MAP2216 - Análise Aplicada
MAP2216 - Análise Aplicada
Descrição do site da USP: MAP2216 - Análise Aplicada
Objetivos
Introduzir conceitos básicos de análise real visando tornar os alunos familiarizados com técnicas de demonstração em Matemática e aplicações.
Programa
1. Números reais: Introdução axiomática. Intervalos encaixantes. Sequências numéricas. Sequências monotônicas limitadas. Sequências de Cauchy.
2. Continuidade. Caracterização de continuidade por sequências. Teorema do valor intermediário (preservação da conexidade). Teoremas do máximo e do mínimo para funções definidas em intervalos fechados e limitados. Continuidade uniforme. Funções Convexas (definição e propriedade que f'(x) contínua e crescente implica na convexidade).
3. Integral de Riemann própria: Integral superior e inferior, definição de integral e exemplos especiais. Integrabilidade de funções contínuas e teorema fundamental do cálculo. Teoremas da média em integração.
4. Séries numéricas, convergência absoluta e convergência condicional, critérios de convergência. Aplicações. Notação o(np) e O(np).
5. Sequências e séries de funções: convergência pontual e uniforme, exemplos e contra-exemplos. Teste M de Weierstrass. Relação de continuidade, integrabilidade e derivabilidade com convergência uniforme. Convergência em média quadrática. Aplicações (Desigualdade de Parseval, sequências ortogonais).
6. Séries de potências e propriedades. Série de Taylor com resto na forma integral e na forma de Lagrange. Aplicações (aproximação de funções).
Bibliografia
Lima, E. L., Curso de Análise, vol I, do Projeto Euclides
Apostol, T. M., Calculus, Vol. 1, second edition, John Wiley & Sons
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Além da bibliografia acima sugiro os seguintes textos:
Principalmente os dois primeiros, o primeiro contém vídeo aulas e muito material para direcionar seu estudo, seguirei em parte esses dois primeiros livros.
- Notas introdutórias à Análise Real. Disponível aqui. (Vídeo-aulas e muito material do projeto "Para todo épsilon" aqui.")
- Curso de Análise Real. Cassio Neri e Marco Cabral. (UFRJ) Disponível online aqui.
- Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
- Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin. Third Edition.
- Curso de Álgebra, vol. 1 Abramo Hefez. Coleção Matemática Universitária.
- Analysis, Volume I. Terry Tao.
Sobre a construção dos números reais via cortes de Dedekind:
Um aspecto que causa desconforto em muitos estudantes é o fato de muitas vezes, por falta de tempo, o conjunto dos números reais ter sua existência postulada nos cursos de análise real. Essa abordagem aliás é a mais comum. Um maior tempo gasto neste tópico sacrificaria outros temas fundamentais da disciplina de análise. Neste momento de sua carreira, é muito mais importante para o estudante saber trabalhar bem com épsilons e deltas do que saber construir a reta. A construção via cortes é feita em disciplinas anteriores em alguns cursos de licenciatura no Brasil. Nesta disciplina, há alguns anos, fiz a escolha de abordar parte desta construção no início do curso. É importante destacar que a disciplina de análise não é uma disciplina de fundamentos da matemática e que o foco justamente é o que vem DEPOIS disso. Porém, uma melhor compreensão desta parte inicial ajuda muito os estudantes de outros cursos a entenderem como trabalham os matemáticos, como é organizada e desenvolvida a teoria e as diversas linhas de pesquisa que existem na matemática tanto pura quanto mais aplicada. Os estudantes que gostariam de ler todos os detalhes desta construção têm algumas opções, entre elas:
Ler o apêndice (e fazer os exercícios desta parte) do capítulo 1 do livro Principles of Mathematical Analysis do Rudin.
Ler a construção detalhada no capítulo 6 do livro A Construção dos Números Reais e suas Extensões. Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias.
Para os estudantes mais interessados na parte de fundamentos:
- Foundations of Analysis. Edmund Landau. 1966
- Naive Set Theory. Halmos. 1960
Para a parte inicial de ZFC e também para aprenderem sobre a escrita e rigor matemático, sugiro lerem:
Os dois primeiros capítulos do livro Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
E ainda, existe uma grande quantidade de livros de Análise Real atualmente e a maioria trabalha o conteúdo do curso.
Há MUITO MATERIAL de cursos de edições anteriores, você já pode ir estudando com seus amigos/colegas:
2021 2020 2018 2017 2016 2015 2012
Também há diversos cursos inteiros de Análise Real disponíveis online, basicamente com aulas ministradas por professores do mundo inteiro.
Aqui algumas (há muito mais):
Aulas e muito material do projeto da USP "Para todo épsilon" aqui.
Análise na Reta - Elon Lages Lima - Aula 01/19 (são 19 aulas, daqui você encontrar as outras 18)
Iniciação Científica: Análise na Reta (2017) by Gugu (IMPA).
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Aulas: Segundas das 10:00 às 11:40
Quartas das 08:00 às 09:40
Sala B143
Monitor: Iván Diaz-Granados - ifdiazr@ime.usp.br
Monitor: Felippe Montibeller - felippe.montibeller.silva@usp.br
Monitorias:
14h às 15h na A243 - Segundas - Iván
13h às 14h na A242 - Quintas - Felippe
FÓRUM DE DISCUSSÃO DA DISCIPLINA:
analise_aplicada_2025@googlegroups.com
Avaliação: Média = M = 1/3 x [(P1 + 3,0) + (P2 + 3,0)+ (P3 + 3,0)]. (3,0 -> listas de exercícios + entrevistas sobre as listas)
M ≥ 5 -> Aprovado.
3 ≤ M < 5 -> REC - Data a ser definida no futuro.
LISTAS
Lista 1 - ENTREGA DIA 17.03.25
Lista 2 - ENTREGA DIA 02.04.25
Lista 3 - ENTREGA DIA 14.04.25
Lista 4 - ENTREGA DIA 12.05.25
Lista 5 - ENTREGA DIA 26.05.25
Lista 6 - ENTREGA DIA 11.06.25
PROVAS:
P1 - 09.04.2025 - Auditório Antonio Gilioli - Das 08:00 às 13h
P2 - 21.05.2025 -
P3 - 07.07.2025 -