Spilteori 4 - læselektier (Klimaforhandlinger, blandede strategier)

En anden illustration af Nash-ligevægten finder vi i vores tidligere diskussion af klimaforhandlingerne – her er talparret (3,3) en Nash-ligevægt, da ingen af de to aktører får et større udbytte af at vælge anderledes, selvom de kender den andens valg. (investere, investere) er derfor en ligevægt. Understreger vi maksimum i søjlerne og rækkerne ser vi, at vores overvejelse er korrekt:

Der er kun et sted, at begge er enige om strategien – og vi har dermed en ligevægt: begge skal investere.

I et spil kan der være en, flere eller ingen ligevægt. Hvis der er ingen eller flere må vi anvende andre metoder til at afgøre hvad spilleren skal vælge – mere om det senere. Men hvis der ER en ligevægt vil spillerne rationelt vælge denne.

Lad os illustrere det sidste ved at ændre lidt på vores udbytte kvantificering. Hvis vi antager, at udbyttet indeholder flere aspekter end blot ”tilfredshed” - såsom økonomiske overvejelser, vil der være baggrund for at sætte udbyttet lavere når begge handler, end når modparten handler og man ikke selv gør. Dette skyldes overvejelser om, at man selv får en masse ud af ikke at handle, hvis blot den anden aktør investere – Klimaet er jo ikke lokalt orienteret og man kan måske endda stjæle teknologi uden at bruge mange penge på udvikling. Et nyt bud på en udbytte matrix kunne være – med optimale strategier illustreret med en understregning:

Både (lade stå til, investere) og (investere, lade stå til) er stabile Nash ligevægte, da ingen af spillerne – givet den andens strategi – rationelt vil vælge en anden strategi. (Investere, investere) er ikke mere et alternativ, da I landene vil få et større udbytte af at lade stå til, hvis de ved U landene handler. Problemet er her, at de to ligevægte består af bedste, henholdsvis næst dårligste udfald, for de to spillere, således at begge ligevægte giver en ”taber”. Der er derfor en nærliggende mulighed for, at landene ender med at få deres værste udbytte i (lade stå til, lade stå til). Denne viden kan bruges af spillerne, til at ”spille hårdt mod hårdt” og forsøge at overbevise sin ”modstander” om, at man er villig til at risikere alt (her miljøet!) og således tvinge modstanderen til at undvige katastrofen – og investere. Denne type spil kaldes ikke overraskende ”chicken”, ud fra legen, hvor det drejer sig om at få modstanderen til at undvige en mulig kollision ved at forsøge at overbevise ham om at man ikke selv vil undvige.

Vi kan ikke give en konkret løsning på ”chicken” spillet ud fra den præsenterede spilteori – men som vi skal se senere, kan vi give begge spillere et bedre beslutningsgrundlag.

Opgave

1. Sammenlign kvantificeringen af udbyttet ovenfor med de værdier, som blev anvendt tidligere i eksemplet. Kan der argumenteres rationelt for ændringerne?

2. Find argumenter for at vælge nogle andre værdier for udbyttet for de to aktører. Behøver spillet at have symmetriske udbytteværdier? Dvs: har begge aktører nødvendigvis samme udbytte ud af at investere/vælge samme strategi? Undersøg i givet fald, hvad der sker med ligevægten.

De ovenstående overvejelser kan først og fremmest bruges til at illustrere spilteoriens – og derfor matematikkens - anvendelse i klimapolitikken. Vi er dog nød til at være meget præcise i vores modelopstilling. Det synes blandt andet ikke tilstrækkeligt at tildele landene valgmulighederne ”investere” eller ”lade stå til”.

Den spilteoretiske model kan udbygges til at omfatte mere omfattende problemer. Ofte vil man dog stå i en situation hvor man som matematiker skal vælge mellem en simpel model, som giver begrænset information eller en kompliceret model, som giver mere information. Dilemmaet ligger her i, at den komplicerede model er svær at håndtere og kræver mange parametre som input, hvorimod den simple model giver hurtige resultater og er nem at arbejde med.

Lad os vende tilbage til eksemplet med de to ligevægte og illustrere en løsningsstrategi til at problemet – hvor vi anvender de såkaldt blandede strategier.

De tidligere nævnte løsninger tager udgangspunkt i såkaldte rene strategier. Dette skal forstås på den måde, at hver spiller skal tage et specifikt valg i en given situation. Dette er ikke altid muligt – enten fordi der ikke er noget optimalt valg – eller fordi der er flere. I en sådan situation vil spillerne således enten satse eller overveje en anden måde at anskue problemstillingen på. Vælger vi det sidste, kan vi introducere de såkaldt blandede strategier, hvor strategien baseres på sandsynlighedsregningen. Her bruger man de angivne udbytte-værdier til at opsætte et sandsynlighedsteoretisk problem. På den baggrund finder man den strategi, som spilleren skal vælge, hvis han vil have størst sandsynlighed for et stort udbytte. Bemærk dog, at der her ligger en accept af tilfældigheder: man sandsynliggør kun, at man får et godt udbytte – der gives ingen sikkerhed for succes.

Udbyttematricen fra før:

Vi lægger nu så at sige endnu en matematisk model oven på den spilteoretiske model. Antager vi, at der er sandsynligheden p for at U landene investerer, må der være sandsynligheden 1-p for at de lader stå til – de gør enten det ene eller det andet. Ligeledes sættes sandsynligheden til q for at I landene investere og dermed 1-q for at lade stå til:

I den aktuelle situation synes der at være gode argumenter for at p er mindre end 50 %, mens q er større end 50 %, men vil ligger os ikke fast på en sandsynlighed. Vi anvender i stedet lineær programmering til at give I landene et bedre beslutningsgrundlag.

Anvender vi udbytterne for I landene og sandsynlighederne for U landenes valg, kan vi udregne I landenes gennemsnitlige udbytte når de selv investerer:

I landenes gennemsnitlige udbytte når de lader stå til:

Vi kunne gøre det samme for U landene, men i denne sammenhæng leger vi at vi er et I land. Betragter vi p som en uafhængig variabel og udbyttet som en afhængig variabel kan vi lave et grafisk billede af situationen:

'

Her ses det, at de to udbytter er lige store for en p værdi omkring 0,65. Vi kan finde skæringspunktet ved at sætte de to udbytte-funktioner lig hinanden:

Dette svarer til 0,667 og altså en procentværdi på ca. 67 %

Fortolkningen er, at det er ligegyldigt hvilken strategi I landene vælger, hvis man antager, at U landene med 67 % sandsynlighed vælger at investere. Hvis sandsynligheden for at investere vurderes til at være lavere end 67 % for U landene, bør I landene investere – så vil de få et større udbytte. Det modsatte hvis sandsynligheden er over 67 % - her kan de altså med størst udbytte vælge at være at lade stå til.

Ved hjælp af blandede strategier er det altså muligt at give et sandsynlighedsteoretisk bud på en strategi for I landene i den givne situation. Det skal understreges, at denne strategi er baseret på tilfældighedsprincippet – og at man således i ordets bogstaveligste forstand spiller et spil. Med fremtiden som indsats!

Opgave

1. Hvad skal U-landene gøre ud fra en blandet strategi i den givne situation? Hvordan vil dette eksempel ende? Brug gerne samfundsmæssige argumenter!

2. Ændr lidt på udbytte-værdierne og se hvad der sker – hvornår får du brug for en blandet strategi – og hvad bliver udfaldet?