Descrição do site da USP:
MAP 0216 - Introdução à Análise Real/ MAT 0206 - Análise Real/Introdução à Análise Real - MAP5706 - 1
Objetivos
Introduzir conceitos básicos de análise real visando tornar os alunos familiarizados com técnicas de demonstração em Matemática.
Programa
1. Números reais: introdução axiomática. Intervalos encaixantes. Sequências numéricas. Sequências de Cauchy. Limite superior e inferior. Sequências monótona limitadas. 2. Continuidade: teoremas do anulamento, do máximo e do mínimo, preservação da conexidade. Continuidade por sequências. Continuidade uniforme. 3. Derivabilidade: diferencial e teorema do valor médio. 4. Integral de Riemann: definição e exemplos especiais. Integrabilidade de funções contínuas e teorema fundamental do Cálculo. Critérios de Integrabilidade. 5. Séries numéricas e critérios de convergência. 6. Sequências e séries de funções: convergência pontual e uniforme, teste M de Weierstrass. Continuidade, integrabilidade e derivabilidade com convergência uniforme. Séries de potências e propriedades.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
D. G. Figueiredo, ANÁLISE I, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1974.
E. L. Lima, ANÁLISE REAL, vol. I, Coleção PROJETO EUCLIDES, IMPA, 1989.
M. Spivak, CALCULUS, Benjamin, New York, 1967.
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Além da bibliografia acima sugiro os seguintes textos:
Principalmente os dois primeiros, o primeiro contém vídeo aulas e muito material para direcionar seu estudo, seguirei em parte esses dois primeiros livros.
- Notas introdutórias à Análise Real. Disponível aqui. (Vídeo-aulas e muito material do projeto "Para todo épsilon" aqui.")
- Curso de Análise Real. Cassio Neri e Marco Cabral. (UFRJ) Disponível online aqui.
- Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
- Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin. Third Edition.
- Curso de Álgebra, vol. 1 Abramo Hefez. Coleção Matemática Universitária.
- Analysis, Volume I. Terry Tao.
Sobre a construção dos números reais via cortes de Dedekind:
Um aspecto que causa desconforto em muitos estudantes é o fato de muitas vezes, por falta de tempo, o conjunto dos números reais ter sua existência postulada nos cursos de análise real. Essa abordagem aliás é a mais comum. Um maior tempo gasto neste tópico sacrificaria outros temas fundamentais da disciplina de análise. Neste momento de sua carreira, é muito mais importante para o estudante saber trabalhar bem com épsilons e deltas do que saber construir a reta. A construção via cortes é feita em disciplinas anteriores em alguns cursos de licenciatura no Brasil. Nesta disciplina, há alguns anos, fiz a escolha de abordar parte desta construção no início do curso. É importante destacar que a disciplina de análise não é uma disciplina de fundamentos da matemática e que o foco justamente é o que vem DEPOIS disso. Porém, uma melhor compreensão desta parte inicial ajuda muito os estudantes de outros cursos a entenderem como trabalham os matemáticos, como é organizada e desenvolvida a teoria e as diversas linhas de pesquisa que existem na matemática tanto pura quanto mais aplicada. Os estudantes que gostariam de ler todos os detalhes desta construção têm algumas opções, entre elas:
Ler o apêndice (e fazer os exercícios desta parte) do capítulo 1 do livro Principles of Mathematical Analysis do Rudin.
Ler a construção detalhada no capítulo 6 do livro A Construção dos Números Reais e suas Extensões. Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias.
Para os estudantes mais interessados na parte de fundamentos:
- Foundations of Analysis. Edmund Landau. 1966
- Naive Set Theory. Halmos. 1960
Para a parte inicial de ZFC e também para aprenderem sobre a escrita e rigor matemático, sugiro lerem:
Os dois primeiros capítulos do livro Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
E ainda, existe uma grande quantidade de livros de Análise Real atualmente e a maioria trabalha o conteúdo do curso.
Há MUITO MATERIAL de cursos de edições anteriores, você já pode ir estudando com seus amigos/colegas:
Também há diversos cursos inteiros de Análise Real disponíveis online, basicamente com aulas ministradas por professores do mundo inteiro.
Aqui algumas (há muito mais):
Aulas e muito material do projeto da USP "Para todo épsilon" aqui.
Aulas com o próprio Elon Lima, usando o seu próprio livro conhecido como "Elinho":
Análise na Reta - Elon Lages Lima - Aula 01/19 (são 19 aulas, daqui você encontrar as outras 18)
Aulas usando o mesmo livro "Elinho", agora ministradas pelo Gugu, do IMPA:
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Aulas: Segundas, Quintas e Sextas das 17:30 às 19:10
Sala 09 - Bloco B
Monitorias:
Lara Maffei - laramaffei@usp.br Horário e sala: quartas das 19:00 às 20:00 - Sala B03
Giula Fantato - giulia.fantato@ime.usp.br Horário e sala: segundas das 16:30 às 20:00 - Sala B09
Iuri Grangeiro - iuri.granjeiro2@gmail.com Horário e sala: sextas das 16:30 às 17:30 - Sala B09
FÓRUM DE DISCUSSÃO DA DISCIPLINA:
https://groups.google.com/g/analise_ime_usp_2023
Avaliação: Média = M = 1/3 x [(P1 + 3,0) + (P2 + 3,0)+ (P3 + 3,0)]. (Esses 3,0 pontos são referentes às listas de exercícios.)
M ≥ 5 -> Aprovado.
3 ≤ M < 5 -> REC - Data a ser definida no futuro.
LISTAS
Lista 1 - ENTREGA DIA 25.09.23
PROVAS:
Aos alunos da POLI e de qualquer outra unidade que pensam em pedir carta de recomendação para admissão em universidades européias ou em programas de pós no Brasil e no exterior. Me comuniquem depois da P2 se acreditam que vão precisar da carta, enventualmente pedirei uma tarefa extra nestes casos.
P1 - 22.09.2023 -
P2 - 24.11.2023 -
P3 - 21.12.2023 -