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Dans ce cours, nous découvrons l'inégalité triangulaire (fondamentale car permettant, entre autres, de déterminer si un triangle de longueurs de cotés données est effectivement constructible) et les diverses méthodes de construction de triangles ainsi que certaines droites particulières d'un triangle (hauteurs et médiatrices).

A0 : Avant de commencer, quelques révisions sur les triangles...

A0 bis : vocabulaire et constructibilité d'un triangle

Compétences à acquérir

Les compétences que nous allons travailler sont les suivantes (synthétiser concrètement le polycopié du manuel Iparcours; rappeler en cours la liste des compétences) :

utiliser l'inégalité triangulaire
construire des triangles utiliser la propriété de la somme des 3 angles d'un triangle pour calculer certains angles
connaître les hauteurs et les médiatrices d'un triangle
savoir si un triangle donné est constructible
construire un triangle donné connaissant certaines informations le concernant
...

Propriétés et définitions du cours à connaître

Propriété : dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Propriété : si un point A appartient au segment [BC], alors BC = BA + AC.

Propriété : si trois points A, B et C sont tels que BC = BA + AC, alors A appartient au segment [BC]. (autrement dit, les points A, B et C sont alignés.)

Propriété : dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.

Propriété : un triangle est constructible lorsque la longueur de son plus grand côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Si ce n'est pas le cas, alors il n'est pas possible de construire un tel triangle.

Il faut savoir construire un triangle constructible dans les cas suivants classiques :

A) connaissant la longueur des 3 côtés

B) connaissant la longueur de 2 et la mesure de l'angle délimité par ces cotés

C) connaissant la longueur d'un côté et la mesure des angles adjacents à ce coté

Définition : dans un triangle,

une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle.
une médiatrice est une droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est perpendiculaire à ce côté. Il y a donc 3 médiatrices dans un triangle.

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Propriétés et définitions du cours à connaître

3 cas d'égalité des triangles : des triangles sont dits "égaux" ou "isométriques" s'ils sont superposables par glissement et/ou retournement.

1) si deux triangles ont des longueurs deux à deux égales, alors ils sont isométriques.

2) si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, deux à deux, alors ils sont isométriques.

3) si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, deux à deux, alors ils sont isométriques.

Propriété : si deux triangles sont isométriques, alors, deux à deux :

a) leurs cotés ont la même longueur

b) leurs angles ont la même mesure

c) leurs périmètres et aires sont égaux
Attention, la réciproque n'est pas forcément vraie : deux triangles peuvent avoir des angles de même mesure, deux à deux, sans pour autant être isométriques et deux triangles peuvent avoir la même aire sans pour autant être isométriques.