Problemas Bonus

Son problemas que por lo general requieren del uso de computador, y están relacionados con las temáticas del curso. Las primeros X estudiantes obtendrán la bonificación. Sólo se podrá enviar una solución. Para ello debe llenar el formulario con su nombre completo, el número del problema y la respuesta (ver ejemplo en el archivo de Excel). Posterior a ello aparecerán las respuestas que cada uno va dando (en orden cronológico).

Problemas Bonus

Bonus Sumados en Quiz 3

Problemas Bonus: Semana 13 (cerrado)

(+0.3 Q3 - 3 personas max. Hora: 11:30am (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Considere el problema anterior utilizando otra base. En particular encuentre todos los enteros en el intervalo [1,10^6], con la propiedad anterior y en base 9. Por ejemplo (31)_9 cumple con esa propiedad.

Solución:

(1)_9, (31)_9, (156262)_9, (1656547)_9.

Bonus para los tres primos:

Jhonatan Torres Forero

Andres Duvan Chaves Mosquera

Sebastian Castañeda

(+0.3 Q3 - 3 personas max. Hora: 11:00am (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Encuentre todos los enteros positivos en el intervalo [1,10000] que cumplen la condición que el número es igual a la suma de sus dígitos elevados a la misma potencia de ellos mismos. Es decir, si n tiene como representación en base 10 a n=(a_k, a_{k-1}, \dots, a_0), entonces n=\sum_{\ell=0}^ka_\ell^{a_\ell}.

Solución:

Los enteros que se conocen con esa propiedad son 1 y 3435. Es más son los únicos enteros que cumplen esa propiedad.

Bonus para los tres primos:

Gabriel Andres Avendaño Casadiego

Juan Diego Medina

Valentina Bernal Buitrago

Problemas Bonus: Semana 12 (cerrado)

(+0.2 Q3 - 3 personas max. Hora: 12:00pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Sea T la función que multiplicar los dígitos de un entero n. Sea b(n) el número de veces que debemos aplicar T a un entero n para que se vuelva un punto fijo. Por ejemplo b(1976)=5, ya que T(1976)=378, T(378)=168, T(168)=48, T(48)=32, T(32)=6. Así que debemos aplicar cinco veces T para llegar al punto fijo 6. Encuentre el menor entero positivo n tal que b(n)=8.

Solución:

Para n=2677889, se obtiene b(n)=8, y es el menor posible.

Bonus para los tres primos:

Catalina Aldana Mongui

Jose Luis Pinzón

Iván Herrera

Bonus Sumados en Quiz 2

Problemas Bonus: Semana 10 (cerrado)

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 9:00pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Sea T la función que suma los dígitos de un entero n. Sea a(n) el número de veces que debemos aplicar T a un entero n para que se vuelva un punto fijo. Por ejemplo a(452)=2, ya que T(452)=11, T(11)=2, T(2)=2. Así que debemos aplicar dos veces T para llegar al punto fijo 2. Encuentre el menor entero positivo n tal que a(n)=3. Encuentre el menor entero positivo n tal que a(n)=4.

Solución:

a(3)=199

a(4)=19999999999999999999999.

Bonus para los tres primos:

Jhonatan Torres Forero

Andres Duvan Chaves

Diego Farid Cortes Gutierrez

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 12:00pm (Recuerden que hay 1 persona con restricción de 2 horas))

El problema anterior también se puede considerar en otras bases. Por ejemplo en base 5, el entero 28 cumple esta condición. En efecto, 28 en base 5 es (103)_5, y las potencias terceras (longitud del entero en base 5) de sus cifras es 1^3+0^3+3^3=1+0+27=28. ¿Cuántos enteros con la anterior propiedad hay en base 7 contenidos en el intervalo [1,\dots, 10^7]? ¿Cuál es el más grande de los cumple dicha propiedad en el mismo intervalo?

Solución:

Los números que cumplen dicha condición son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, 3222, 3612, 3613, 4183, 9286, 35411, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376, 8094840

Es decir un total de 27.

Estas sucesiones de números se conocen como números narcisistas.

