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Se un oggetto si muove in linea retta con velocità v e massa m, diciamo che ha una quantità di moto pari a \displaystyle p=mv. In analogia con la quantità di moto, lo stesso oggetto che si muove di moto circolare uniforme con una velocità ........... ω su una traiettoria circolare di raggio r . In questo caso diciamo che l’oggetto ha un ........... ..........., o ........... della quantità di moto. Ricaviamo L, appunto il ........... ..........., sostituendo le grandezze m e v con le corrispettive grandezze del moto circolare I (........... d’...........) e ω, la velocità ............

\displaystyle L=I\omega

Questa definizione è vera per qualsiasi oggetto, che sia una particella puntiforme oppure un disco o una sfera.

velocità + cerchio

Consideriamo ad esempio la particella puntiforme nella figura accanto a sinistra: siccome il suo ........... di ........... è \displaystyle I=mr_{{}}^{2} e la sua velocità tangenziale è \displaystyle v=r\omega abbiamo che:

\displaystyle L=I\omega =mr_{{}}^{2}\frac{v}{r}=rmv

Poi, siccome \displaystyle mv=p, osserviamo che L può anche essere riscritto nella forma \displaystyle L=rp. Tuttavia, questo vale solo se la particella si muove di moto circolare lungo una circonferenza. Più in generale, dobbiamo considerare una particella il cui moto forma un angolo θ rispetto alla direzione radiale. In questo caso è solo la componente tangenziale della quantità di moto che contribuisce al ........... ............ Ragion per cui l’intensità del ........... ........... per una particella che forma un angolo θ con la direzione radiale viene espressa come \displaystyle L=rmv\sin \theta . Nel caso in cui θ=90° l’ intensità del ........... ........... è massima mentre è nulla per θ=0°.

Prendiamo ora in considerazione la variazione del ........... ........... in un intervallo di tempo:

\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta t}=I\frac{\Delta \omega }{\Delta t}

Siccome poi \displaystyle \frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\alpha , abbiamo che:

\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta t}=I\alpha

Il secondo membro di quest’ equazione è il ........... torcente, per cui la seconda legge di Newton può anche essere scritta nel modo seguente:

\displaystyle \sum\limits_{{}}^{{}}{M}=I\alpha =\frac{\Delta L}{\Delta t}

Da notare è anche l’ analogia con l’ equazione \displaystyle \sum\limits_{{}}^{{}}{F}=ma=\frac{\Delta p}{\Delta t} : così come una ........... si può esprimere come una variazione della quantità di moto di un determinato oggetto, il ........... torcente si può esprimere come variazione del ........... ............

Ora vedremo l’ importanza della conservazione ........... ..........., dal moto di una pattinatrice che avvicina le sue braccia al corpo al moto di una stella che collassa espellendo materia nello spazio e quindi riducendo il suo ........... d’...........: in entrambi i casi la velocità ........... aumenta, come conservazione appunto del ........... ............ Abbiamo già visto prima che:

\displaystyle M=\frac{\Delta L}{\Delta t}

e quindi possiamo ricavare ΔL:

\displaystyle \Delta L={{L}_{f}}-{{L}_{i}}=M\Delta t

Il ........... ........... dell’ oggetto è perciò:

\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{i}}+M\Delta t

Quindi se il ........... torcente totale agente sull’ oggetto è uguale a zero (ΣM=0), il ........... ........... si conserva:

\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{i}}

Infine dalla definizione di ........... ........... \displaystyle L=I\omega ,

\displaystyle {{I}_{f}}{{\omega }_{f}}={{I}_{i}}{{\omega }_{i}}

Per ΣM intendiamo in realtà la sommatoria dei momenti agenti esterni: infatti tutti i momenti torcenti interni agiscono come coppie di azione-reazione uguali e opposte che si annullano a vicenda. Ecco perchè non consideriamo mai i momenti torcenti interni bensì solo la risultante dei momenti torcenti esterni.

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Il ........... ..........., anche detto ........... della quantità di moto, è una quantità ...........ale che in fisica viene generalmente indicata con la lettera L⃗ , e rende conto della rotazione nello spazio di un corpo massivo. Si presti attenzione a non confondere il ........... ........... L⃗ con il ........... meccanico (o ........... delle ...........) M⃗ o con il ........... lineare (detto quantità di moto) p⃗

Supponiamo di avere un punto materiale P

dotato di quantità di moto p⃗ , o equivalentemente di massa m e di velocità v⃗ (di modo che, concordemente alla sua definizione, p⃗ =mv⃗ ), che ruoti attorno ad un punto dello spazio O, detto polo della rotazione. Chiamiamo r⃗ il raggio-........... che unisce il polo O con il punto P. Si definisce allora il ........... ........... del punto P attorno al polo O il ........... L⃗ dato dal prodotto ........... tra r⃗ e p⃗ :

L⃗ =r⃗ × p⃗

Per la definizione di prodotto ..........., L⃗

possiede:

Direzione perpendicolare al piano individuato da r⃗

e p⃗

;

Verso indicato dalla “regola della mano destra”: se si pensa di compiere con la mano destra il movimento di “avvitare” il ........... r⃗

sul ........... p⃗ con le proprie dita attorno al pollice, il verso di L⃗

è quello indicato dal pollice:

Modulo pari all’area del parallelogramma avente per lati r⃗

e p⃗ , ossia r m v sin(θ), essendo θ l’angolo convesso compreso tra r⃗ e p⃗

Il ........... ........... è quindi massimo se r⃗

e p⃗ sono tra loro perpendicolari (cioè se θ=π2): questo avviene ad esempio quando il punto P si muove di moto circolare e il punto O è il centro della circonferenza, in quanto la velocità tangenziale v⃗ è perpendicolare al raggio r⃗ . Il ........... ........... è invece nullo quando le direzioni di p⃗ ed r⃗ sono parallele (cioè quando θ=0): ad esempio, quando P si muove di moto rettilineo (uniforme, uniformemente accelerato, ma non necessariamente: è sufficiente che la traiettoria sia su un’unica retta) e il polo O si trova sulla traiettoria di P

Si noti come in L⃗

siano concentrate molte informazioni:

L⃗

è direttamente proporzionale alla distanza r

dal polo: più ci si allontana dal centro di rotazione, maggiore sarà il ........... ........... sviluppato

L⃗

è direttamente proporzionale alla velocità v

del punto materiale: più il punto si muove velocemente, maggiore sarà il suo ........... ...........

L⃗

è direttamente proporzionale alla massa m

del punto materiale: un punto di massa doppia svilupperà, a pari raggio e pari velocità, un ........... ........... doppio.

La circonferenza di rotazione è situata al piano perpendicolare ad L⃗

e passante per il punto P

Notiamo anche che, una volta individuato L⃗

, il polo O può essere spostato sulla retta avente direzione parallela a p⃗ e passante per O stesso: per la definizione di prodotto ..........., le eventuali componenti del raggio-........... r⃗ su questa retta non contribuiscono alla determinazione di L⃗ . Infatti, parallelogrammi aventi la stessa altezza e la stessa base hanno anche la stessa area: nel nostro caso, la base è costituita da p⃗ , mentre l’altezza è la distanza della rella l dal punto P

Un punto materiale ruotante dispone però anche di una velocità ...........: come si legano ........... ........... e velocità ...........? La risposta è costituita dal ........... d’............

Pensiamo a un punto P

che ruota di moto circolare attorno a un polo O ed è dotato dotato di un ........... ........... (rispetto ad O) L⃗ =r⃗ ×p⃗ =r⃗ ×(mv⃗ ). Per quanto detto prima sulla posizione di O, possiamo supporre che r⃗ sia perpendicolare a p⃗ . Il moto di P è circolare, e dunque è caratterizzato da una velocità ........... ω=vr⇒v=ω r, e il ........... ........... invece è L=r m v. Riscriviamo la formula del ........... ........... sfruttando l’espressione della velocità ...........: L=r m(ω r)=mr2 ω. La quantità mr2 prende il nome di ........... d’..........., e viene indicato con la lettera I, da cui si deduce l’uguaglianza

L=I ω

Abbiamo visto come una ........... che imprima una rotazione è responsabile di un ........... meccanico. Sussiste un legame molto profondo tra ........... meccanico e ........... ...........: ci apprestiamo ora ad illustrarlo.

