Descrição do site da USP:
MAP 0216 - Introdução à Análise Real/ MAT 0206 - Análise Real
Objetivos
Introduzir conceitos básicos de análise real visando tornar os alunos familiarizados com técnicas de demonstração em Matemática.
Programa
1. Números reais: introdução axiomática. Intervalos encaixantes. Sequências numéricas. Sequências de Cauchy. Limite superior e inferior. Sequências monótona limitadas. 2. Continuidade: teoremas do anulamento, do máximo e do mínimo, preservação da conexidade. Continuidade por sequências. Continuidade uniforme. 3. Derivabilidade: diferencial e teorema do valor médio. 4. Integral de Riemann: definição e exemplos especiais. Integrabilidade de funções contínuas e teorema fundamental do Cálculo. Critérios de Integrabilidade. 5. Séries numéricas e critérios de convergência. 6. Sequências e séries de funções: convergência pontual e uniforme, teste M de Weierstrass. Continuidade, integrabilidade e derivabilidade com convergência uniforme. Séries de potências e propriedades.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
D. G. Figueiredo, ANÁLISE I, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1974.
E. L. Lima, ANÁLISE REAL, vol. I, Coleção PROJETO EUCLIDES, IMPA, 1989.
M. Spivak, CALCULUS, Benjamin, New York, 1967.
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Além da bibliografia acima sugiro os seguintes textos:
- Curso de Análise Real. Cassio Neri e Marco Cabral. (UFRJ) Disponível online aqui.
- Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
- Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin. Third Edition.
- Curso de Álgebra, vol. 1 Abramo Hefez. Coleção Matemática Universitária.
- Analysis, Volume I. Terry Tao.
Para os estudantes mais interessados na parte de fundamentos:
- Foundations of Analysis. Edmund Landau. 1966
- Naive Set Theory. Halmos. 1960
E ainda, existe uma grande quantidade de livros de Análise Real atualmente e a maioria trabalha o conteúdo do curso.
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Aulas: Terças, Quintas e Sextas das 17:00 às 18:40 - Sala: 101-Bloco B
Monitores: - Ulisses Lakatos - uli.lakatos@gmail.com
- Renan Molinari - renan.molinari@usp.br
- Iuri Grangeiro - iuri.granjeiro2@gmail.com
Monitorias: - Segundas - 17h -18h - Renan - Sala: 101-Bloco B
- Quintas - 13h - 14h - Iuri - Sala: 101-Bloco B
- Sextas - 16h - 17h - Ulisses - Sala: 101-Bloco B
Grupo de discussão:
P1 - 10 de Setembro (TERÇA) - Das 17h às 23h nas salas: 144-Bloco B + 04-Bloco B
P2 - 29 de Outubro (TERÇA) - Das 17h às 23h nas salas: 144-Bloco B + 04-Bloco B
P3 - 05 de Dezembro (QUINTA) - Das 17h às 23h: Auditório Antônio Gilioli - Bloco A.
REC ANTECIPADA PARA OS QUE PRECISAM - 20 de JANEIRO: sala 132 - BLOCO A - 14h às 20h.
REC - 11 de Fevereiro - 14h às 20h - Sala: Auditório Antônio Gilioli - Bloco A.
Conteúdo das duas primeiras semanas de aula: Axiomas ZFC, conjuntos e funções (injetoras e sobrejetoras), enumerabilidade.
Conteúdo da terceira e quarta semana de aula: Conjunto dos Naturais. Conjuntos Numéricos: Inteiros e Racionais. Anéis Ordenados. Corpos Arquimedianos e Completos. Números Reais. Supremo e Ínfimo.
Conteúdo da quinta e sexta semana de aula: Teorema dos Intervalos Encaixantes. Não enumerabilidade da reta real. Sequências numéricas. Subconjuntos densos da reta.
Notas de aula - Agradeço à Giulia Cardoso Fantato por disponibilizar suas anotações aos colegas.
Se algum estudante estiver disposto a digitar essas notas, me envie uma mensagem.
Parte 1: Fundamentos da Matemática: Axiomas, um pouco de lógica e ZFC. Tabelas verdade. Conjuntos e funções. Teorema de Cantor-Bernstein. Enumerabilidade e Diagonal de Cantor. Números Naturais e Axiomas de Peano. Relações de Equivalência. Construção dos Números Inteiros e Racionais. Um pouco de Álgebra: Anéis e Domínios de Integridade. Anéis Ordenados. Desigualdade de Bernoulli. Corpos: Arquimedianos, Ordenados e Completos. Supremo e Ínfimo.
Parte 2: Construção dos Reais via Cortes de Dedekind. Teorema de Dedekind e a Completude dos Reais. Teorema dos Intervalos Encaixantes e a não-enumerabilidade da reta real. Sequências de números reais: subsequências, sequências de Cauchy e o Teorema de Bolzano Weierstrass. Lim inf e Lim sup. Espaços Métricos: exemplos, espaços completos, separáveis e poloneses. Subconjuntos densos, abertos, fechados e discretos. Fecho e pontos de acumulação. Compactos via coberturas. Prova de que compactos são limitados e fechados. Séries: convergentes e divergentes. Divergência da série harmônica e comparação entre séries. Critério do termo geral para divergência. Teste da Raiz e Teste da Razão. Raio de Convergência de uma Série de Potências. Critério de Convergência para uma série alternada. Funções contínuas: exemplos, definição via épsilon e delta, via sequências e usando pré-imagem de abertos/fechados. Permanência do Sinal e Teorema do Valor Intermediário. Funções contínuas levam intervalos em intervalos. Funções contínuas levam compactos em compactos.
Parte 3: Funções uniformemente contínuas. Funções Lipschitz. Conjuntos Compactos na Reta e o Lema de Borel-Lebesgue. Conjunto de Cantor. Conjuntos de Medida Nula e de Conteúdo Nulo. Integral de Riemann: propriedades e caracterização via diferença de somas superiores e inferiores. Caracterização de Integrabilidade usando medida nula do conjunto de descontinuidades. Sequências de Funções: convergência pontual e uniforme. Eqüicontinuidade e o Teorema de Arzelà-Ascoli. Derivada: definição e propriedades básicas. Teorema do Valor Médio.
Listas de Exercícios
Lista 1 - Entrega dia 15.08 - Quinta-Feira
Lista 2 - Entrega dia 30.08 - Sexta-Feira
Lista 3 - Entrega dia 10.09 - Terça-Feira - DIA DA PROVA 1
Lista 4 - Entrega dia 01.10 - Terça-Feira
Lista 5 - Entrega dia 11.10 - Terça-Feira
Lista 6 - Entrega dia 01.11 - Sexta-Feira
Lista 7 - Não deve ser entregue. Mas cai na P2.
Lista 8 - Entrega dia 24.11 - Terça-Feira
Lista 9 - Entrega dia 05.12 - Quinta-Feira - DIA DA PROVA 3
Fotos do curso:
P3 normal (foto da turma)
P3 panoramica (foto da turma)
Melhores momentos da P2 e P3
Pegadinha do malandro, fingiu que não ia provar, mas provou!
São 21h! Psicopatas dormindo já.
Regra de três
O aniversariante