Bonus para los tres primos:

Gabriel Andres Avendaño

Juan Diego Medina Naranjo

Valentina Bernal Buitrago

Problemas Bonus: Semana 9 (cerrado)

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 11:00am (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

El número 1634 tiene una propiedad interesante. Este número de 4 dígitos satisface que la suma de las potencias cuartas de sus dígitos da el mismo número. Es decir 1^4+6^4+3^4+4^4= 1634. ¿Cuántos enteros de $m$ dígitos son iguales a la suma de las $m$-ésimas potencias de sus dígitos en el intervalo [1,..., 10^7]? ¿Cuál es el más grande de los cumple dicha propiedad en el mismo intervalo?

Solución: Los números que cumplen dicha condición son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315

Es decir un total de 24 (o 15 si no incluyeron los primeros números de un dígito)

Bonus para: (RECUERDEN LAS REGLAS SÓLO PUEDEN ENVIAR UNA RESPUESTA!)

Juan Sebastian Paez Arroyo

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 12:00pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Dada un entero positivo de dos dígitos o más, definimos la siguiente transformación: tomamos la reversa de sus dígitos y le sumamos el número original. Luego repetimos este procedimiento con el valor obtenido en la suma hasta que se obtenga un entero palíndromo. Este algoritmo produce (en general) con cierta rapidez palíndromos. Por ejemplo, si n=91851623, encontramos la sucesión:

91851623, 124467442, 369231863, 737364826, 1365828563, 5024114194, 9938228399

En este caso la lista es de longitud 7.

Encuentre el entero o enteros en el intervalo [1, 100] cuya listado después de aplicar esta transformación tiene la mayor longitud posible y escriba el palindromo que se obtiene.

Solución:

En este intervalo encontramos dos números, el 89 y 98, que después de aplicar dicho algoritmo utilizan 25 pasos. La sucesión que aparece para cada uno de ellos es:

{89, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, 173437, 907808, 1716517, 8872688, 17735476, 85189247, 159487405, 664272356, 1317544822, 3602001953, 7193004016, 13297007933, 47267087164, 93445163438,176881317877, 955594506548, 1801200002107, 8813200023188}

{98, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, 173437, 907808, 1716517, 8872688, 17735476, 85189247, 159487405, 664272356, 1317544822, 3602001953, 7193004016, 13297007933, 47267087164, 93445163438, 176881317877, 955594506548, 1801200002107, 8813200023188}

Este algoritmo se conoce como 196-Algorith.

Bonus para los tres primos:

Diego Farid Cortes Gutierrez

Jose Luis Pinzón

Andres Duvan Chaves Mosquera

(+0.3 Q2 - 3 personas max. Hora: 2:00pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

El entero 2223 cumple una interesante propiedad. Su cuadro 2223^2=4941729, cumple que al separarlo en las partes 494 y 1729 su suma vuelve a ser 2223. Es decir 2223 = 494 + 1729. Otro número que cumple dicha condición es 45. La descomposición debe ser con enteros positivos, esto quiere decir que 10 no cumple la propiedad, ya que 10^2=100, pero 10+0 no es una partición valida. Encuentre todos los enteros en el intervalo [1,10000] que cumplen dicha condición. Los números que cumplen dicha condición se llaman Números de Kaprekar

Solución:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778, 82656, 95121, 99999.

Como en el problema originalmente no puse la restricción de que fueran enteros positivos (las partición), valí respuestas que incluyeran por ejemplo al 10.

Bonus para los tres primos:

Ivan Camilo Quiroga Camargo

Marcel Julian Martinez Vanegas

Bryan Mauricio Guzmán García

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 12:30pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

¿Cuántas matrices 2x2 con entradas módulo 27, existen con la condición se ser invertibles?

Solución: Dada una matriz 2x2 con entradas módulo 27, esta matriz tiene inversa si y sólo si su determinante es invertible módulo 27. Por lo tanto el problema consiste en contar los vectores (a,b,c,d) tal que mcd(ac-bd,27)=1. Con 0<=a, b, c, d <=26. Se pude entonces comprobar que hay 314928 matrices con dicha propiedad.