Sia P

un punto materiale soggetto ad un ........... delle ........... M⃗ : M⃗ calcolato rispetto ad un ........... di rotazione a e quindi rispetto a un polo O situato su quest’...........; detto r⃗ il raggio-........... che collega O a P, ed F⃗ la ........... applicata in P, è

M⃗ =r⃗ ×F⃗

Ora sfruttiamo l’equazione fondamentale della dinamica per scrivere F⃗ =ma⃗ all’interno del ........... meccanico:

M⃗ =r⃗ ×(ma⃗ )

Ricordiamo la definizione di accelerazione: si tratta della variazione di velocità Δv⃗ , avvenuta in un intervallo di tempo di durata Δt: a⃗ =Δv⃗ Δt. La formula del ........... meccanico diventa quindi

M⃗ =r⃗ ×(mΔv⃗ Δt)=r⃗ ×(mΔv⃗ )Δt

Riconosciamo in questa espressione una variazione di ........... ...........: se il ........... ........... è L⃗ =r⃗ ×(mv⃗ ), la sua variazione, avvenente nell’intervallo Δt, è proprio r⃗ ×(mΔv⃗ )! Concludiamo quindi che

M⃗ =ΔL⃗ Δt

Questa relazione è talmente importante che, nei sistemi in rotazione, sostituisce la legge fondamentale della dinamica! Infatti, è ad essa equivalente (ossia, assumendo M⃗ =ΔL⃗ Δt come vera si può dedurre la formula F⃗ =ma⃗

), ma le quantità coinvolte sono più facilmente ricavabili per sistemi ruotanti. Nella seguate animazione, un ........... delle ........... (in blu) viene applicato ad un corpo ruotante per modificarne il ........... ........... (in verde):

Una ..........., quindi, è responsabile della variazione del ........... ............ Da questa affermazione ne deduciamo che, in ...........nza di ........... o in equilibrio, ossia, concordemente con il principio d’..........., quando la risultante di tutte le ........... e di tutti i momenti delle ........... è nulla, il ........... ........... non presenta variazioni: in altre parole, il ........... ........... si conserva. Sarebbe più corretto affermare che “tende” a conservarsi: non appena interviene una ..........., la quale causa un ........... meccanico, il ........... ........... si modifica.

Questo risultato, apparentemente molto teorico e privo di riscontri pratici, è invece sotto gli occhi di tutti: basta osservare una ruota di una bici o di una moto. Da ferma, a velocità v=0

, non è presente ........... ..........., e la ruota (assieme a bici, moto, conducente e quant’altro), se non viene tenuto in piedi con qualche altro mezzo (tipicamente le nostre gambe), cascherà per terra. Ma non appena inizia a girare, la ruota “rimane” in piedi: responsabile di questo fatto è il ........... ........... L⃗ di cui essa è dotata. Il ........... L⃗ tende a conservarsi, e, assieme ad esso, il piano ad esso perpendicolare, su cui è “appiccicata” la moto: sin tanto che L⃗

è presente, la moto non ha bisogno di altro per reggersi in piedi.

Un’altra conseguenza molto importante della conservazione del ........... ........... è il fatto che i pianeti abbiano orbite piane: questo fatto viene enunciato dalle leggi di Keplero.

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La lezione introduce il concetto di ........... ........... e quello di ........... di ............ Si procede poi verso l’introduzione della legge fondamentale della dinamica rotatoria.

RIFERIMENTI DIDATTICI

Il ........... ........... è una grandezza fisica cui non si dedica, di norma, uno spazio adeguato all’interno della programmazione didattica.

Un monte ore sempre più limitato, specie negli Istituti Tecnici, fa sì che gli sforzi maggiori vadano rivolti all’acquisizione da parte dei discenti di conoscenze relative alle leggi della meccanica del punto materiale (vedi le tre classiche “leggi della dinamica”) ritenute non a torto “irrinunciabili”, rispetto alla trattazione di temi inerenti la meccanica dei corpi rigidi.

La riforma della scuola superiore almeno nei Licei scientifici ha però modificato la situazione introducendo 2 ore di fisica a partire dal primo anno. Nel biennio iniziale è così prevista una prima esposizione delle leggi di Newton. Nel secondo biennio, le indicazioni nazionali del 2010, raccomandano un percorso didattico capace di dare maggiore rilievo all’impianto teorico (leggi della fisica) e alla sintesi formale (strumenti e modelli matematici).

Il ........... ........... (e la relativa legge di conservazione) diviene quindi uno snodo concettuale di non secondaria importanza facente parte a pieno titolo degli obiettivi specifici di apprendimento del terzo anno di Liceo.

L’argomento offre agganci trasversali con altre discipline di profondo ed elevato spessore culturale che, allorquando esplicitati, risultano sempre di grande presa sugli gli studenti, favorendone il coinvolgimento e la convinta partecipazione.

Nell’introdurre il tema del ........... ..........., sarebbe preferibile far precedere la canonica discussione sul comportamento di trottole e biciclette, con un inquadramento concettuale di portata interdisciplinare: il rischio da evitarsi è quello di relegare concettualmente il tema al “repertorio delle curiosità e delle stranezze”, affascinanti per qualche potenziale ingegnere seduto di fronte a noi, ma prive di quel fascino culturale di alto profilo, derivante dal ruolo che il tema della conservazione riveste nell’ambito della fisica, quale suo nucleo fondante e organizzatore cognitivo.

Proviamo invece a vedere in rapida r...........gna un paio di spunti per operare questi collegamenti, utili per accrescere, ripetiamo, la motivazione e l’interesse degli studenti (altri di più facile presa, sono contenuti esplicitamente nel testo della lezione).

Fisica-Matematica

Il ........... ........... insieme all’energia e alla quantità di moto si conserva nei sistemi isolati. Fu una giovane matematica tedesca, Emmy Noether nel 1918, a scoprire in un suo celeberrimo teorema che i principi di conservazione della fisica derivano in realtà da proprietà di simmetria, o di invarianza, dei sistemi analizzati, o meglio delle leggi che li descrivono.

Più semplicemente quali sono le classi di trasformazioni che garantiscono la conservazione dell’energia, dell’impulso e del “nostro” ........... ...........? Sono, rispettivamente, le traslazioni nel tempo, le traslazioni spaziali e le rotazioni. L’invarianza per traslazioni temporali o spaziali è necessaria, se si vuole che un esperimento dia gli stessi risultati se eseguito a distanza di tempo o in località distinte, mentre l’invarianza per rotazioni è necessaria, se si vuole che il risultato di una misurazione sia il medesimo, prima e dopo aver ruotato l’apparato sperimentale. L’Universo nel quale viviamo sembra quindi regolato da leggi che ne definiscono una sostanziale isotropia spazio-temporale.

Chimica

Nell’atomo si definiscono il ........... ........... orbitale (di rivoluzione dell’elettrone attorno al nucleo) e il ........... ........... intrinseco (o di spin) (di rotazione attorno al proprio ...........) che rappresentano due degli ingredienti fondamentali per comprendere il processo di quantizzazione, oggetto questo di approfondito studio nel corso di Chimica, oltre che in quello di Fisica nell’ultimo anno di liceo scientifico.

Dopo questa introduzione, che ovviamente sarà stata condotta con un taglio molto agile e divulgativo, prenderà corpo la lezione vera e propria: in essa si è dato ampio spazio alle osservazioni sperimentali più tradizionali presentate sempre in modo qualitativo, limitando a soli suggerimenti l’indicazione di un percorso didattico deduttivo formalizzato.

Le esperienze proposte possono essere realizzate direttamente in cl........... oppure commentate a partire dai video proposti (vedi sezione RISORSE WEB); importante è chiedere poi di spiegare in qualche modo ciò che si è osservato. Una successiva discussione guidata potrà selezionare le idee più interessanti rispetto a quelle palesemente infondate o contraddittorie.

Prerequisiti

È importante aver già introdotto gli elementi di base della cinematica e, quanto alla dinamica, il concetto di ..........., con particolare attenzione alla ........... di gravità.

Video: Un giroscopio giocattolo

Il ........... ...........

Tutti abbiamo osservato le evoluzioni di una pattinatrice sul ghiaccio o i tuffi da una piattaforma dei campioni olimpionici. Ed è abbastanza facile rendersi conto che le velocità di rotazione diminuiscono quando gli atleti allontanano braccia e gambe dal corpo e aumentano, invece, quando li avvicinano.

Eppure, pattinatori e tuffatori palesemente non si ‘spingono’ in alcun modo: i pattinatori ruotano sul ghiaccio, quindi in condizioni di quasi ...........nza di attrito, e i tuffatori sono addirittura sospesi in aria quando muovono braccia e gambe. Le ........... esterne agenti sono la ........... di gravità e la reazione della superficie ghiacciata (solo per i pattinatori) e agiscono nello stesso modo per tutta la durata dei movimenti (piroette sul ghiaccio e tuffi).

Non può essere, quindi, una ........... la causa di ciò che osserviamo. Un altro semplice e divertente esperimento è farsi dare una bella spinta mentre si sta seduti su una piattaforma girevole a basso attrito. Meglio ancora se si tengono in mano dei bilancieri o dei pesi. Si nota facilmente che la velocità di rotazione diminuisce se si distendono le braccia, mentre aumenta se le si avvicina al corpo.

Ma le domande non sono ancora finite… Perché è più facile mantenere l’equilibrio andando in bicicletta ad alta velocità piuttosto che a bassa velocità? (per i più esigenti: provate manualmente a ruotare il piano di rotazione di una singola ruota di bicicletta mentre gira velocemente intorno a un ...........).

Ma anche: perché una trottola non cade mentre ruota e come è possibile far compiere a certi giocattoli simili alle trottole (i giroscopi) evoluzioni che sembrano apparentemente violare le leggi della meccanica?

La costruzione di nuovi concetti per descrivere i fatti sperimentali

A questo punto gli studenti devono essere guidati alla costruzione dei nuovi concetti fondamentali per la spiegazione, ovvero il concetto di ........... ........... e di ........... di ............

