Problemas Bonus

Problema Bonus 18: (abierto)

(+0.4 Tareas, 2 Estudiantes)

Encontrar los primeros 99 números de Roger consecutivos, es

decir, encontrar los primeros 99 números consecutivos mayores que 100, tales que

sus últimos dos dígitos dividen al número. Por ejemplo, 420 cumple la propiedad

porque 20 divide a 420; en cambio, 666 no cumple la propiedad porque 66 no divide a 666.

Solución: El intervalo inicia en 69720375229712477164533808935312303556800

Jairo Esteban Castro Mora +0,4

Nicolás David Sánchez Yáñez +0,4

Problema Bonus 17: (abierto)

(+0.1 Tareas, 2 Estudiantes)

Se dice que un entero positivo n es un número inusual si su factor primo más grande es estrictamente mayor que \sqrt{n}. Claramente todo primo es inusual. Encuentre todos los enteros inusuales que no sean primos y se encuentren en el intervalo [200,300].

Solución:

{201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 209, 212, 213, 214, 215, 217,

218, 219, 221, 222, 226, 228, 230, 232, 235, 236, 237, 238, 244, 246,

247, 248, 249, 253, 254, 255, 258, 259, 261, 262, 265, 266, 267, 268,

272, 274, 276, 278, 279, 282, 284, 285, 287, 290, 291, 292, 295, 296,

298, 299}

Juan David Sánchez Murcia +0.1

Maria Paula Vizcaíno Forero +0,1

Problema Bonus 16: (cerrado)

(+0.2 Tareas, 2 Estudiantes)

El problema anterior también se puede considerar en otras bases. Por ejemplo en base 5, el entero 28 cumple esta condición. En efecto, 28 en base 5 es (103)_5, y las potencias terceras (longitud del entero en base 5) de sus cifras es 1^3+0^3+3^3=1+0+27=28. ¿Cuántos enteros con la anterior propiedad hay en base 7 contenidos en el intervalo [1,..., 10^7]?

Solución: Hay 27: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, 3222, 3612,

3613, 4183, 9286, 35411, 191334, 193393, 376889, 535069, 794376, 8094840}

Daniel Santiago Pardo Gomez +0.2

Jairo Esteban Castro Mora +0,2

Problema Bonus 15: (cerrado)

(+0.2 Tareas, 2 Estudiantes)

El número 1634 tiene una propiedad interesante. Este número de 4 dígitos satisface que la suma de las potencias cuartas de sus dígitos da el mismo número. Es decir 1^4+6^4+3^4+4^4= 1634. ¿Cuántos enteros de m dígitos son iguales a la suma de las m-ésimas potencias de sus dígitos en el intervalo [1,..., 10^7]?

Solución: Esta sucesión de números se conocen como los números narcisistas. En realidad esta sucesión es finita ya que la suma máxima de las k-ésimas potencias de un número de k-dígitos en base 10 es k(10-1)^k. Para un k suficientemente grande se tiene que k(10-1)^k<10^{k-1}. Es decir que un número en base 10 es narcisista si es menor que 10^{60}. En realidad sólo existen 88 números narcisistas en base 10. El más grande de ellos es

115132219018763992565095597973971522401 con 39 dígitos.

Juan Carlos Sanchez Orjuela +0.2

César Danilo Pedraza Montoya +0.2

Problema Bonus 14: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

Se dice que un número es feliz cuando cumple que al sumar los cuadrados de sus dígitos y seguir el proceso con los resultados obtenidos en cada paso, se llega a 1. El número es infeliz o no feliz si se entra a un bucle que no alcanza el 1.

Por ejemplo, el número 89 es infeliz:

89 -> 8^2 + 9^2=145 -> 1+4^2+5^2= 42 -> 4 ->16 ->37 -> 58 -> 89

Mientras que 19 es un número feliz:

19 -> 1+ 9^2=82 -> 8^2 + 2^2 =68 ->100 -> 1

Se sabe que todo número infeliz llega por suma iterativa del cuadrado de sus dígitos a 4.

Encuentre los primeros cinco números felices consecutivos.

Solución:

{44488, 44489, 44490, 44491, 44492}

Daniel Santiago Pardo Gomez

Juan David Sánchez Murcia

Problema Bonus 13: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

El entero 2223 cumple una propiedad interesante. Su cuadro 2223^2=4941729, cumple que al separarlo en las partes 494 y 1729 su suma vuelve a ser 2223. Es decir 2223 = 494 + 1729. Otros números que cumplen dicha condición son 999 y 4879. En efecto 999^2=998001 y 999=998+001; 4879^2=23804641 y 4879=238+04641. La descomposición debe ser con enteros positivos, esto quiere decir que 10 no cumple la propiedad, ya que 10^2=100, pero 10+0 no es una partición valida. Encuentre todos los enteros en el intervalo [1,10000] que cumplen dicha condición.