Bonus para los tres primos:

Jhonatan Torres Forero

Iván Herrera

Juan Diego Medina

Problemas Bonus: Semana 7 (cerrado)

Los siguientes dos problemas se conocen como las parejas de Ruth-Aaron

(+0.3 Q2 - 3 personas max. Hora: 1:50am (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

La pareja de enteros consecutivos (125, 126) satisface que la suma de sus divisores primos (incluyendo repeticiones) es la misma. En efecto como 125= 5^3 y 126=2*3^2*7, entonces se puede verificar que 5+5+5=2+3+3+7. Encuentre todas las parejas de enteros consecutivos (n, n+1), que satisfacen la anterior propiedad y tal que 1=<n<10000.

Solución: Las primeras componentes de cada una de estas parejas son:

5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248, 4185, 4191, 5405, 5560, 5959, 6867, 8280, 8463

Bonus para los tres primos:

Diego Farid Cortes

Andres Chaves Mosquera

Gabriel Andres Avendaño Casadiego

(+0.3 Q2 - 3 personas max. Hora: 11:50am (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

La pareja de enteros consecutivos (369,370) satisface que la suma de sus divisores primos diferentes es la misma. En efecto como 369=3^2 * 41 y 370=2*5*37, entonces se puede verificar que 3+41=2+5+37. Encuentre todas las parejas de enteros consecutivos (n, n+1), que satisfacen la anterior propiedad y tal que 1=<n<10000.

Solución: Las primeras componentes de cada una de estas parejas son:

5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299, 2600, 2783, 5405, 6556, 6811, 8855, 9800.

Bonus para los tres primos:

Juan Diego Medina Naranjo

Jose David Salazar Moreno

Daniel Moreno

Bonus Sumados en Quiz 1

Problemas Bonus: Semana 5 (cerrado)

(+0.2 Q2 - 3 personas max. Hora: 4:50pm (Recuerden que hay 3 persona con restricción de 2 horas))

Encuentre el entero más pequeño mayor que 120120 el cual no es divisible por ningún primo menor que 20.

Solución: 120121.

Bonus para los tres primos:

Gabriel Andres Avendaño Casadiego +0.2

Jaime Eduardo Estupiñan +0.2

Jhonatan Torres Forero +0.2

(+0.3 Q2 - 3 personas max. Hora: 9:00pm (Recuerden que hay 1 persona con restricción de 2 horas))

Encuentre todos los números primos p en el intervalo [1, 4000], tal que 2^(p-1) es congruente con 1 mod p^2.

Solución: 1093 ó y 3511. Los números primos que cumplen esta condición se llaman primos de Wieferich y sólo se conocen estos valores!!.

Bonus para los tres primos:

Diego Farid Cortes Gutierrez +0.3

Luis Eduardo Otalora Cubides +0.3

Iván Herrera +0.3

(+0.3 Q2 - 3 personas max. Hora: 4:30pm (Recuerden que hay 2 personas con restricción de 2 horas))

¿Cuál es la probabilidad que un número aleatorio con exactamente 13 dígitos sea un número primo?

Solución:

Pi(10^13)=346065536839 y Pi(10^12)=37607912018, luego hay 308457624821 con 13 dígitos.

Así la probabilidad es: 308457624821/(9*10^12)=0.0342730694245. En otras palabras el 3.42730694%.

Tuve en cuenta para asignar los puntos la precisión.

Bonus para

Danny Esteban Garzón Melo +0.3

Problema Bonus: Semana 3 (cerrado)

(+0.2 Q1 - 3 personas max. Hora: 8:10pm (Recuerden que hay 2 personas con restricción de 2 horas))

Todo entero positivo se puede escribir de manera única como suma de números de Fibonacci. Por ejemplo n=100, se puede escribir como F_11+F_6+F_4=89+8+3=100. Dicha representación se escribe como (11,6,4). Encuentre la representación de 10^10.