Il lavoro di ricerca inizia con una attenta riflessione su quali sono le grandezze importanti che variano durante i fenomeni osservati. Si può costruire inizialmente il concetto di ........... ........... di un corpo puntiforme che ruota su una traiettoria circolare dopo aver osservato che le grandezze decisive sono la massa m del corpo, la sua velocità tangenziale di rotazione v (quindi la sua quantità di moto mv ) e la sua distanza dall’........... di rotazione r.

Definiamo allora ........... ........... di un corpo di massa m la grandezza ...........ale:

L = r x mv

Questa definizione del ........... L ( che ha direzione perpendicolare al piano che contiene i ........... mv e r, e verso definito dalla nota regola della mano destra utilizzata nel prodotto ...........ale di due ...........) tiene conto di tutte le grandezze sperimentalmente rilevanti.

Il concetto di ........... di ........... nasce dall’esigenza di descrivere ciò che cambia in un corpo rigido in rotazione intorno a un ..........., quando diverse parti di questo corpo variano le loro distanze dall’........... di rotazione (che è esattamente ciò che succede a pattinatori e tuffatori), ciò che differenzia, quindi, da un punto di vista rotatorio, corpi di uguale massa.

Semplici esperimenti qualitativi di laboratorio possono illustrare facilmente la diversa spinta necessaria a mettere in rotazione corpi di differenti momenti di ........... ma uguale massa, come dischi, cilindri, sfere e gusci sferici, e quindi la differente ........... rotatoria di questi corpi.

Il ........... di ........... I, rappresenta la resistenza che oppone un corpo quando si tenta di variare il suo ........... ..........., così come la massa di un corpo (l’...........) rappresenta la resistenza del corpo quando si tenta di variare la sua velocità.

Fig.1LEZIONE Le evoluzioni di una pattinatrice possono essere messe in relazione con il ........... ...........

La legge fondamentale della dinamica rotatoria

Il passaggio teorico successivo è l’introduzione della legge fondamentale della dinamica rotatoria:

M = ΔL/Δt (1)

dove M rappresenta il ........... risultante delle ........... agenti sul corpo e ΔL la corrispondente variazione del ........... ........... del corpo nell’intervallo di tempo Δt.

La dimostrazione rigorosa della legge è piuttosto complessa ma, come vedremo, è possibile introdurla e, in qualche modo giustificarla, costruendo un’analogia tra moto traslatorio e moto rotatorio.

La condizione necessaria per la conservazione del ........... ..........., che segue dalla legge (1), è: M = 0, che implica ΔL = 0 e quindi L = costante.

Fig.2LEZIONE Equilibrio in un giroscopio

La spiegazione dei primi esperimenti

Arriviamo finalmente ad una spiegazione sintetica dei primi fenomeni osservati sulla base del principio enunciato: pattinatori, pattinatrici, tuffatori e tuffatrici, mantengono il loro ........... ........... perché il ........... risultante delle ........... applicate relativamente al loro centro di massa è uguale a zero, o perché la risultante delle ........... applicate è nulla (pattinatori) o perché la ........... peso (l’unica ........... che agisce sempre su tutti i corpi) passa per il centro di rotazione dei tuffatori coincidente con il centro di massa.

Poiché il ........... ........... L può essere scritto in funzione del ........... di ........... I e della velocità ........... ω: L = Iω, si spiega perché, se L è costante, al crescere del ........... di ..........., diminuisce la velocità ........... di rotazione e viceversa.

Fig.3LEZIONE Effetto giroscopico nel motociclismo

Approfondimenti

Analogie tra moto di traslazione e moto di rotazione

Un primo importante approfondimento riguarda il carattere ...........ale del ........... ........... e della velocità ........... ω:

L = Iω (2)

Se L rappresenta il ........... ........... ...........ale, ω la corrispondente velocità ..........., deve essere anch’essa una grandezza ...........ale ( mentre I è il ........... di ........... del corpo).

La scrittura ...........ale delle relazioni (1) e (2) permette di stabilire una completa corrispondenza tra grandezze del moto di traslazione e grandezze del moto di rotazione, in particolare tra:

- spostamento lineare e spostamento ...........,

- velocità rettilinea e velocità ...........,

- accelerazione lineare e accelerazione ...........,

- massa e ........... di ...........,

- ........... risultante e ........... risultante delle ...........,

- quantità di moto e ........... ...........

In generale, quindi, tra dinamica traslazionale e dinamica rotazionale, e infine tra conservazione della quantità di moto e conservazione del ........... ............

Il ragionamento analogico è fondamentale per comprendere meglio la portata e il significato dei nuovi concetti proprio nel confronto con concetti e situazioni ‘simili’, già incontrati in precedenza.

Analogie e differenze costituiscono un vero e proprio strumento conoscitivo in grado di strutturare le conoscenze degli studenti in reti stabili.

Applicazioni tecnologiche del giroscopio

Il giroscopio è un dispositivo meccanico il cui funzionamento si basa sulla legge di conservazione del ........... ........... e che trova larga applicazione in numerosi ambiti tecnologici.

E’ costituito da un disco, omogeneo e massiccio, collegato per mezzo di supporti meccanici a una sbarra cilindrica passante per il suo centro. Gli estremi di questa sbarra sono imperniati in un supporto fisso in modo da consentire ogni orientamento dell’........... e ogni moto del disco intorno al suo baricentro (anch’esso fisso): se al disco viene impressa una rapidissima rotazione intorno al suo ........... (velocità giroscopica) e questo viene puntato verso un riferimento ...........le (per es. una stella fissa), quel puntamento permane invariato finché dura la rotazione (principio della permanenza degli assi giroscopici); inoltre, se si applica in un punto dell’........... una ........... sufficiente a causarne una deviazione, questa non si manifesta (come ci si potrebbe aspettare) nel piano che contiene l’........... e la ..........., ma, con un moto detto di precessione, nella direzione del ..........., perpendicolare a tale piano (principio della tendenza al parallelismo dell’........... giroscopico con il ........... delle ........... sollecitante).

Bicicletta e motociclette

Possiamo spiegare a questo punto la maggiore stabilità della bicicletta quando ci si muove a velocità elevata. Le ruote della bicicletta ruotano in un piano verticale, il ........... della ........... di gravità è nullo perché attraversa il baricentro del corpo e, di conseguenza, il ........... ........... ...........ale della bicicletta rimane costante e mantiene in equilibrio la bicicletta, opponendosi alla variazione del piano di rotazione della ruota. Se l’attrito non riducesse la velocità della bicicletta, una volta raggiunta una velocità sufficiente, si potrebbe proseguire all’infinito (si noti la somiglianza tra questo ragionamento e l’esperimento ideale galileiano alla base del principio di ...........).

Per variare il piano di rotazione delle ruote della bicicletta (e, quindi, il suo ........... ...........) sarebbe necessario applicare alla bicicletta una ........... esterna piuttosto significativa, in grado di esercitare un forte ..........., ad esempio una spinta dall’esterno perpendicolare al piano delle ruote.

Se la bicicletta si muove a bassa velocità, il suo ........... ........... è minore ed è più facile quindi perdere l’equilibrio, ovvero, in linguaggio fisico, è sufficiente una piccola ........... (il risultato di un urto, una buca ecc.) per variare il piano di rotazione delle ruote.

Quindi riassumendo, equilibrio dinamico di una bicicletta o di una motocicletta si deve al principio della permanenza degli assi giroscopici delle due ruote: le mani al cielo dello sprinter vittorioso che taglia il traguardo sono la manifestazione evidente che il manubrio gode di una relativa stabilità.

Meno intuitiva, ma sempre connessa con gli effetti giroscopici del mezzo, è la controsterzata che i motociclisti utilizzano nell’attacco di una curva e che provoca la cosiddetta “piega” del veicolo verso l’interno stesso della curva. Si spiega in termini di moto di precessione: infatti il ........... ........... della ruota anteriore viene ...........to dal ........... torcente esercitato dal pilota sulla ruota; in conseguenza di ciò di verifica una rotazione della motocicletta attorno all'........... di rotazione parallelo alla sua direzione di marcia che la fa inclinare verso l’interno della curva.

Giroscopio direzionale negli aerei

Strumento impiegato nella navigazione aerea per il controllo della direzione di volo nel quale un giroscopio sospeso per mezzo di giunti cardanici, e il cui ........... di rotazione è mantenuto orizzontale per mezzo di dispositivi elettrici o meccanici, è collegato a una scala di lettura: grazie all’invariabilità dell’orientamento dell’........... giroscopico, lo strumento è in grado di fornire indicazioni sulle variazioni di direzione dell’aeromobile, sostituendo nelle fasi di virata la bussola magnetica, rispetto alla quale reagisce con maggior prontezza e risente meno degli effetti delle accelerazioni.

Lo stabilizzatore giroscopico delle navi

Per attenuare l’oscillazione delle nave attorno all’........... longitudinale poppa-prua (rollio) vengono montati nella chiglia degli stabilizzatori giroscopici formati da un volani rotanti ad alta velocità attorno al proprio ............ Quando il rollio fa inclinare la nave, si forma una coppia giroscopica stabilizzatrice sul piano a 90° che tende a smorzarlo: l’oscillazione della nave che si determina attorno a questo ........... trasversale (chiamata di beccheggio) presenta una infatti ........... di ........... relativo a questo ........... longitudinale assai maggiore rispetto a quello presente nel rollio e dunque avviene con una velocità ........... minore.