Solución: Los números que cumplen dicha condición se llaman Números de Kaprekar. {1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050,

7272, 7777, 9999}

Kevin Arturo Amaya Osorio +0.3

Problema Bonus 12: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

La pareja de enteros consecutivos (125, 126) satisface que la suma de sus divisores primos (incluyendo repeticiones) es la misma. En efecto como 125 = 53 y 126 = 2 32 7, entonces se puede verificar que 5 + 5 + 5 = 2 + 3 + 3 + 7. Encuentre todas las parejas de enteros consecutivos (n, n+1), que satisfacen la anterior propiedad y tal que 1 n < 10000.

Solución: Las primeras componentes de cada una de estas parejas son:

5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248, 4185, 4191, 5405, 5560, 5959, 6867, 8280, 8463.

Juan David Sánchez Murcia +0.3

Daniel Santiago Pardo Gomez +0.3

Problema Bonus 11: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

La pareja de enteros consecutivos (369, 370) satisface que la suma de sus divisores primos diferentes es la misma. En efecto como 369 = 32 · 41 y 370 = 2 · 5 · 37, entonces se puede verificar que 3 + 41 = 2 + 5 + 37. Encuentre todas las parejas de enteros consecutivos (n, n + 1), que satisfacen la anterior propiedad y tal que 1=< n < 10000.

Solución: Las primeras componentes de cada una de estas parejas son:

5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299, 2600, 2783, 5405, 6556, 6811, 8855, 9800.\]

Estas parejas se conocen como parejas de Ruth-Aaron. Dicho nombre fue dado por el matemático Carl Pomerance en honor de los beisbolistas norteamericanos Babe Ruth y Hank Aaron. Ruth se había retirado con un record de 714 homeruns, el cual fue batido por Aaron en abril de 1974, cuando él completo su homerun número 715. Un estudiante de un colega de Pomerance notó que la suma de los factores primos de 714 y 715 eran iguales.

Maria Paula Vizcaíno Forero +0.3

Problema Bonus 10: (cerrado)

(+0.2 Tareas, 2 Estudiantes)

(Continuación del problema anterior) Claramente no hay ningún número bouncy menor o igual que 100. Entre en el intervalo [1,1000] hay 525 números bouncy. De hecho, el primer número cuya proporción de números bouncy se aproxima al 50\% es el 538. La proporción de números bouncy aumenta rápidamente, alcanzando un 90\% en el número 21780. Encuentre el primer entero para el cual la proporción de números bouncy es del 99\%.

Solución:

1587000

Daniel Amaris Rojas

Daniel Santiago Pardo Gomez

Problema Bonus 9: (cerrado)

(+0.1 Tareas, 2 Estudiantes)

Un número entero se dice creciente (decreciente) si sus dígitos leídos de izquierda a derecha definen una sucesión creciente (decreciente). Por ejemplo, 12289 es un número creciente mientras que 744211 es un número decreciente. Se dice que un número es bouncy si no es ni creciente ni decreciente, como el número 12653 o el número 188549. Encuentre todos los números bouncy en el intervalo [1,250].

Solución:

538

Problema Bonus 8: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

Todo entero positivo se puede escribir de manera única como suma de números de Fibonacci diferentes de tal forma que la suma no incluye dos números de Fibonacci consecutivos. Por ejemplo n=100, se puede escribir como F_{11}+F_6+F_4=89+8+3=100. Dicha representación se escribe como (11,6,4). Encuentre la representación de 2020 y de 10^10 en términos de números de Fibonacci.

Solución:

Esta representación se conoce como el Teorema de Zeckendorf.

2020 -> {17, 14, 9, 6, 4, 2}

10^10 -> {49, 46, 42, 40, 35, 33, 31, 29, 25, 20, 18, 15, 10, 7, 4, 2}

Juan David Sánchez Murcia +0,3

Daniel Amaris Rojas +0,3

Problema Bonus 7: (cerrado)

(+0.1 Tareas, 2 Estudiantes)

¿Cuántos primos diferentes genera el polinomio

g(x)=x^5-99x^4+3588x^3-56822x^2+348272x-286397

en el intervalo [0,46]?

Solución:

El polinomio genera 40 primos diferentes en ese intervalo. Cabe anotar que por este polinomio genera más primos salvo el signo, por ejemplo g(18)=-5669 y 5669 es primo.

Carlos Ernesto Isaza Carvajal +0,1

Problema Bonus 6: (cerrado)

(+0.2 Tareas, 2 Estudiantes)

Dos enteros positivos se dicen cómplices si cumplen las siguientes condiciones:

• Los números se escriben con la misma cantidad de cifras.
• Los números no son reversos de sí mismos (por ejemplo 87 y 78 no sirven).
• El producto de los dos números es igual al producto de sus reversos.

Los números 42 y 12 son cómplices, pues ambos son números de dos cifras, ninguno es reverso del otro y además 42*12=24*21=504. Halle todas las parejas de números cómplices que sean menores o iguales a 200.

