

πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων

6 –8 +5 –3 +2 –9 =

Κατόπιν γράφουμε πρώτα τους θετικούς όρους και ύστερα τους αρνητικούς όρους

6 +5 +2 –8 –3 –9 =

Προσθέτω τους ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

13 –20 =

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +13, –20

–7

6 – ( + 8 + ( + 5 + ( – 3 ) + 2 ) – 9 ) =

πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων (από μέσα προς τα έξω καλύτερα)

6 – ( + 8 + ( + 5 – 3 + 2 ) – 9 ) =

6 – ( + 8 + 5 – 3 + 2 – 9 ) =

6 – 8 – 5 + 3 – 2 + 9 =

Κατόπιν γράφουμε πρώτα τους θετικούς όρους και ύστερα τους αρνητικούς όρους

6 +3 +9 –8 –5 –2 =

Προσθέτω τους ομόσημους θετικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους

προσθέτω τους ομόσημους αρνητικούς μεταξύ τους και γράφω το άθροισμα τους μετά το άθροισμα των θετικών που έγραψα προηγουμένως.

18 –15 =

Βλέπω αφαίρεση αλλά σκέφτομαι ότι έχω πρόσθεση δύο ετερόσημων: +18, –15

+3

5 – ( –7 ) =     (απαλοιφή παρένθεσης)

5 + 7 =            (πρόσθεση ομόσημων θετικών)

12

–8 – (+8) =      (απαλοιφή παρένθεσης)

–8 –8 =            (πρόσθεση ομόσημων αρνητικών)

–16

–2 – ( –1 ) =     (απαλοιφή παρένθεσης)

–2 + 1 =            (πρόσθεση ετερόσημων)

–1

Σημείωση:

Όταν σε μια παράσταση ανοίγει παρένθεση (ή αγκύλη ή άγκιστρο)

και αμέσως μετά ανοίγει άλλη παρένθεση (ή αγκύλη ή άγκιστρο)

εννοείται το + μετά το πρώτο άνοιγμα παρένθεσης και πριν το δεύτερο.

2 – 8 – ( (– 4 + 9 ) ) =

2 – 8 – ( + ( – 4 + 9 ) ) =

2 – 8 – ( – 4 + 9 ) =

2 – 8 + 4 – 9

Σημείωση εντός της σημείωσης:

Οι  παραπάνω πράξεις θα μπορούσαν να γραφτούν και ως εξής:

2 – 8 – [ (– 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ + ( – 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ – 4 + 9 ] =

2 – 8 + 4 – 9

Δυστυχώς μπορεί να βρεθεί δάσκαλος που δεν ξέρει τον παραπάνω τρόπο

ότι δηλαδή όταν φεύγει η παρένθεση που είναι μέσα σε αγκύλη

είναι εξίσου σωστό μετά στην επόμενη σειρά να συνεχίζω να έχω αγκύλη

και να νομίζει ότι ο μοναδικός σωστός τρόπος είναι

στην επόμενη σειρά αντί για αγκύλη να γράφω παρένθεση.

2 – 8 – [ (– 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – [ + ( – 4 + 9 ) ] =

2 – 8 – ( – 4 + 9 ) =

2 – 8 + 4 – 9

Συνηθίζεται όταν έχουμε παρένθεση που είναι μέσα σε παρένθεση που είναι και αυτή

μέσα σε παρένθεση   7 – ( 1 – ( (– 3 + 2 ) ) )

η εξωτερική παρένθεση να γράφεται ως άγκιστρο

η επόμενη να γράφεται ως αγκύλη

και μετά η τελευταία εσωτερικά να παραμένει παρένθεση

όπως φαίνεται παρακάτω:

7 – { 1 – [ (– 3 + 2 ) ] }

Και οι τρεις παρακάτω τρόποι είναι σωστοί,

αλλά νομίζω ότι τον τρίτο τρόπο ακόμα και δάσκαλοι δεν τον ξέρουνε.

1ος τρόπος (όλοι οι δάσκαλοι στην Ελλάδα έτσι το λύνουν, δηλαδή θέλουν πρώτα να βλέπουν παρένθεση από μέσα προς τα έξω, ύστερα έξω από την παρένθεση να βλέπουν αγκύλη και ύστερα έξω από την αγκύλη να βλέπουν άγκιστρο

και ύστερα τι;;; δηλαδή αν υπήρχε και τέταρτη παρένθεση εξωτερικά πώς θα τη γράφανε;;;)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – [ 1 – ( + 3 – 2 ) ] =

7 – ( 1 – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2

2ος τρόπος (κανείς δεν τον προτιμάει αφού είναι πολύ πιο εύκολο να γίνει λάθος)

(απαλοιφή παρενθέσεων από έξω προς τα μέσα)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – 1 + [ – ( – 3 + 2 ) ] =

7 – 1 – ( – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2

3ος τρόπος (σχεδόν κανείς στην Ελλάδα δεν το λύνει έτσι διατηρώντας δηλαδή τα άγκιστρα και τις αγκύλες στην θέση τους και επειδή ίσως δεν θα το ξέρει ούτε ο δάσκαλος σας ότι είναι σωστό διακινδυνεύεται να θεωρηθεί λάθος ο τρόπος που γράφεται τα άγκιστρα και τις αγκύλες ενώ είναι ολόσωστος)

7 – { 1 – [ – (– 3 + 2 ) ] } =

7 – { 1 – [ + 3 – 2 ] } =

7 – { 1 – 3 + 2 } =

7 – 1 + 3 – 2

How Do You Remove Parentheses Brackets And Braces?