Stabilizzazione traiettoria dei proiettili e puntamento telescopi

Per conferire una stabilità alla traiettoria dei proiettili espulsi dalle canne delle armi da fuoco, si praticano delle rigature interne elicoidali sulle canne stesse al fine di imprimere un moto di rotazione giroscopica. Sistemi giroscopici vengono normalmente utilizzati dalle navi per stabilizzare il puntamento di antenne verso satelliti per le telecomunicazioni o quello dei sistemi d’arma verso gli obiettivi in modo tale da ovviare alle perturbazioni indotte dal moto ondoso. Analogamente i sistemi di guida ...........le prevedono che dei sistemi giroscopici orientino il veicolo puntando costantemente rispetto alle stelle fisse.

Fig.4LEZIONE Esempio di girobussola per imbarcazioni

Applicazioni in campo astronomico e astrofisico

La seconda legge di Keplero

Una prima applicazione astronomica classica riguarda il moto di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole e la seconda legge di Keplero: in tempi uguali il raggio ........... che unisce il pianeta al Sole percorre aree uguali. Si può dimostrare che è una conseguenza del principio di conservazione del ........... ...........: la ........... centrale del Sole ha, infatti, ........... nullo relativamente al centro dell’orbita che passa per il centro di massa del pianeta.

La rotazione terrestre

Una seconda applicazione riguarda la rotazione della Terra intorno al proprio ........... . La rotazione continua da miliardi di anni per la conservazione del ........... ........... della Terra, perché la ........... gravitazionale del Sole, ha ........... nullo anche relativamente all’........... di rotazione terrestre. La Terra, come una pattinatrice durante la figura della trottola, può variare la velocità di rotazione solo cambiando il ........... di ..........., in conseguenza di dislocazioni di m........... significative: un terremoto intenso, uno tsunami possono alterare la durata del giorno. Gli ultimi eventi catastrofici hanno accorciato il giorno di pochi microsecondi come se la massa si fosse concentrata più vicina al suo ........... provocando un leggerissimo aumento di velocità. Ovviamente vi sono altri fenomeni che riguardano l’atmosfera (venti) e l’idrosfera (correnti oceaniche) che producono variazioni molto più intense .

La forma delle galassie

Una terza conseguenza riguarda la forma delle galassie. I due parametri, che giocano il ruolo principale nel controllare l’evoluzione di una galassia, sono la massa e il ........... ........... della nube di gas, dalla quale essa trae origine. Passando dalle galassie ellittiche a quelle a spirale, diminuisce la massa mentre aumenta il ........... ........... iniziale. In nubi di grande massa e ........... ........... relativamente piccolo, la formazione delle stelle e il conseguente esaurimento del gas diffuso procedono più rapidamente del collasso gravitazionale globale: il sistema, allora, evolve verso una galassia ellittica, che sarà tanto meno schiacciata quanto più rapido è stato l’esaurimento del gas. In nubi di massa minore e velocità rotazionali più elevate, il collasso globale, in direzione polare, procede, invece, più rapidamente del processo di formazione delle singole stelle, sicché la galassia assume la forma di un disco appiattito (galassia a spirale).

Le stelle di neutroni

Una quarta conseguenza si ha nelle stelle di neutroni, ovvero negli antichi resti delle supernove, che ruotano in modo molto rapido dopo il collasso gravitazionale che ha ridotto il loro raggio, proprio a causa della legge di conservazione del ........... ...........: talune di queste stelle di neutroni emettono radiazione in modo pulsante allo stesso modo con cui apparirebbe la luce emessa da un da un faro che gira, da cui il loro nome di pulsar.

Il Sistema solare

Concludiamo questa rapida r...........gna evidenziando un tema in cui il ........... ........... rappresenta più un problema che un aiuto predittivo: il sistema solare. Il centro di massa del nostro sistema solare coincide quasi esattamente col Sole, eppure il ........... ........... della nostra stella rappresenta una percentuale piccolissima di quello totale. Questo perché la velocità di rotazione del Sole è estremamente lenta rispetto a quella dei pianeti. Tutte le teorie della formazione del sistema solare prevedono una velocità elevata della stella, quindi introducono un meccanismo per spiegare la riduzione di velocità.

Fig.5LEZIONE Classificazione delle galassie

RISORSE SUL WEB (Esperienze dimostrative)

> Le spettacolari evoluzioni di un giroscopio giocattolo

> Giroscopio cosa è a cosa serve: Rai Scienze

> Capire la conservazione del ........... ........... con il GeoMag

> Un video relativo all'Esercizio E della verifica

> Una ruota di bicicletta come giroscopio

> Come affrontare una curva in moto

> Giroscopio di Foucault

> Un giroscopio anche sull'iPhone

Risorse Treccani

> ........... d'...........; ........... ...........

> Giroscopio

> Che cosa è una legge di conservazione?

> Giocattoli in cl........... per introdurre la cinematica

Bibliografia

Autore Titolo Edizione

G.P. Parodi; M. Ostili; G. Mochi Onori Fisica in evoluzione Paravia Pearson Italia spa 2012

A. Caforio; A. Ferilli Il senso della fisica Le Monnier Scuola 2011

J.S. Walker Corso di Fisica Pearson Italia spa 2011

U. Amaldi L'Amaldi per i licei scientifici Zanichelli 2012

A. B. Arons Guida all'insegnamento della fisica Zanichelli 1992

LA VERIFICA

ESERCIZIO A

Tre cilindri a, b e c, di massa uguale (vedi figura in basso, a sinistra), sono liberi di ruotare attorno agli assi verticali dei perni a cui sono rigidamente vincolati; tali perni sono posti in rotazione mediante l’applicazione di tre coppie di ........... C1, C2, C3, rispettivamente identiche tra loro e quindi caratterizzate dallo stesso ............

Dopo un certo tempo, si osserva che i tre corpi ruotano con tre diverse velocità angolari, rispettivamente ω1 , ω2 e ω3 , tali che ω1 > ω2 > ω3 .

Ciò è dovuto al fatto che i momenti d'........... I1, I2 e I3 dei cilindri rispetto agli assi di rotazione sono tali che:

1. (I1 < I2 < I3) □VERO □ FALSO

2. (I1 > I2 > I3) □VERO □ FALSO

3. (I1 = I2 > I3) □VERO □ FALSO

ESERCIZIO A → Risposta 1 VERO

→ Risposta 2 FALSO

→ Risposta 3 FALSO

ESERCIZIO B

Riferendoci ancora all’esercizio precedente il ........... ........... dei cilindri (dato dal prodotto del ........... d’........... per la velocità ...........) risulta, a un medesimo istante:

1. Identico nei primi due casi e differente nel terzo □VERO □ FALSO

2. Identico nei tre casi □ VERO □ FALSO

3. Differente nel primo caso e identico nei rimanenti due □VERO □ FALSO

ESERCIZIO B → Risposta 1 FALSO

→ Risposta 2 VERO

→ Risposta 3 FALSO

ESERCIZIO C

La caratteristica più originale del pianeta Urano (vedi figura in basso, al centro), è l'orientazione dell'........... di rotazione: quasi giacente sul piano dell'eclittica, a differenza di tutti gli altri pianeti nei quali l’........... è perpendicolare al piano stesso. L'ipotesi più accreditata per spiegare questo fenomeno è basata sull'ipotesi di una collisione (urto non centrale) avvenuta in epoche remote con un planetesimo di massa simile a quella della Terra.

Alla luce della legge fondamentale della dinamica rotatoria, rispondi:

1. L’urto non centrale implica il fatto che la distanza tra la retta di azione della ........... impulsiva e il centro di rotazione del pianeta sia risultata diversa da zero

□VERO □ FALSO

2. Il ........... delle ........... agenti su di Urano è sempre stato nullo sin dalla sua formazione □VERO □ FALSO

ESERCIZIO C → Risposta 1 VERO

→ Risposta 2 FALSO

Esercizio D

Data una massa m che si muove lungo una traiettoria circolare sotto l’azione di una ........... centripeta di modulo costante, il modulo della sua velocità tangenziale risulterà anch’esso costante....

1. perché il ........... M della ........... centripeta rispetto al centro di rotazione è diverso da zero □VERO □ FALSO

2. perché il ........... ........... L, calcolato rispetto al centro di rotazione, è costante □VERO □ FALSO

ESERCIZIO D → Risposta 1 FALSO

→ Risposta 2 VERO

ESERCIZIO E

Due cilindri di uguali dimensioni sono composti entrambi da due materiali aventi la stessa massa (acciaio e plastica). Il primo cilindro ha il metallo posto più lontano dal proprio ..........., il secondo presenta invece l’acciaio nella parte più interna (vedi figura in basso, a destra).

I due cilindri vengono fatti rotolare lungo due piani inclinati identici partendo dalla stessa altezza.

