5.6

5.4 Metoda ecuaţiilor de contur Unui ansamblu de corpuri se poate ataşa un contur alcătuit din segmente, legate unul de altul. Fiecare segment este ataşat unui anumit rigid şi participă la mişcare alături de acesta. Prin mişcare şi segmentele ataşate corpurilor se vor deplasa. Dacă se derivează relaţiile vectoriale care definesc un contur vectorial se obţin relaţii între elementele cinematice ale diferitelor corpuri. Se prezintă metoda pentru mecanisme plane.

 Algoritmul care se bazează pe această metodă a fost dezvoltat utilizând teoria grafurilor.

Teoria grafurilor a fost utilizată în analiza mecanismelor în două direcţii diferite:

·                   o direcţie în care elementele în mişcare ale sistemului sunt considerate noduri ale grafului iar legaturile ramuri.  În această abordare se face o echivalenţă cu ecuaţiile lui Kirkoff pentru circuite electrice, ecuaţiile de echilibru dinamic pentru elementele ce compun sistemul mecanic fiind similare cu echilibrul curenţilor în noduri, iar condiţiile cinematice fiind corespondente ecuaţiilor scrise pentru o buclă. Acest tip de analiză a dus la metoda ciclurilor independente [23].

·                   o altă abordare ar fi de a consideră legăturile dintre elemente ca noduri iar vectorul definit de două legături ca o ramură a grafului. Acest tip de descriere, geometric, a fost mai puţin abordat în literatură. În cele ce urmează se urmăreşte acest tip de descriere topologică a unui sistem mecanic cu legături. Cazul plan, prezentat în curs, poate fi extins la mecanisme spaţiale.

 

5.4.1.Descrierea topologică a mecanismului

Mecanism cinematic echivalent

 În cele ce urmează se va ataşa fiecărui mecanism un graf. Pentru a se face această operaţie se operează într-o primă etapă la construcţia unui mecanism alcătuit numai din bare, echivalent din punct de vedere mecanic cu mecanismul dat.

Să considerăm mecanismul plan reprezentat în fig.5.23. Legătura între două elemente este realizată prin articulaţii sau culise.

Fig.5.23

 

Fig.5.24.

          Construim un mecanism cinematic echivalent cu cel dat în modul următor:

I. Înlocuim orice element mobil de tip placă (fig.5.24) cu structura rigidă din fig. 2b, formată din triunghiuri.

Se introduc astfel în ecuaţiile ce descriu starea cinematică a sistemului bucle fundamentale (cicluri independente) “false”, dar care uşurează reprezentarea ecuaţiilor.

II. Se unesc punctele ce realizează legătura cu elementul fix prin elemente tip bară care închid un poligon (fig.5.25) şi apoi se elimină unul dintre aceste elemente(el rezultă din suma vectorială cu semn schimbat a tuturor celorlalte). Se introduc astfel elemente conducătoare “false” care îşi pot modifica lungimea, dar nu poziţia, deci întotdeauna viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a unui astfel de element sunt nule.

          Prin aceste două construcţii se obţine un mecanism echivalent cinematic cu cel dat, dar alcătuit numai din bare (fig.5.25).

          La momentul la care ne propunem a determina starea cinematică a elementelor mecanismului considerăm cunoscute toate lungimile barelor constitutive ale mecanismului cinematic echivalent şi unghiurile făcute de acestea cu axa Ox a unui sistem xOy ales.

          Ataşând fiecărui element bară un vector cu capătul într-o cuplă şi vârful în cealaltă construim un graf ce are drept noduri cuplele mecanismului, drept laturi barele mecanismului iar sensul fiecărei laturi e dat de direcţia vectorului ataşat barei corespondente (fig.5.26).

5.4.2. Cicluri independente

          Pentru înţelegerea prezentării recapitulăm noţiuni fundamentale din teoria grafurilor. Fie r+1 numărul de noduri şi s numărul de laturi ale grafului obţinut. Matricea completă de incidenţă este matricea Aa = [ aij] de dimensiune (r+1) x s cu:

aij= 1 dacă latura j este incidentă la nodul i şi iese din nod;

aij= -1 dacă latura j este incidentă la nodul i şi intră în nod;

aij=0 dacă latura j nu este incidentă la nodul i.

Matricea A de rang r obţinută prin suprimarea unei linii în Aa este matricea de incidenţă (sau matricea redusă de incidenţă). Selectarea unui arbore în graf permite o reordonare şi o partiţionare a lui A:

astfel încât coloanelor lui     să le corespundă ramurile (laturile ce intervin în constituirea arborelui), iar coloanelor lui   joncţiunile (laturile care ataşate la arboreal ales dau graful iniţial).

          Matricea completă a buclelor este matricea: 

cu:

  dacă latura j face parte din bucla i şi orientarea ei coincide cu sensul ales pentru parcurgerea buclei;

  dacă latura j face parte din bucla i şi orientarea ei este contrară sensului ales pentru parcurgerea buclei;

 dacă latura j nu face parte din bucla i.

 

Fig.5.25

                                                               

Fig.5.26

          Rangul matricei   este s-r . Matricea    de rang s-r obţinută din   prin reţinerea a s-r linii linear independente este matricea buclelor fundamentale. Între  

  şi A există relaţia: 

Pentru mecanismul din fig.5.31  avem:

                Mecanism                        Mecanism cinematic echivalent         Graf asociat

Fig.5.27                                           Fig.5.28

După calcule, rezultă matricea buclelor fundamentale:

În acest exemplu, pentru a putea face analiza, am făcut înlocuirea din fig.5.29.

 Fig.5.29