Introduction to Ordinary Differential Equations and Applications

Disciplina: MAP2226 - Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações

Aulas: quartas das 21:10 às 22:50  e  sextas das 19:20 às 21:00  - SALA 01 - BLOCO B

Monitor: Iván Diaz-Granados

Horário e sala da monitoria:  a definir

FÓRUM DE DISCUSSÃO DA DISCIPLINA: https://groups.google.com/g/map2226_2026/

Avaliação: Média = M = 1/2 x [(P1 + 3,0) + (P2 + 3,0)].   

(3,0 -> listas de exercícios)

M ≥ 5 -> Aprovado.

3 ≤ M < 5

PROVAS:    

P1 - 07 de Outubro

P2 - 09 de dezembro

REC - A DEFINIR

LISTAS

Ementa

Apresentação do conceito de equação diferencial ordinária em dimensão finita e do problema de Cauchy; resolução de casos simples de primeira ordem; equações diferenciais de segunda ordem; aplicações conhecidas; conceitos básicos do retrato de fases de equações autônomas; teoria de equações lineares; aplicação em Teoria de Controle; estabilidade de Liapunov e estabilidade/índice de singularidades.

Objetivos

Introduzir aos estudantes o conceito de equações diferenciais ordinárias, com métodos de resolução em casos possíveis e simples, discussão do caso linear a partir da exponencial de matrizes e do uso da forma canônica de Jordan, noção do retrato de fases, e aplicações, em particular em Teoria de Controle.

Conteúdo Programático

1) Definição de equações diferenciais ordinárias na forma normal, autônomas e não-autônomas; interpretação geométrica, campo de vetores. Enunciado do teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf para o problema de Cauchy e intervalos maximais de solução.

2) Definição de espaço de fases e retrato de fases para equações autônomas: órbitas, pontos singulares, órbitas periódicas; definição de conjuntos estável e instável de singularidades; ilustração com exemplos da literatura, incluindo sistemas caóticos.

3) Enunciados dos teoremas de dependência contínua em relação às condições iniciais. Definição de fluxo para equações autônomas.

4) Resolução de equações diferenciais escalares de primeira ordem autônomas ou separáveis. Caso linear não homogêneo. Interpretações gráficas. Exemplos de aplicações.

5) Exemplos tratáveis de sistemas de equações autônomas; campos gradientes; equações diferenciais escalares de segunda ordem e retrato de fases do caso conservativo usando integral primeira.

6) Estabilidade de Liapunov: noção de estabilidade de órbitas e de singularidades; estabilidade assintótica; Teorema de Estabilidade de Liapunov. Teorema de Instabilidade.

7) Teoria básica de equações lineares com coeficientes (possivelmente) variáveis. Método de variação de constantes. Aplicação: matriz de controlabilidade e estratégia ótima ou outras aplicações em Teoria de Controle.

8) Equações lineares a coeficientes constantes: utilização do Teorema da Forma Canônica de Jordan (real ou complexa), a partir da ideia de mudanças de coordenadas. Ênfase nos casos e exemplos em dimensão 2 e 3.

9) Estabilidade e hiperbolicidade de sistemas lineares. Índice de estabilidade. Linearização de singularidades. Aspectos sobre retrato de fases local para singularidades hiperbólicas.

Bibliografia 

Figueiredo, D. G. & Neves, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção Matemática Universitária, IMPA,1997.

Doering, C. I. & Lopes, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2005.