1. I due cilindri hanno lo stesso raggio e la stessa massa quindi anche i momenti d’........... sono uguali. □VERO □ FALSO

2. Quale cilindro raggiungerà prima il bordo inferiore del piano inclinato?

□IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

3. Al termine della corsa quale cilindro avrà velocità di traslazione maggiore? □IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

4. Al termine della corsa quale cilindro avrà energia cinetica (traslazionale più rotazionale) maggiore?

□IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

5. Al termine della corsa quale cilindro avrà energia meccanica maggiore?

□IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

6. Nell’ipotesi che i due cilindri invece di rotolare scivolino lungo i piani inclinati, quale cilindro raggiungerà prima il bordo inferiore del piano inclinato? □IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

7. Al termine della corsa quale cilindro avrà velocità maggiore?

□IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

8. Al termine della corsa quale cilindro avrà energia cinetica maggiore?

□IL PRIMO □ IL SECONDO □NESSUNO DEI DUE

9. Al termine della corsa quale cilindro avrà energia meccanica maggiore?

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........... di una ........... - ........... ........... di un corpo

Breve spiegazione di fisica sul ........... di una ........... rispetto ad un punto, il ........... di una coppia di ..........., il ........... ........... (o della quantità di moto) di un corpo e il suo ........... d'............

Luca__96 di Luca__96

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Il ........... di una ........... e il ........... ...........

Prodotto ...........ale:

Dati due ........... r e f, il loro prodotto ...........ale è il ........... caratterizzato da:

1. direzione perpendicolare al piano individuato da s e r.

2. verso che può essere definito o entrante (rivolto verso il basso) o uscente (rivolto verso l’alto). Guardando dall'alto, se ruotando il primo ........... verso il secondo compiendo un angolo minore di 180° la rotazione è oraria, allora il ........... sarà entrante, viceversa il ........... sarà uscente.

3. modulo dato dall’area del parallelogrammo che formano i due ............

Video appunto correlato

........... di una ........... rispetto a un punto:

E' il prodotto fra l’intensità della ........... F ed il suo ........... b. Il ........... della ........... è la distanza tra il punto di applicazione della ........... e il centro di rotazione (se indichiamo con r il segmento che unisce il punto di applicazione della ........... con il centro di rotazione, vale che: b = r sen(a), dove a è l'angolo tra r e la direzione di F. Quindi il ........... della ........... è il prodotto ...........ale tra F ed r.). Per convenzione diciamo che il ........... è positivo se causa una rotazione in senso antiorario, e negativo se causa una rotazione in senso orario.

Il ........... di una ........... rispetto ad un punto è effettivamente la grandezza ...........ale che descrive adeguatamente l’effetto rotatorio di una ............ È il prodotto ...........ale tra la ........... F e il raggio r (che unisce il punto di applicazione della ........... al centro O di rotazione).

Esso:

1. Dipende dalla ........... e dal suo punto di applicazione

2. È massimo quando F ed r sono perpendicolari, infatti in questo caso il seno dell’angolo vale 1, e quindi il prodotto ...........ale e quello "normale" si equivalgono;

3. È uguale a zero quando essi sono paralleli;

4. L’effetto della ........... aumenta con l’angolo fino a 90 gradi.

........... di una coppia di ...........:

Due ........... parallele di uguale modulo e verso opposto formano una coppia di ............

Il ........... di una coppia di ........... è uguale al prodotto dell’intensità di una delle due ........... per il ........... della coppia: M=Fb.

Il ........... di una coppia di ........... è definito come il prodotto ...........ale di una delle due ........... per il raggio ab, ovvero il segmento orientato da A e B, che sono i punti di applicazione delle due ............ La direzione del ........... è perpendicolare al piano su cui giacciono le due ............ E il verso si ottiene applicando la regola "della mano destra" ai ........... raggio AB e F.

Il ........... ........... di un corpo:

Se un sistema è isolato, si conserva la quantità di moto totale del sistema. Ciò implica che il centro di massa rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme, ovvero segue il principio d’............

Ora ci chiediamo se esiste un principio analogo per i moti rotatori, un’........... rotatoria, ovvero una tendenza del corpo a mantenere il suo moto rotatorio.

In termini più fisici, se esiste una grandezza che si conserva durante il moto rotatorio del sistema e, se sì, in quali condizioni.

Per rispondere dettagliatamente a queste domande bisogna prendere in esame alcuni esempi:

Una pattinatrice che ruota su se stessa a braccia aperte ruota più veloce se le avvicina al corpo, così come un tuffatore, se raccoglie braccia e gambe, aumenta la sua velocità di rotazione.

In questi casi intervengono le seguenti grandezze fisiche:

• Quantità di massa in rotazione;

• Velocità tangenziale del corpo in rotazione attorno al proprio ...........;

• Il raggio di rotazione ovvero la distanza tra la massa in rotazione e il proprio ............

Prendiamo in considerazione quindi la distribuzione delle m........... in rotazione e la loro velocità ............

Il ........... ........... (o ........... della quantità di moto) di un corpo di massa m e velocità v rispetto ad un punto O, è il prodotto ...........ale: L = r x mv

Dove r indica il ........... OP che unisce il punto O al punto P, punto di applicazione del ........... mv.

........... di ........... di un corpo:

Il ........... di ........... è la misura della resistenza del corpo a mutare la sua velocità rotazionale, una grandezza fisica utile per descrivere il comportamento dinamico dei corpi in rotazione attorno ad un ............

Tale grandezza tiene conto di come è distribuita la massa del corpo attorno all'........... di rotazione e dà una misura dell'........... del corpo rispetto alle variazioni del suo stato di moto rotatorio. È il corrispondente rotazionale della massa ...........le.

Una massa puntiforme non ha ........... di ........... intorno al proprio ............

Dobbiamo considerare i corpi come corpi rigidi, ovvero corpi le cui distanze non cambiano.

Consideriamo due sfere di m........... diverse unite da una sbarra rigida. Il centro di massa si trova più vicino alla sfera maggiore. Supponiamo che il corpo ruoti di moto circolare intorno ad un ........... passante per il suo centro di massa. Il suo ........... ........... totale è dato dalla somma dei momenti angolari delle due sfere:

L= r1 x m1v1 + r2 x m2v2

Dove: v nel moto di rotazione è pari a 2πr/T. La quantità 2π/T è detta "velocità ...........".

L = 2π/T[m1(r1)^2 + m2(r2)^2]

Raccogliendo la velocità ..........., abbiamo che il ........... d'........... del corpo è:

I= m1(r1)^2+m2(r2)^2

Il ........... ........... di un corpo rigido, dunque, è uguale al prodotto tra il ........... di ........... del corpo e la velocità ........... con cui esso ruota.

Quindi, mentre per un punto materiale la condizione perché esso stia fermo è solo quella che la risultante delle ........... che agiscono su di esso sia uguale a zero, per il corpo rigido bisogna aggiungere che la somma dei momenti applicati ad esso sia nulla.

Il ........... di ........... di un corpo può essere pensato come la somma di piccole m........... e dato dalla somma dei vari momenti di ............

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........... ...........

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l = QP × p = QP × mv

dove p = mv è la quantità di moto

DEFINIZIONI(1)

Si chiama ........... ........... o ........... della quantità di moto, rispetto al punto Q, di un punto materiale P, la grandezza:

del punto materiale

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l = QP × p

⏐l⏐ = ⏐QP⏐⏐p⏐⏐senα⏐

DEFINIZIONI(2)

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DEFINIZIONI(3)

⏐l⏐ = ⏐QP⏐⏐p⏐⏐senα⏐ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

l = QP × p

DEFINIZIONI(4)

• Il ........... ........... è una grandezza ...........ale

• LasuadimensioneèML2/T

• LasuaunitàdimisuranelsistemaMKSè kg.m2/s

• Il......................èsempreriferitoadunpunto dello spazio (Q nella definizione). E’ importante ricordare questo fatto e, quando si menziona il ........... ..........., citare il punto al quale è riferito

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l = OP × p = OP × mv ovvero:

DEFINIZIONI(5)

Spesso il ........... ........... è riferito all’origine del sistema di coordinate O. In tal caso il ........... ........... rispetto ad O, di un punto materiale P, è:

l = r × p = r × mv

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l = r × p

⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐

DEFINIZIONI(6)

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DEFINIZIONI(7)

• Osserviamo che il ........... ........... è nullo se la velocità è parallela (o antiparallela) al ........... posizione

⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= 0

α= 0 α= π

l=0

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• Invece il ........... ........... è massimo in modulo (a parità di ........... posizione e quantità di moto) se la velocità è ortogonale al ........... posizione

DEFINIZIONI(8)

lp r

α= π/2

⏐l⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= ⏐r⏐⏐p⏐ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

α= - π/2 p

M = QP × F

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DEFINIZIONI(9)

Sia F una ........... applicata al punto P. Si chiama ........... della ........... F, rispetto al punto Q, la grandezza:

M = QP × F

⏐M⏐ = ⏐QP⏐⏐F⏐⏐senα⏐

DEFINIZIONI(10)

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DEFINIZIONI(11)

M = QP × F

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⏐M⏐ = ⏐QP⏐⏐F⏐⏐senα⏐

DEFINIZIONI(12)

• Il...........diuna...........èunagrandezza ...........ale

• LasuadimensioneèML2/T2

• LasuaunitàdimisuranelsistemaMKSè N.m/s

• Il...........diuna...........èsempreriferitoadun punto dello spazio (Q nella definizione). E’ importante ricordare questo fatto e, quando si menziona il ........... di una ..........., citare il punto al quale è riferito