First Way? Second Way? Third Way?

First Way

7 – { 1 – [ – ( – 3 + 2 ) ] } =

7 – { 1 – [ + 3 – 2 ] } =

7 – { 1 – 3 + 2 } =

7 – 1 + 3 – 2 =

7

Second Way

7 – { 1 – [ – ( – 3 + 2 ) ] } =

7 – [ 1 – ( + 3 – 2 ) ] =

7 – ( 1 – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2 =

7

Third Way

7 – { 1 – [ – ( – 3 + 2 ) ] } =

7 – 1 + [ – ( – 3 + 2 ) ] =

7 – 1 – ( – 3 + 2 ) =

7 – 1 + 3 – 2 =

7

If You Are Learning The First Way Will Your Teacher Say That It Is Wrong To Use The Second Way?

If You Are Learning The Second Way Will Your Teacher Say That It Is Wrong To Use The First Way?

No Teacher Can Say That It Is Wrong To Use The Third Way But I Think Very Few People Prefer This Difficult Third Way!

Adding Integers Song

Να υπολογίσετε το -3+7 με 4 μαθηματικές ερωτήσεις και με 4 ερωτήσεις σε ασανσέρ.

1η ερώτηση (Ασανσέρ)

Σε ποιον όροφο είμαστε;

-3

1η ερώτηση (Μαθηματικά)

Ποιος είναι ο πρώτος όρος;

-3

2η ερώτηση (Ασανσέρ)

Το ασανσέρ πάει πάνω ή κάτω;

Πάνω.

2η ερώτηση (Μαθηματικά)

Ποιος είναι το πρόσημο του δεύτερου όρου;

Συν.

3η ερώτηση (Ασανσέρ)

Πόσους ορόφους θα μετακινηθεί;

Εφτά.

3η ερώτηση (Μαθηματικά)

Ποια είναι η απόλυτη τιμή του δεύτερου όρου;

Εφτά.

4η ερώτηση (Ασανσέρ)

Σε ποιον όροφο φτάσαμε;

Τέταρτο.

4η ερώτηση (Μαθηματικά)

Ποια είναι η τιμή της αριθμητικής παράστασης -3+7;

+4

Είναι ακριβώς το ίδιο αν πω

οποιαδήποτε από τις παρακάτω

τέσσερεις προτάσεις.

1)

Μεγαλύτερη απόλυτη τιμή πλην μικρότερη απόλυτη τιμή.

2)

Αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη απόλυτη τιμή.

3)

Αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

4)

Η διαφορά της μικρότερης απόλυτης τιμής από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

When Adding Integers I prefer to ask two questions instead of one. 

The first question is:

(What will be the sign in front of their sum?)

If you were in 2nd Grade and you saw the numbers without their signs, what is the sign of the greater one?

The second question is:

(What will be the number after the sign in front of their sum?)

If you were in 2nd Grade and you had to add or subtract the numbers without their signs, what would have been the result? 

Καθήκοντα

1η ώρα 

 ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Σύγκριση Ακέραιων (Comparing Integers)

Καθήκοντα

2η ώρα

playlist ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ

+ 0 - Άθροισμα. Πρόσημο. Integers. Adding Integers + 0 -

playlist Σύγκριση Ακέραιων

Καθήκοντα

3η ώρα 

playlist ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ

playlist Σύγκριση Ακέραιων

+ 0 - Άθροισμα. Πρόσημο. Integers. Adding Integers + 0 -

Καθήκοντα

4η ώρα 

playlist Απαλοιφή παρενθέσεων

Καθήκοντα

5η ώρα 

playlist Απαλοιφή παρενθέσεων

Καθήκοντα

6η ώρα 

Πρόσθεση ρητών αριθμών Adding and Subtracting Integers

Προτεραιότητα των πράξεων (Order Of Operations)

Προτεραιότητα των πράξεων Δημοτικού  (Order Of Operations With Natural Numbers)

Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributive Property )

playlist Απαλοιφή παρενθέσεων

Άσκηση που μόνο ένας από κάθε τμήμα μπορεί να λύσει και με την τρίτη του προσπάθεια.

Έστω δύο άγνωστοι

ετερόσημοι αριθμοί χ, ψ.

Ο χ είναι θετικός.

χ>0

Ο ψ είναι αρνητικός.

ψ<0

Η απόλυτη τιμή του χ

είναι μικρότερη από την

απόλυτη τιμή του ψ.

Σύμφωνα με τον

κανόνα πρόσθεσης

δύο ετερόσημων αριθμών

ισχύει:

χ+ψ=

-…

Απάντηση:

χ+ψ=

-(ΙψΙ-ΙχΙ)

(1/6) - [ (3/4) - (5/4) ] - [ (7/12) + (5/6) ] 

Απάντηση -3/4

Ένας στους 25 μαθητές μιας τάξης μπορεί άραγε να βρει την απάντηση στα 4 τελευταία βίντεο;

Σπάω ένα κλάσμα σε δύο. Splitting A Fraction