Juan Carlos Sanchez Orjuela +0,1

David Santiago Garzón Monje +0,2

Solución:

{{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {1, 7}, {1, 8}, {1, 9}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {2, 7}, {2, 8}, {2, 9}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {3, 7}, {3, 8}, {3, 9}, {4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {4, 8}, {4, 9}, {5, 6}, {5, 7}, {5, 8}, {5, 9}, {6, 7}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {11, 22}, {11, 33}, {11, 44}, {11, 55}, {11, 66}, {11, 77}, {11, 88}, {11, 99}, {12, 42}, {12, 63}, {12, 84}, {13, 62}, {13, 93}, {14, 82}, {21, 24}, {21, 36}, {21, 48}, {22, 33}, {22, 44}, {22, 55}, {22, 66}, {22, 77}, {22, 88}, {22, 99}, {23, 64}, {23, 96}, {24, 63}, {24, 84}, {26, 31}, {26, 93}, {28, 41}, {31, 39}, {32, 46}, {32, 69}, {33, 44}, {33, 55}, {33, 66}, {33, 77}, {33, 88}, {33, 99}, {34, 86}, {36, 42}, {36, 84}, {39, 62}, {42, 48}, {43, 68}, {44, 55}, {44, 66}, {44, 77}, {44, 88}, {44, 99}, {46, 96}, {48, 63}, {55, 66}, {55, 77}, {55, 88}, {55, 99}, {64, 69}, {66, 77}, {66, 88}, {66, 99}, {77, 88}, {77, 99}, {88, 99}, {101, 111}, {101, 121}, {101, 131}, {101, 141}, {101, 151}, {101, 161}, {101, 171}, {101, 181}, {101, 191}, {111,121}, {111, 131}, {111, 141}, {111, 151}, {111, 161}, {111, 171}, {111, 181}, {111, 191}, {121, 131}, {121, 141}, {121,151}, {121, 161}, {121, 171}, {121, 181}, {121, 191}, {131, 141}, {131, 151}, {131, 161}, {131, 171}, {131, 181}, {131,191}, {141, 151}, {141, 161}, {141, 171}, {141, 181}, {141,191}, {151, 161}, {151, 171}, {151, 181}, {151, 191}, {161, 171}, {161, 181}, {161, 191}, {171, 181}, {171, 191}, {181, 191}}

Problema Bonus 5: (cerrado)

(+0.1 Tareas, 2 Estudiantes)

El Teorema de Lagrange afirma que todo número natural se puede escribir como suma de 4 cuadrados. Es decir, dado un número natural n, existen enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que:

n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

Por ejemplo, para n=3 todas las posibilidades (a,b,c,d) son:

(1,1,1,0), (0,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,1,0).

Es decir que hay en total 4 formas de representarlo. Una en particular sería 3=1^2+0^2+1^2+1^2.

Para n=2020 encuentre el total de formas de representarlo, escriba un ejemplo de una representación particular para dicho entero y por último diga cuántas de estas soluciones cumplen que a, b, c y d son números primos.

Solución:

El total de formas es 948, de las cuales 180 están formadas por números primos.

Estudiante: Jairo Esteban Castro Mora +0,1

Problema Bonus 4: (cerrado)

(+0.3 Tareas, 2 Estudiantes)

La conjetura de Grimm afirma que dada una sucesión de n enteros consecutivos C+1, C+2,..., C+n existen n primos diferentes p_1, p_2, ..., p_n tales que C+j es divisible por p_j, para j=1, 2, ..., n. Para la primera sucesión de (al menos) 50 enteros consecutivos encuentre una sucesión de primos que cumplan la conjetura de Grimm.

Solución:

{53, 2179, 4903, 1783, 467, 3923, 613, 503, 577, 853, 109, 2803, \

9811, 211, 223, 157, 3271, 1033, 701, 727, 151, 293, 409, 677, 9817, \

17, 4909, 269, 1091, 479, 491, 6547, 61, 1511, 1637, 3929, 47, 59, \

307, 401, 131, 457, 2, 6551, 317, 3931, 13, 1787, 9829, 6553}

Estudiantes:

César Danilo Pedraza Montoya +0.3

Daniel Santiago Pardo Gomez +0.3

Problema Bonus 3: (cerrado)

(+0.1 Tareas, 2 Estudiantes)

Se conoce que existen listas de enteros consecutivos arbitrariamente largas que son números compuestos. Por ejemplo la sucesión (n+1)!+2, (n+1)!+3, ..., (n+1)!+(n+1) está formada por n enteros consecutivos todos compuestos. Encuentre la primer sucesión de (al menos) 50 enteros consecutivos y compuestos.

Solución:

Entre 19610 y 19659.

Estudiantes:

Nicolas David Sanchez Yañez +0.1

Problema Bonus 2: (cerrado)

(+0.2 Tareas, 2 Estudiantes)