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M=r×F

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DEFINIZIONI(13)

Spesso il ........... di una ........... F è riferito all’origine del sistema di coordinate O. In tal caso il ........... della ........... è:

M = r × F

⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐F⏐⏐senα⏐

DEFINIZIONI(14)

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DEFINIZIONI(15)

• Osserviamocheil...........diuna...........ènullose quest’ultima è parallela (o antiparallela) al ........... posizione

⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐p⏐⏐senα⏐= 0

α= 0 α= π

M=0

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• Invece il ........... di una ........... è massimo in modulo (a parità di ........... posizione e ...........) se la ........... è ortogonale al ........... posizione

DEFINIZIONI(16)

MF r

α= π/2

⏐M⏐ = ⏐r⏐⏐F⏐⏐senα⏐= ⏐r⏐⏐F⏐ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

α= - π/2 F

DEFINIZIONI(17)

• Sichiama...........risultantediuninsiemedi ........... applicate ad un punto materiale la somma ...........ale dei momenti di tutte le ........... applicate al punto materiale P:

ΣM=r×F1 +r×F2 +...+r×FN =Σi (r×Fi)

• Nel caso di un punto materiale, la somma dei momenti è uguale al ........... della ........... risultante:

ΣM =r×F1 +r×F2 +...+r×FN = =r×(F1 +F2 +...+FN)=

= r × (Σ F)

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DINAMICA DEL ........... ...........(1)

dl d(r × p) dr dp ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯×p+r×⎯⎯

dt dt dt dt

⎯⎯×p =v×mv=0, quindi:

dl dp

⎯⎯ = r×⎯⎯=r×ΣF=ΣM dt dt

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DINAMICA DEL ........... ...........(2)

• Abbiamoquindiottenuto,perunpuntomateriale, la seguente equazione che regola la dinamica del ........... ...........:

dl ΣM = ⎯⎯⎯

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DINAMICA DEL ........... ...........(3)

• Un importante corollario della legge precedente è il seguente:

Se il ........... risultante su di un punto materiale è nullo, allora il suo ........... ........... è costante

dl ⎯⎯⎯ = 0

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SISTEMA A DUE CORPI (1)

• Come la quantità di moto, anche il ........... ........... è molto utile nello studio dei sistemi con molti corpi

• Anche in questo caso, per semplicità limiteremo lo studio al caso di due corpi

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SISTEMA A DUE CORPI (2)

• DEFINIZIONE: Il ........... ........... totale di un sistema a due corpi è la somma ...........ale dei momenti angolari dei due corpi:

L = l1 + l2 =

= r1 ×m1v1 +r2 ×m2v2 =

= r1 × p1 + r2 × p2

• Questadefinizionesigeneralizzaalcasoditreopiù corpi. Nel caso di N corpi con m........... m1, m2, ..., mN, e velocità v1, v2, ..., vN, il ........... ........... totale del sistema è

L=l1 +l2 +...+lN =

=r1 ×m1v1 +r2 ×m2v2+...+rN ×mNvN

=r1 ×p1 +r2 ×p2+...+rN ×pN

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SISTEMA A DUE CORPI (3)

v1 m1

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SISTEMA A DUE CORPI (4)

• DEFINIZIONE:Il...........risultantediuninsiemedi ........... applicate ad un sistema di due corpi è la somma ...........ale dei momenti risultanti sui due corpi:

ΣM=(ΣM)1 +(ΣM)2 =

= r1 ×(ΣF)1 +r2 ×(ΣF)2

• Questadefinizionesigeneralizzaalcasoditreopiù corpi. Nel caso di N corpi con m........... m1, m2, ..., mN, e velocità v1, v2, ..., vN, il ........... risultante delle ........... applicate al sistema è:

ΣM =(ΣM)1 +(ΣM)2 +...+(ΣM)N =

=r1 ×(ΣF)1 +r2 ×(ΣF)2+...+rN ×(ΣF)N Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006

SISTEMA A DUE CORPI (5)

(ΣF)

m2 (ΣF) 12

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SISTEMA A DUE CORPI (6)

v1 m2 m1

• Possiamogeneralizzareaquestosistema,

l’equazione della dinamica del ........... ...........?

• Ovvero,possiamotrovareunalegge,validaperil sistema a due corpi, simile a quella che vale per un singolo punto materiale?

dl ΣM = ⎯⎯⎯

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SISTEMA A DUE CORPI (7)

• Esprimiamo la variazione del ........... ........... totale nell’unità di tempo in funzione della variazione dei singoli momenti angolari nel’unità di tempo:

• Dalla definizione:

L =l1+l2 segue che:

dL dl1 dl2 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯

dt dt dt

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SISTEMA A DUE CORPI (8)

F12 F21

F2est

F1est

• Comenelcasodellaquantitàdimoto,distinguiamo tra ........... interne ed esterne e consideriamo, per ciascun punto, la ........... esercitata dall’altro punto e la somma delle ........... esterne

• Ai due corpi del sistema possiamo applicare l’equazione della dinamica del ........... ...........:

dl1 /dt =r1 ×(ΣF)1 =r1 ×F12+r1 ×F1est dl2/dt =r2 ×(ΣF)2 =r2 ×F21+r2 ×F2est

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SISTEMA A DUE CORPI (9)

F12 F21

• Calcoliamo la variazione nell’unità di tempo del

F2est ........... ........... totale:

F1est

dL/dt = dl1/dt + dl2/dt =

=r1 ×F12+r1 ×F1est +r2 ×F21+r2 ×F2est

=r1 ×F12+r2 ×F21+r1 ×F1est + r2 ×F2est • Per la terza legge di Newton, F21 = - F12 , quindi:

dL/dt =r1 ×F12-r2 ×F12+r1 ×F1est + r2 ×F2est =(r1 -r2)×F12+r1 ×F1est + r2 ×F2est

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SISTEMA A DUE CORPI (10)

• Sela...........F12èdirettacomelacongiungente tra i due punti materiali, il termine (r1 - r2) × F12 è uguale a zero perché i ........... (r1 - r2) e F12 sono antiparalleli

r1 O

F12 r1 - r2 F21

F1est

F2est

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SISTEMA A DUE CORPI (11) • Intalcaso:

dL/dt =(r1 -r2)×F12+r1 ×F1est + r2 ×F2est =r1 ×F1est + r2 ×F2est

= (Σ M) est

• Ovvero,lavariazionenell’unitàditempodel ........... ........... totale di un sistema di punti materiali è uguale al ........... risultante delle ........... esterne agenti sul sistema

dL (ΣM ) est = ⎯⎯⎯

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SISTEMA A DUE CORPI (11)

• Un importante corollario della legge precedente è il: PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DEL ........... ...........:

Se il ........... risultante delle ........... esterne agenti su di un sistema di punti materiali è nullo, allora il suo ........... ........... totale è costante

dL ⎯⎯⎯ = 0

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Il ........... ........... in meccanica classica ed in meccanica quantistica: analogie e differenze

Definizione del ........... ........... in fisica classica

........... ........... polare o ........... della quantità di moto o impulso ........... rispetto ad una determinata origine (detta anche polo) è definito come il prodotto ...........ale tra il ........... posizione (rispetto alla stessa origine) e il ........... quantità di moto:

Il modulo di è quindi definito da:

è perpendicolare al piano definito da e da in senso antiorario. La grandezza

; il verso è quello di un osservatore , distanza dell'........... di rotazione dalla

La direzione di che vede ruotare retta su cui giace

è detto ........... di .

Se ed sono tra loro perpendicolari il ........... ........... è massimo e questo avviene quando

sinθ = 1. Il ........... ........... è nullo invece se la quantità di moto o il ........... sono nulli, oppure se è parallelo ad , in tal caso infatti sinθ = 0.

Si definisce ........... ........... assiale il ........... ........... proiettato sul un ........... passante per il polo.

Il ........... ........... nel SI si misura in kg·m2/s.

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il ........... ........... è una

caratteristica fondamentale del moto. Infatti se un punto materiale P si muove con quantità di moto: , il ........... ........... del punto rispetto ad un polo O è dato da:

se il polo O è in moto con velocità , allora il ........... ........... varia nel tempo:

dove rappresenta la velocità relativa del punto P rispetto alla velocità di O, mentre per il secondo principio della dinamica rappresenta la ........... totale risultante. Allora da questa equazione si ottiene la seconda equazione cardinale dei sistemi, infatti dalla:

si ottiene:

dove è il ........... meccanico polare della ........... .

Nel caso il polo sia fermo (cosa che si può sempre fare scegliendo un sistema di riferimento

opportuno), allora ci si riconduce alla più familiare:

Conservazione del ........... ........... ed esempi

Il ........... ........... è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che rigurdano variabili angolari.

Inoltre resta fondamentale perché nei sistemi isolati, cioè non soggetti a ........... esterne, vale la legge di conservazione del ........... ............ La conservazione del ........... ........... è fondamentale nello studio dei moti in campi di ........... centrali, poiché è legata alla costanza della velocità areolare, come nello studio dei moti dei pianeti e dalle leggi di Keplero, ed ancora allo studio del moto del pendolo.

Definizione del ........... ........... in meccanica quantistica

La quantizzazione del ........... ........... rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.