Solución:

{49, 46, 42, 40, 35, 33, 31, 29, 25, 20, 18, 15, 10, 7, 4, 2}

Bonus para los tres primos:

Jhonatan Torres Forero +0.2

Juan Diego Medina Naranjo +0.2

Gabriel Andres Avendaño Casadiego +0.2

(+0.1 Q1 - 2 personas max. Hora: 6:30pm (Recuerden que hay 3 personas con restricción de 2 horas))

Distintos primos p, q y r satisfacen la ecuación

2p*q*r+50p*q=7*p*q*r+55*p*r=8p*q*r+12*q*r==A,

para algún entero positivo A. Encuentre el valor de A.

Solución: Los números son p=3, r=5 y q=11, y el resultado es A=1980.

Bonus para los dos primos:

Luis Eduardo Otalora Cubides +0.1

Danny Esteban Garzon Melo +0.1

(+0.1 Q1 - 3 personas max. Hora: 8:15am (Recuerden que hay 3 personas con restricción de 2 horas))

En el año 2016, Javier Cilleruelo y Florian Luca demostraron que todo entero positivo es suma de tres capicúas (palindromos) en cualquier base >=5. Por ejemplo en base 10, tenemos que 100 se puede escribir como suma de (77,22,1) (todos capicúas). Si ahora consideramos que (22,77,1) es la misma solución. Calcule el total de formas de representar 800 con tres capicúas mayores o iguales que cero. Repita esta misma pregunta para 2018. (todas las respuestas deben ser enviadas en el mismo mensaje!)

Solución: Para el caso n=800, en base 10 tenemos 79 soluciones. diferentes. Para n=2018 se tienen 369 soluciones.

Bonus para los tres primos:

Jhonatan Torres Forero +0.1

Gabriel Andres Avendaño Casadiego +0.1

Elsa Arias +0.1

(+0.3 Q1 - 3 personas max. Hora: 4:15pm (Recuerden que hay 4 personas con restricción de 2 horas))

En el año 2016, Javier Cilleruelo y Florian Luca demostraron que todo entero positivo es suma de tres capicúas (palindromos) en cualquier base >=5. Por ejemplo en base 10, tenemos que 100 se puede escribir como suma de (77,22,1) (todos capicúas) (tenga en cuenta que (22,77,1) se considera una solución diferente). Calcule el total de formas de representar 800 con tres capicúas mayores o iguales que cero. ¿Cuántas de estas soluciones están formadas únicamente por números primos? Muestre todas las soluciones para este último caso. Repita estas mismas preguntas para 2018.

Solución: Para el caso n=800, en base 10 se tienen 471 soluciones. Algunas de ellas son:

{272, 3, 525}, {272, 44, 484},{353, 33, 414}, {373, 383, 44},

Que sean formadas por números primos son

{2, 11, 787}, {2, 787, 11}, {11, 2, 787}, {11, 787, 2}, {787, 2, 11}, {787, 11, 2}

Para n=2018 se tienen 2163 soluciones, ninguna formada por números primos.

Bonus para los tres primos:

Juan Pablo Giron Bastidas. +0.3

Juan Diego Medina Naranjo +0.3

Valentina Bernal Buitrago +0.3

Problema Bonus: Semana 2 (cerrado)

  1. (+0.3 Q1 - 4 personas max.) El Teorema de Lagrange afirma que todo número natural se puede escribir como suma de 4 cuadrados. Es decir, dado un número natural n, existen enteros no negativos a, b, c, d tales que:

n = a2 + b2 + c2 + d2

Por ejemplo, para n=3 todas las posibilidades (a,b,c,d) son: (1,1,1,0), (0,1,1,1), (1,0,1,1) y (1,1,1,0). Es decir que hay en total 4 formas de representarlo. Una en particular sería 3=1^2+0^2+1^2+1^2.

Para n=14.485 (número de mesas a las que pueden ir a votar mañana en Bogotá!) encuentre el total de formas de representarlo, escriba un ejemplo de una representación particular para dicho entero y por último diga cuántas de estas soluciones cumplen que a, b, c y d son números primos. (las tres cosas deben ser enviadas en el mismo mensaje!)

Solución: En este caso hay 8832 formas de representar 14485, y ninguna está formada por números primos. Un ejemplo: 119^2 + 16^2 + 8^2 + 2^2.

Bonus para los cuatro primos:

Jhonatan Torres Forero +0.3

Juan Diego Medina Naranjo +0.3

Danny Esteban Garzón Melo +0.3

Jaime Eduardo Estupiñan +0.3.

