2.4
2.1.6. Axa instantanee de rotaţie şi translaţie (AIRT) a) Axa instantanee de rotaţie şi translaţie.
Se pune problema determinării mulţimii punctelor unui rigid care au viteza minimă. Dacă A şi B sunt două puncte ale rigidului, legătura dintre vitezele celor două puncte este dată de relaţia:
.
Fig.2.7. Axa instantanee de rotaţie şi translaţie
Înmulţind scalar cu
rezultă:
sau :
adică proiecţia pe direcţia vitezei unghiulare
a vectorului viteză este constantă pentru orice punct al rigidului. Rezultă că vectorul viteză are două componente: una constantă, după direcţia vitezei unghiulare, vw şi una perpendiculară pe ea v^ :
Valoarea vitezei este dată de:
şi este minimă în momentul în care v^ = 0, întrucât am văzut anterior că
. În acest caz viteza va fi un vector paralel cu viteza unghiulară
:
Căutăm deci vectorul de poziţie
astfel ca:
, determinarea constantei m:
Relaţia anterioară ne permite, prin înmulţire cu
de unde vectorul viteză minimă este:
.
Dacă înmulţim vectorial cu
se obţine:
sau:
de unde:
Cu notaţia:
rezultă:
adică ecuaţia vectorială a unei drepte. Dacă notăm cu
,
vector care reprezintă tocmai distanţa de la punctul O la dreapta găsită, se obţine:
de unde
(ecuaţia dreptei sub formă parametrică). Eliminând l se obţine:
.
O altă modalitate de a obţine ecuaţia dreptei ar fi să scriem relaţia pe componente:
Din cele trei ecuaţii una este o consecinţă a celorlalte două. Într-adevăr determinantul sistemului:
este:
şi determinantul caracteristic:
În concluzie: mulţimea punctelor corpului care au viteza minimă sunt organizate pe o dreaptă numită axa instantanee de rotaţie şi translaţie (AIRT). Această axă este paralelă cu vectorul viteză unghiulară.
Mişcarea rigidului poate fi considerată instantaneu (fig.2.8) ca o mişcare de rotaţie în jurul AIRT, combinată cu o translaţie de-a lungul acestei axe cu viteza minimă
(de unde şi denumirea de axa instantanee de rotaţie şi translaţie).
Fig.2.8. Axoidele mişcării
b) Distribuţia vitezelor în jurul axei instantanee de rotaţie şi translaţie
Următoarele două proprietăţi vor permite reprezentarea distribuţiei vitezelor în jurul axei instantanee de rotaţie şi translaţie.
Punctele aparţinând unui rigid în mişcare generală şi situate pe o paralelă la vectorul
au acelaşi vector viteză.
Într-adevăr, să luăm punctele P şi Q pe o dreaptă paralelă cu
:
Punctele aparţinând unui rigid în mişcare generală şi situate pe suprafata laterală a unui cilindru au valorile vitezelor egale.
Luăm punctul O pe AIRT. Avem
. Să luăm M pe o dreaptă paralelă cu
ce trece prin P astfel încât OM ^ AIRT. Atunci:
,
de unde:
şi
,
de unde, dacă d = ct., v0 = ct = vmin , w = ct. rezultă vP = ct. Aceste două proprietăţi permit reprezentarea din fig.2.9.
c) Axoidele mişcării rigidului
Fig.2.9. Distribuţia vitezelor în jurul AIRT
Definiţie. Suprafaţa generată de AIRT în mişcarea sa faţă de sistemul fix de coordonate poartă numele de axoidă fixă, iar suprafaţa generată de AIRT în mişcare faţă de sistemul mobil de coordonate poartă numele de axoidă mobilă. În timpul mişcării axoida mobilă execută o mişcare de rotaţie şi alunecare peste axoida fixă.
2.1.7. Polul acceleraţiilor
Se pune problema existenţei unui punct în care acceleraţia să fie nulă. Condiţia
duce la ax = ay = az = 0 şi se obţin relaţiile:
care reprezintă un sistem linear. Soluţia x,y,z a sistemului reprezintă punctul în care acceleraţia rigidului este nulă. Pot exista cazuri de mişcări particulare în care soluţia nu există, deci nu sunt puncte de acceleraţie nulă sau mişcări în care soluţia este nedeterminată (există o infinitate de puncte de acceleraţie nulă, spre exemplu punctele unei drepte). Dacă se calculează determinantul sistemului se obţine:
care poate fi egal cu zero dacă
sau sau şi sunt colineari. Deci, în cazul general, acesta este diferit de zero şi există un punct în care acceleraţia se anulează. Cazurile în care determinantul se anulează vor fi identificate în cele ce urmează în studiul mişcărilor particulare ale rigidului.
În cazul mişcării plan paralele
iar relaţiile care definesc punctul de acceleraţie nulă sunt:
Dacă se ia originea sistemului de referinţă în punctul de acceleraţie nulă şi se caută punctele care au aceeaşi acceleraţie a, se poate scrie,
deci aceste puncte se găsesc pe un cerc cu centrul în punctul de acceleraţie zero. Distribuţia acceleraţiilor este lineară, de-a lungul oricărei drepte ce trece prin polul acceleraţiilor.