2.2

2.1.2. Deplasări finite. Deplasări infinitezimale.          Deplasarea dintr-o poziţie iniţială în cea finală se face printr-o succesiune de deplasări. Relaţia 

caracterizează numai poziţia iniţială şi finală a corpului fără a da informaţii despre felul (poziţiile intermediare) în care s-a făcut deplasarea.

          În cazul deplasării în plan (fig.2.3,a) vectorul {r0} caracterizează translaţia, iar matricea  [R] conţine unghiul de rotaţie finită q prin intermediul funcţiilor sinus şi cosinus. Ele definesc deplasarea finită a corpului în plan. Pentru a ajunge în poziţia finală, corpul trece printr-o succesiune de poziţii intermediare (fig.2.3,b), prin deplasări infinitezimale. Totalitatea deplasărilor infinitezimale dau deplasarea finită.

Fig.2.3a                                                       Fig.2.3b

        În cazul unei deplasări în spaţiu problema se pune în mod analog. Deplasarea finită este caracterizată de vectorul de poziţie {r0} al originii sistemului de referinţă mobil şi de unghiul de rotaţie finită al rigidului în jurul unei drepte, pentru a ajunge cu axele din poziţia iniţială în cea finală.

          Presupunem că rotaţia finită de unghi j s-a făcut în jurul unei axe pe care o vom determina. În timpul rotaţiei axa rămâne neschimbată, deci dacă {u} este versorul axei atunci:

 [R] {u} = {u}.

          Se dă, fără demonstraţie, următorul rezultat: matricea [R] are valorile proprii 1,eij, e-ij, unde j reprezintă unghiul de rotaţie finită al corpului în jurul axei determinată de versorul {u}. În acest caz relaţia anterioară se justifică imediat, ca fiind soluţia l = 1 a problemei de valori proprii: [R] {u} = l{u}. Pentru a afla unghiul de rotaţie j ţinem seama că matricea [R] are forma canonică:

Fig.2.4.Rotaţia rigidului în jurul axei instantanee de rotaţie şi translaţie

          Primul invariant al matricei este:

de unde:

Urma matricei [R] se poate calcula şi cu relaţia:

de unde:

          Relaţia

ne dă direcţia axei de rotaţie. În consecinţă, pentru a ajunge din poziţia iniţială în cea finală, un rigid execută o mişcare de translaţie de vector {r0} şi o mişcare de rotaţie de unghi j în jurul axei de versor {u}. 

2.1.3. Viteza unghiulară

           Se consideră un rigid în mişcare generală. Se ataşează rigidului sistemul de referinţă local Oxyz, iar mişcarea o studiem faţă de sistemul de referinţă global O1x1y1z1. Ne propunem determinarea expresiei vitezei unui punct al rigidului, presupunând că ne sunt cunoscute elementele ce caracterizează mişcarea sistemului de referinţă local.

          Se notează cu x1, y1, z1 componentele vectorului   în sistemul global de coordonate şi cu x,y,z componentele aceluiaşi vector în sistemul local. Se mai notează   

 în sistemul global şi    în sistemul local. Vectorul de pozitie    este exprimabil prin:

Fig.2.5. Rotaţia infinitezimală a rigidului

         Dacă [R] este matricea de rotaţie ce face trecerea de la componentele unui vector exprimate în sistemul local la componentele aceluiaşi vector exprimate în sistemul global, se poate scrie:

 .

          Componentele vectorului {r} rămân neschimbate în timp, sistemul local participând la mişcare împreună cu rigidul. Ca urmare, prin derivare, se obţine viteza punctului M cu expresia:

 

          Derivarea relaţiei [R] [R]T = [E] dă:

sau, utilizând relaţia 

 ,

 rezultă:

De aici tragem concluzia că matricea  

este antisimetrică întrucât verifica relaţia: 

 + T =[0].

          O matrice antisimetrică:

poate fi utilizată la reprezentarea unui produs vectorial. În continuare se poate scrie:

unde  este viteza originii sistemului de referinţă mobil. Produsul  reprezintă produsul vectorial dintre vectorul  

 asociat operatorului  şi vectorul {r}. Se poate scrie şi:   

  (formula lui Euler).

         Scriind viteza pe componente, se obţine:

      

În formulele prezentate toate mărimile sunt raportate la sistemul local de coordonate. Dacă se raportează la sistemul global, relaţiile au aceeaşi formă dar mărimile care intervin vor fi raportate la sistemul global de coordonate.

          Vectorul 

 poartă numele de viteză unghiulară, întrucât dă o reprezentare a vitezei de rotaţie a sistemului de referinţă mobil, iar matricea  

 se numeşte operator viteză unghiulară. Se va reţine şi relaţia de derivare obţinută a vectorului   care se mişcă împreună cu sistemul de referinţă mobil fără a-şi schimba lungimea şi orientarea în raport cu sistemul de referinţă mobil :

           Dacă se notează cu {W} vectorul viteză unghiulară cu componentele raportate la sistemul local de referinţă, vom avea relaţiile:

   respectiv  

 .