In meccanica quantistica il ........... ........... è un' osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo .

In meccanica classica la definizione di ........... ........... è la seguente:

dove e sono rispettivamente il ........... posizione e impulso. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il ........... ........... in meccanica quantistica come:

da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:

Osserviamo immediatamente che sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (N.B. posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio e , commutano!).

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Il principio di conservazione del moto ...........

di Anna C. difficoltà: media

Il principio di conservazione del moto ........... differencebetween.info Il ........... ..........., in fisica, è una grandezza ...........ale. Rappresenta il prodotto tra l'........... di rotazione di un corpo e la velocità di rotazione di esse intorno ad un ............ ........... ..........., ........... della quantità di moto e ........... di rotazione sono la stessa cosa. Invece il ........... ........... di un sistema si trova facendo la somma dei momenti angolari dei corpi rigidi appartenenti al sistema. Per un corpo rigido rotante attorno ad un ........... di simmetria, ad esempio le pale di un ventilatore a soffitto, il ........... ........... si esprime come il prodotto del ........... di ........... I e la sua velocità ........... ω: L= I ω. In questa guida vedremo qualche nozione sul principio di conservazione del moto ............

Assicurati di avere a portata di mano: un buon manuale di fisica

1 Possiamo descrivere il ........... ........... come l'analogo rotazionale della quantità di moto. Ad esempio, nel caso di un oggetto piccolo, rispetto alla distanza radiale con l'........... di rotazione, il ........... ........... è pari al moto lineare rispetto al raggio. Così, il ........... ........... L di una particella rispetto ad un punto di origine è: L= r x mv. Il ........... ........... è di tipo conservativo in un sistema in cui non si applica una coppia esterna. La sua conservazione aiuta a spiegare molti fenomeni diversi. Se prendiamo ad esempio l'aumento della velocità di rotazione di un pattinatore quando le sue braccia si contraggono, scopriremo che è una conseguenza della conservazione del ........... ............ Inoltre, la conservazione del ........... ........... trova numerose applicazioni nel campo della fisica e dell'ingegneria.

2 Per comprendere meglio la conservazione del ........... ..........., prenderemo come esempio il caso di una pattinatrice sul ghiaccio. Questa ridurrà il suo ........... di ........... tirando a sé le braccia. In questo modo aumenterà la velocità della rotazione. La legge di conservazione del moto ........... quindi, afferma che non esistono cambiamenti del moto ..........., in ...........nza di ........... esterne. Perciò, il ........... ........... prima di un evento che coinvolge solo coppie interne o nessuna coppia è uguale al ........... ........... dopo l'evento. Il prodotto incrociato tra velocità e quantità di moto sarà pari a zero, poiché questi ........... sono paralleli. Richiedere al sistema di diventare "chiuso" equivale, matematicamente, ad azzerare la coppia esterna agente sul sistema.

Continua la lettura

3 In orbita, il ........... ........... si distribuisce tra la rotazione del pianeta stesso e il ........... ........... della sua orbita. Ciò equivale a dire che L totale = L rotazione + L orbita. Approfondimento Come calcolare l'energia cinetica di un corpo (clicca qui) Se un pianeta ruoterà più lentamente del previsto, allora gli astronomi sospetteranno che il pianeta viene accompagnato da un satellite. Infatti il ........... ........... totale viene condiviso dal pianeta ed il suo satellite. Il principio di conservazione del ........... ........... serve ad analizzare il movimento di ........... centrale. Nel caso in cui la ........... esercitata su un corpo vada verso un punto fisso, o verso il centro, allora non esiste alcuna coppia sul corpo rispetto al centro. Il ........... ........... del corpo intorno al centro sarà costante. Questa condizione è estremamente utile quando si opera con le orbite dei pianeti e dei satelliti. Oppure ci è d'aiuto anche quando si analizza il modello atomico di Bohr. Tornando all'esempio della pattinatrice su ghiaccio, la conservazione del ........... ........... spiega la sua accelerazione ........... quando porta le braccia e le gambe vicine all'........... di rotazione verticale. Portando parte della massa del suo corpo più vicino all'........... verticale, essa diminuisce il ........... di ........... del suo corpo. Poiché il ........... ........... è costante in ...........nza di coppie esterne, la velocità ..........., ovvero di rotazione, della pattinatrice aumenterà.

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Il ........... meccanico, indicato con \bar{M} o, in ambito anglosassone, con \bar{\tau} (dall'inglese torque), esprime l'attitudine di una ........... ad imprimere una rotazione ad un corpo rigido attorno ad un punto (nel piano) o ad un ........... (nello spazio) quando questa non è applicata al suo centro di massa (altrimenti si avrebbe moto traslatorio). Costituisce quindi il ........... della ............

Il ........... meccanico è uno pseudo..........., non uno scalare come l'energia o il lavoro. Per questo motivo l'unità di misura del ........... meccanico nel SI è N·m o Nm (newton per metro), non il joule, anche se le due unità hanno le stesse dimensioni fisiche[1].

L'analisi dei momenti meccanici determina la condizione di equilibrio dei corpi estesi e serve allo studio dei moti rotazionali, infatti compaiono nella seconda equazione di Eulero.

Indice

1 Coppia di ...........

2 ........... meccanico polare

3 ........... meccanico assiale

4 Risultante

5 ........... ...........

6 Tensore d'...........

7 Lavoro rotazionale

8 Energia potenziale rotazionale

9 Potenza rotazionale

10 ........... di tensione

11 Note

12 Voci correlate

13 Altri progetti

Coppia di ...........

Il ........... meccanico puro causato dalla coppia di ........... Fg e −Fg causa una variazione del ........... ........... L nella direzione 55. Questo induce nella cima una precessione.

Il problema è: misurare la ........... che viene esplicata da qualcosa che gira. Il modo più naturale è fissare una sbarra al rotore e misurare la ........... che questa esercita ortogonalmente a una certa distanza dal fulcro. Si potrebbe a questo punto definire, per convenzione, la "........... di un rotore" come quella misurata alla distanza, ad esempio, di 1 metro dal fulcro. In tal modo sarebbe possibile confrontare le ........... di rotori diversi.

Per le leggi che regolano le leve (oppure sperimentalmente) è tuttavia evidente che il modulo del prodotto ...........ale fra ........... e distanza dal fulcro (detta ........... della ...........) è una costante: se si misura la ........... esercitata (ortogonale alla sbarra) alla distanza di mezzo metro si trova che essa è pari al doppio di quella misurata a 1 metro; a 10 cm è 10 volte più grande; a 2 m la metà e così via. È quindi in sintesi rilevante per un corpo rigido solo il prodotto: ........... × ..........., e non i singoli valori delle due componenti.

La coppia è spesso usata nell'industria meccanica per quantificare la potenza generata da un motore secondo la formula:

P = T \cdot \omega \

dove:

P è la potenza del motore espressa in W (watt) al numero di giri desiderato

T è la coppia generata espressa in N·m (newton × metri)

ω è la velocità ........... espressa in radianti al secondo a cui si riferisce la potenza P

(NB. ω = 2·π·f dove f = n° giri al secondo)

Per misurare la coppia viene utilizzato un estensimetro a ponte intero.

........... meccanico polare

Il ........... meccanico M rispetto al polo O

Il ........... meccanico polare rispetto ad un determinato punto O detto polo o centro di riduzione è definito in meccanica newtoniana come il prodotto ...........ale tra il ........... posizione (rispetto al polo stesso) e la ........... e ai poli nord e sud:[2]

\bar M(r)\; \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\; \bar r \times \bar F

Il modulo di M è quindi definito da

M(r) = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \, = F \, b

Il ........... M è perpendicolare al piano definito da F e da r; il verso, come espresso dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare F in senso antiorario. La grandezza r \mathrm{sen} \theta, distanza dell'........... di rotazione dalla retta su cui giace F, è detta ........... b della ........... F.

Se F ed r sono ortogonali tra loro, il ........... (vedi leva) si identifica con r, e il modulo del ........... è massimo. Il ........... può essere nullo se la ........... o il ........... sono nulli, oppure se F è parallela a r.

Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, il ........... meccanico totale è la somma dei singoli momenti meccanici, ognuno dovuto alla ........... sul singolo componente e al relativo ...........:

\bar M = \sum_i m_i \, \bar r_{i} \times \hat n_i \ = \sum_i \bar r_{i} \times \bar F_i \;.

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità \rho e il campo di accelerazioni \hat n ( \bar r ):

\bar M = \int \rho(\bar r) \, \bar r \times \hat n ( \bar r ) \mathrm{d}V\;.

........... meccanico assiale

Si definisce ........... meccanico assiale di una ........... rispetto ad un ........... a passante per un punto O, uno scalare che indica la componente ortogonale del ........... polare su un particolare ........... a, detto ........... centrale:

\bar M_a\; \stackrel{\mathrm{\Delta}}{=}\; ((\bar r \times \bar F) \cdot \hat a) \hat a

dove \hat n è un ........... di lunghezza unitaria (versore) che identifica l'............ Il modulo sarà:

M_n = |\bar M(r)| \cdot \cos \phi = r F \, \mathrm{sen} \, \vartheta \cos \phi = F b \cos \phi

dove φ è l'angolo formato dal ........... ........... polare MΩ con l'........... n. In pratica è la proiezione ortogonale del ........... polare sull'........... n. Per questo il ........... assiale è nullo se l'angolo φ = π/2 e massimo quando l'........... a coincide con l'........... di MΩ, in tal caso infatti: φ = 0.