    1. (+0.1 Q1 - 2 personas max.) ¿Encuentre un múltiplo de 2003 que finalice con los dígitos 9999?

Solución: 2669999=2003*1333, además es la opción mas pequeña posible. Existen otras opciones como 2003*111333=222999999.

Bonus para los primeros dos:

Andres Esteban Romero Romero. +0.1

Jaime Eduardo Estupiñan +0.1

En el siguiente link pueden encontrar algunos polinomios generadores de primos:

http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html

  1. (+0.1 Q1 - 3 personas max.) ¿Cuántos primos diferentes genera el polinomio f(x)=x^5-99x^4+3588x^3-56822x^2+348272x-286397 en el intervalo [0,46]?

Solución:

El polinomio genera 40 primos diferentes. Cabe anotar que este polinomio genera más primos salvo el signo, por ejemplo f(18)=-5669, y 5669 es primo, sin embargo al dar negativo no se podia tener en cuenta.

Bonus para los primeros tres:

Juan Camilo Lozano Suárez. +0.1

Jaime Eduardo Estupiñan +0.1

Ernesto Bastivas Pulido +0.1

    1. (+0.2 Q1 - 3 personas max.) ¿Cuál es el porcentaje de primos menores o iguales que 10.000 que son generados por el polinomio de Euler f(x)=x^2+x+41?

Solución:

Observe que f(99)=9941 y f(100)=10141. Por lo tanto basta con analizar cuáles son los primos que se obtienen para n=0, 1, 2, ..., 99. En este caso todos los primos que se generan son diferentes ya que en este intervalo es creciente f(x). Para este caso se generan 86 primos. Como Pi(10000)=1229, entonces el porcentaje de primos es 8600/1229=6.99756%.

Bonus para los primeros tres:

Juan Camilo Lozano +0.2

Jose David Salazar Moreno +0.2

Luis Eduardo Otalora Cubides +0.2

Problema Bonus: Semana 1 (cerrado)

  1. (+0.1 Q1) El número de Mersenne M_11 no es un número primo. Calcule el residuo de dividir M_11 entre S(10), donde S(n) es la sucesión definida en el test de Lucas-Lehrer.

Solución:

Para este caso el valor s(10) es igual a

6872968240664427723883748623174753092424715410864667175219261858308848\

7405790957964732883069102561043436779663935595172042357306594916344606\

0745647128680782876080552030246583594390175808839109786661858757174155\

4108449492650047516738116850592737818189975383926060945226536527485090\

1879881203714

Por lo tanto el residuo de dividir M_11=2^11-1 entre s(10) es claramente M_11=2047.

Hay que tener cuidado con lo que pregunté. Si la pregunta fuera si M_11 es un primo de Mersenne, habría que dividir S(10) entre M_11. Para este caso el residuo es 1736, luego M_11 no es un primo de Mersenne. Para este caso se tiene que M_11=2^11-1=2047=23*89.

Teniendo en cuenta lo anterior, la bonificación quedó desierta.

  1. (+0.2 Q1) En clase vimos que existen listas de enteros consecutivos arbitrariamente largas que son números compuestos. Encuentre la primer cadena de (al menos) 10 enteros consecutivos y compuestos. Repita esto mismo para 50.

Solución:

En este caso los primeros 10 compuestos son del 114 al 123. En realidad del 114 al 126 son todos compuestos.

Los primeros 50 compuestos son del 19610 al 19659.

Teniendo en cuenta lo anterior, la bonificación es para (tuve en cuenta que escribieran correctamente la solución. Por ejemplo si usted escribió 114 a 124 es errada. Si usted escribió {114, 115, ... 125, 126} para al menos 10 consecutivos, es correcta ya que especificó el al menos)

Jhonatan Torres Forero +0.2

Juan Diego Medina +0.1

Gabriel Andres Avendaño Casadero+0.1

Juan Camilo Lozano Suárez +0.2

Luis Eduardo Otalora Cubides +0.2

-- 5 primeros parte a --

Cristian Camilo García Barrera +0.1