Análise 2020
Descrição do site da USP:
MAP 0216 - Introdução à Análise Real/ MAT 0206 - Análise Real/Introdução à Análise Real - MAP5706 - 1
Objetivos
Introduzir conceitos básicos de análise real visando tornar os alunos familiarizados com técnicas de demonstração em Matemática.
Programa
1. Números reais: introdução axiomática. Intervalos encaixantes. Sequências numéricas. Sequências de Cauchy. Limite superior e inferior. Sequências monótona limitadas. 2. Continuidade: teoremas do anulamento, do máximo e do mínimo, preservação da conexidade. Continuidade por sequências. Continuidade uniforme. 3. Derivabilidade: diferencial e teorema do valor médio. 4. Integral de Riemann: definição e exemplos especiais. Integrabilidade de funções contínuas e teorema fundamental do Cálculo. Critérios de Integrabilidade. 5. Séries numéricas e critérios de convergência. 6. Sequências e séries de funções: convergência pontual e uniforme, teste M de Weierstrass. Continuidade, integrabilidade e derivabilidade com convergência uniforme. Séries de potências e propriedades.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
D. G. Figueiredo, ANÁLISE I, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1974.
E. L. Lima, ANÁLISE REAL, vol. I, Coleção PROJETO EUCLIDES, IMPA, 1989.
M. Spivak, CALCULUS, Benjamin, New York, 1967.
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Além da bibliografia acima sugiro os seguintes textos:
- Curso de Análise Real. Cassio Neri e Marco Cabral. (UFRJ) Disponível online aqui.
- Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
- Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin. Third Edition.
- Curso de Álgebra, vol. 1 Abramo Hefez. Coleção Matemática Universitária.
- Analysis, Volume I. Terry Tao.
Sobre a construção dos números reais via cortes de Dedekind:
Um aspecto que causa desconforto em muitos estudantes é o fato de muitas vezes, por falta de tempo, o conjunto dos números reais ter sua existência postulada nos cursos de análise real. Essa abordagem aliás é a mais comum. Um maior tempo gasto neste tópico sacrificaria outros temas fundamentais da disciplina de análise. Neste momento de sua carreira, é muito mais importante para o estudante saber trabalhar bem com épsilons e deltas do que saber construir a reta. A construção via cortes é feita em disciplinas anteriores em alguns cursos de licenciatura no Brasil. Nesta disciplina, há alguns anos, fiz a escolha de abordar parte desta construção no início do curso. É importante destacar que a disciplina de análise não é uma disciplina de fundamentos da matemática e que o foco justamente é o que vem DEPOIS disso. Porém, uma melhor compreensão desta parte inicial ajuda muito os estudantes de outros cursos a entenderem como trabalham os matemáticos, como é organizada e desenvolvida a teoria e as diversas linhas de pesquisa que existem na matemática tanto pura quanto mais aplicada. Os estudantes que gostariam de ler todos os detalhes desta construção têm algumas opções, entre elas:
Ler o apêndice (e fazer os exercícios desta parte) do capítulo 1 do livro Principles of Mathematical Analysis do Rudin.
Ler a construção detalhada no capítulo 6 do livro A Construção dos Números Reais e suas Extensões. Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias.
Para os estudantes mais interessados na parte de fundamentos:
- Foundations of Analysis. Edmund Landau. 1966
- Naive Set Theory. Halmos. 1960
Para a parte inicial de ZFC e também para aprenderem sobre a escrita e rigor matemático, sugiro lerem:
A parte inicial das notas de aula do curso de Aplicações de Teoria dos Conjuntos do prof. Leandro F. Aurichi (ICMC).
Os dois primeiros capítulos do livro Real Analysis Structures. William Faris. University of Arizona. Disponível online aqui.
E ainda, existe uma grande quantidade de livros de Análise Real atualmente e a maioria trabalha o conteúdo do curso.
Há MUITO MATERIAL de cursos de edições anteriores, você já pode ir estudando com seus amigos/colegas:
Também há diversos cursos inteiros de Análise Real disponíveis online, basicamente com aulas ministradas por professores do mundo inteiro.
Aqui algumas (há muito mais):
Aulas com o próprio Elon Lima, usando o seu próprio livro conhecido como "Elinho":
Análise na Reta - Elon Lages Lima - Aula 01/19 (são 19 aulas, daqui você encontrar as outras 18)
Aulas usando o mesmo livro "Elinho", agora ministradas pelo Gugu, do IMPA:
Vídeos das aulas de 2020:
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INICÍO DAS AULAS: 31 DE AGOSTO
Aulas: Segundas, Quartas e Sextas das 17:00 às 18:40
Sala virtual: DIVULGADA NO FÓRUM DE DISCUSSÃO DA DISCIPLINA ABAIXO.
Monitores:
João Vitor Maia - joao.vitor.maia@usp.br
Thiago Alexandre - thiago2.alexandre@usp.br
FÓRUM DE DISCUSSÃO DA DISCIPLINA:
https://groups.google.com/forum/#!forum/anlise_real_2020_ime_usp
Horário das Monitorias:
Thiago Alexandre - Terças 17h-18h - Link: FÓRUM DE DISCUSSÃO
Rafael Severiano - Quintas 14h-15h - Link: FÓRUM DE DISCUSSÃO
Thiago Raszeja - Sexta 19h-20h - Link: FÓRUM DE DISCUSSÃO
Avaliação: Média = M = 1/3 x [(P1 + 3,0) + (P2 + 3,0)+ (P3 + 3,0)].(Esses 3,0 pontos são referentes às listas de exercícios.)
M ≥ 5 -> Aprovado.
3 ≤ M < 5 -> REC - Data a ser definida no futuro.
PROVAS:
Os alunos do programa DINTER, matriculados na turma Introdução à Análise Real - MAP5706 - 1, estão utilizando esse curso para seleção na pós-graduação e farão provas distintas dos demais estudantes. E ainda, farão obrigatoriamente uma entrevista por meios virtuais e/ou ao menos uma prova escrita presencial em Cuiabá.
Aos alunos da POLI e de qualquer outra unidade que pensam em pedir carta de recomendação para admissão em universidades européias ou em programas de pós no Brasil e no exterior: só serão fornecidas cartas de recomendação aos estudantes que se submeterem a uma entrevista sobre a matéria/listas por meios virtuais. Os interessados devem comunicar o desejo de fazer tal entrevista depois da P2 para agendarmos uma data/horário.
Os alunos devem utilizar apps tais como o CamScanner (ou similares) para produzir UM ÚNICO PDF para enviar suas provas e listas.
As provas e listas devem ser enviadas para o endereço: prova.analise.2020@gmail.com
P1 - 16.10.2020 - PROVA 1.0 - PROVA 1.1 - PROVA 1.2 - PROVA 1.3 - PROVA 1.4
P2 - 13.11.2020 - PROVA 2.1 - PROVA 2.2
P3 - 22.01.2021 - PROVA 3.1 - PROVA 3.2
Galeria de fotos e memes do curso