Risultante

Il teorema di Varignon si applica al ........... meccanico: il risultante dei momenti meccanici applicati in uno stesso punto nel caso polare o anche solo ugualmente distanti dallo stesso ........... nel caso assiale, corrisponde al ........... meccanico della risultante:

\bar M = \sum_{n = 1}^N \bar M_n = \sum_{n = 1}^N (\bar{r}\times\bar{F}_n) = \bar{r}\times \sum_{n = 1}^N \bar{F}_n = \bar{r}\times \bar{F}

Ciò risulta di particolare utilità nelle equazioni di Eulero.

........... ...........

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: ........... ............

Il ........... meccanico è pari alla variazione del ........... ........... attorno allo stesso centro o ........... del primo. Infatti da:

\frac{d \bar r}{dt} \times \bar p = \bar v \times m \bar v = \bar 0,

dove p è la quantità di moto, e v è la velocità del punto di applicazione, segue che:

\bar M = \bar r \times \bar F = \bar r \times \frac{d \bar p}{dt} = \bar r \times \frac{d \bar p}{dt} + \frac{d \bar r}{dt} \times \bar p = \frac{d \bar (\bar r \times \bar p)}{dt} = \frac{d \bar L}{dt}

dove L è il ........... ........... del punto.

=====

L'energia rotazionale è una forma di energia cinetica associata al moto di rotazione di un corpo rigido. Nel caso di un corpo rigido a simmetria assiale e che ruoti attorno all'........... di simmetria, l'energia rotazionale risulta proporzionale al prodotto del ........... di ........... I del corpo per il quadrato della sua velocità ........... ω:

E = \frac{1}{2} I \omega^2

L'espressione ricorda quella dell'energia cinetica traslazionale, E= \frac{{1}}{{2}}mv^2 ma in luogo della massa m vi compare il ........... di ........... (la proprietà dei corpi che si oppone al moto rotazionale, così come la massa si oppone a quello traslazionale), e in luogo della velocità lineare v compare la velocità ............

Tutto ciò è facilmente riscontrabile sostituendo

I = m r^2

\omega = \frac{v}{r} .

Il concetto fu introdotto da Eulero nel suo libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum nel 1765. Il ........... d'........... di un corpo rispetto a un ........... dato descrive quanto è difficile cambiare il suo moto ........... attorno al proprio ............ Per esempio, si considerino due dischi (A e B) della stessa massa. Il disco A ha un raggio più grande del disco B. Assumendo che abbiano spessore e massa distribuiti uniformemente, è più difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocità ...........) poiché la sua massa è distribuita in maniera tale da essere più distante del suo ........... di rotazione: la massa che è più distante dall'........... deve avere, fissata la velocità ..........., più velocità, e quindi più energia rispetto alla massa che è più vicina al centro di rotazione. In questo caso il disco A ha un ........... d'........... maggiore del disco B.

Tuffatrici che minimizzano il loro ........... d'........... per aumentare la loro velocità di rotazione.

Il ........... di ........... di un corpo è funzione della sua geometria, in particolare di come è distribuita la massa al suo interno. Il ........... d'........... ha due forme, scalare I (usata quando è noto l'........... di rotazione) e una più generale tensoriale che non richiede la conoscenza dell'........... di rotazione. Il ........... d'........... scalare è utile per risolvere numerosi problemi, per esempio spiega perché oggetti diversi che rotolano (come sfere, cilindri o anelli) su un piano inclinato con attrito lo fanno con accelerazioni diverse. Per esempio un anello rotolerà più lentamente di un disco della stessa massa e raggio. Infatti la massa dell'anello è disposta lontano dal centro di rotazione e quindi, a parità di velocità, l'energia cinetica accumulata dal corpo è maggiore. Tuttavia, per problemi più complicati in cui l'........... di rotazione cambia, il trattamento scalare è inadeguato, per esempio nei giroscopi, satelliti e tutti gli oggetti il cui allineamento cambia.

Il ........... d'........... finora trattato è anche chiamato ........... d'........... di massa per distinguerlo dal ........... di ........... di superficie usato ad esempio nella scienza delle costruzioni, che è chiamato anch'esso ........... d'........... ed è indicato con lo stesso simbolo I. Nel sistema internazionale l'unità di misura del ........... di ........... di massa è il kg \cdot m^2 mentre per il ........... di ........... di superficie è il m^4.

Nei moti rotatori, il ........... d'........... gioca il ruolo che ha la massa nei moti lineari.

........... d'........... scalare

Sistema di punti materiali

Sia z l'........... di rotazione fisso di un sistema di n punti materiali. Indicando con r_i (con i = 1,2,\dots n) le distanze di tali punti dall'........... di rotazione e con m_i le loro m............ In questo caso il ........... di ........... rispetto all'........... z è definito come:

I_z = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2

Si può notare che i punti materiali che si trovano più lontani dall'........... di rotazione danno un maggiore contributo. Utilizzando il ........... di ........... è possibile esprimere in modo semplice il ........... ........... di un sistema di n particelle che si comporta come un corpo rigido (in cui cioè le distanze reciproche tra i punti materiali non variano). Indicando con v_i le velocità tangenziali delle particelle e con \omega la loro velocità ........... (uguale per tutti i punti se il corpo è rigido):

L_z = \sum_{i=1}^n m_i r_i v_i = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \omega = \left ( \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \right ) \omega = I_z \omega

In modo analogo l'energia cinetica del corpo rotante è:

E_k = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \omega^2 =\frac{1}{2} \left (\sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \right )\omega^2 =\frac{1}{2} I_z \omega^2

Corpo rigido

Elemento volume cilindro.jpg

È possibile estendere la definizione di ........... di ........... di massa anche ad un corpo rigido di volume V, se si considera tale corpo come un sistema di punti materiali, ciascuno caratterizzato da un volume \Delta V ed una massa \Delta m = \rho \Delta V (dove \rho è la densità); in tale caso il contributo di ........... di tale elemento di volume al ........... di ........... totale è dato da \Delta I_z = \rho \Delta V r^2 (essendo r la distanza dell'elemento dall'........... di rotazione). Il ........... di ........... si ottiene allora sommando tutti i contributi e passando al continuo, cioè per \Delta V \to 0:

I_z = \int_V \rho r^2 dV \

Se il corpo è omogeneo (la sua densità è quindi una funzione costante) ed è caratterizzato da particolari simmetrie, allora il calcolo dell'integrale risulta particolarmente semplice.

Si consideri ad esempio un cilindro omogeneo di massa M, raggio R e altezza H (per cui M = \rho \pi R^2 H). La misura del generico elemento di volume è data da Hr d \theta dr (vedi figura a destra) e il ........... di ........... rispetto all'........... del cilindro è dato da:

I_z = \int_0^R \rho r^2 H r 2 \pi dr = 2 \pi \rho H \int_0^R r^3 dr = \frac {\pi \rho H R^4}{2}=\frac {1}{2}M R^2

\frac {1}{2}M r^2

\frac {1}{12}M l^2

\frac {1}{12}M (a^2 + b^2)

\frac {2}{5}M r^2

\frac {1}{2}M ({r_2}^2 + {r_1}^2)

Calcolo del ........... di ........... di alcuni solidi omogenei

Rispetto all'........... di simmetria passante per il centro di massa

........... d'........... del cono

Moment of inertia cone section.svg

Per calcolarlo si consideri il ........... finale come la somma dei momenti di ........... dei dischi con altezza infinitesima dz (fissando l'origine del sistema di riferimento alla punta del cono orientato verso il basso). Il raggio del singolo disco varia linearmente al variare di z secondo il rapporto R diviso h (R raggio di base, h altezza cono). L'elemento infinitesimo di massa lo si calcola utilizzando \rho (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza dz. Integrando il ........... di ........... del disco da 0 a h si ottiene il risultato finale.

dI = \frac {dM \; r^2}{2} \qquad dm = \rho \pi r^2 dz \qquad r = \frac {R}{h} z

I = \frac {\rho \pi}{2} \int^h_0 \frac {R^4}{h^4} z^4 dz = \frac {\rho \pi R^4}{2 h^4} \frac {h^5}{5} = \frac {3 M}{\pi R^2 h} \frac {\pi R^4}{2 h^4} \frac {h^5}{5} = \frac {3}{10} M R^2

........... di ........... della sfera

Il ........... finale sarà ottenuto sommando i momenti di ........... dei dischi di spessore infinitesimo dx (fissando l'origine del sistema di riferimento al centro della sfera orientato verso l'alto). Il raggio del singolo disco varia secondo la funzione che descrive un arco di circonferenza nel primo quadrante, da un minimo di 0 (con x=R, raggio della sfera) ad un massimo di R stesso. L'elemento infinitesimo di massa è ottenuto utilizzando ρ (densità volumetrica) moltiplicato per il volume del cilindro di altezza dx. Integrando il ........... di ........... del disco da -R a R si ottiene il risultato finale.

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